Материал: Diff_lektsii__1

лежащий между осями координат, делится в точке касания пополам (рис. 1.6).

.

..... ...

.

Рис. 1.6

Уравнение касательной к кривой y = y(x) (в точке (x, y(x))), как из-

вестно, имеет вид

Y − y(x) = y0(x)(X − x).

По условию задачи касательная проходит через точку A(2x, 0). Подставляя ее координаты в уравнение касательной (вместо X, Y ), получим

0 − y(x) = y0(x)(2x − x),

или

−y(x) = xy0(x).

Таким образом, искомая кривая является интегральной кривой дифферен-

циального уравнения

−y = xy0,

которое перепишем в виде

y0 = −xy .

Оно задано на всей плоскости, кроме прямой x = 0. Поэтому для его любого решения y = y(x) либо x < 0, либо x > 0. Это уравнение (с разделяющимися переменными) имеет очевидное решение y(x) ≡ 0, которое, однако, не является решением поставленной задачи. Поэтому для искомой кривой y(x) 6= 0, т. е. либо y(x) > 0, либо y(x) < 0. Считая y(x) 6= 0, разделяем переменные (записываем уравнение (1.13)):

и переходим к равенству соответствующих первообразных (т. е. к уравнению (1.12)), беря в качестве произвольной постоянной ln(C), C > 0:

ln |y| = − ln |x| + ln(C).

15

Отсюда

Это равенство можно переписать в виде, не содержащем знаков абсолютной величины

Уравнение (1.1) будет однородным, если функция f(x, y) является однородной, т. е. удовлетворяет условию f(kx, ky) = f(x, y), k 6= 0 – произвольное

число. Действительно, полагая k = x1 , получим

ция u(x), такая, что u(x) = y(xx). Для того чтобы найти новое дифферен-

циальное уравнение, которому удовлетворяет функция u(x), используем соотношения

Уравнение (1.16) – уравнение с разделяющимися переменными. Если u = = u(x) – его решение, то y = xu(x) – решение исходного уравнения (1.15) (заданное на некотором интервале (α, β) отрицательной или положительной полуоси).

16

и решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 0.

−π π

Ответ: y = x tg(ln(C|x|)), C > 0; y = x tg(ln(x)), e 2 < x < e2 .

1.2.Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение вида

в котором функции a(x), b(x), c(x) (коэффициенты уравнения) предполагаются непрерывными в некотором интервале (a, b). Считая, что a(x) 6= 0

b(x) = a(x)

(1.18)

Назовем p(x) коэффициентом уравнения (1.18), а q(x) – его свободным членом. Если q(x) ≡ 0, то уравнение (1.18) называют однородным, в противном случае – неоднородным.

Функции p(x) и q(x) непрерывны на интервале (a, b). Поэтому в области D = {a < x < b, −∞ < y < +∞} для уравнения (1.18) выполнены все

условия теоремы 1.1 существования и единственности решений (функции f(x, y) = −p(x)y + q(x) и fy0(x, y) = −p(x) непрерывны в D). Следовательно, любая задача Коши с начальными условиями

имеет для уравнения (1.18) единственное решение. Разумеется, то же относится и к соответствующему однородному уравнению:

x (a, b). Любое другое решение в силу единственности не имеет с ним общих точек, т. е. не обращается в нуль ни при каких x, а следовательно, сохраняет знак на всем промежутке своего задания.

Найдем для (1.20) решение задачи Коши с начальными условиями (1.19). Уравнение (1.20) является уравнением с разделяющимися переменными. Если y0 = 0, то в силу единственности y(x) ≡ 0, x (a, b). Если y0 6= 0, то в силу сделанного замечания y(x) 6= 0, причем sign(y(x)) =

17

= sign(y0). Искомое решение в этом случае, согласно (1.10), удовлетворяет уравнению

или

x

y(x)

Z

ln = − p(x) dx. (1.21)

y0

x0

Убирая в (1.21) знак модуля (sign(y(x)) = sign(y0)), получаем

Функция, определенная (1.22), решает задачу Коши (1.20)–(1.19) и задана на всем (a, b). Заметим, что полученная формула (1.22) содержит и нулевое решение уравнения (1.20) (если y0 = 0, то y(x) = 0 для всех x (a, b)). Итак, решение любой задачи Коши (1.20)–(1.19), т. е. любое решение уравнения (1.20), имеет вид (1.22) и определено на всем интервале (a, b). Фиксируя x0 (a, b) и меняя y0 в (1.22) от −∞ до +∞, получаем все решения уравнения (1.20).

Обозначим через P (x) какую-нибудь первообразную функции p(x). Тогда (1.22) с учетом формулы Ньютона–Лейбница можно записать в виде

(C = y0eP (x0) может принимать любые значения, поскольку y0 R). Итак, все решения уравнения (1.20) заданы на (a, b) и представимы

формулой (1.23), где C – произвольная постоянная, P 0(x) = p(x). Иногда,

Формулы (1.22) - (1.24) называют формулами общего решения линейного однородного уравнения (1.20). При этом формула (1.22) предпочтительней, так как она не только содержит все решения уравнения (1.20), но и дает в явном виде решение задачи Коши (1.20)–(1.19).

18

Перейдем теперь к неоднородному уравнению (1.18). Будем искать решение этого уравнения в виде

т. е. в виде (1.23), где произвольная постоянная C заменена на неизвестную функцию u(x) – вот почему такой метод поиска решения линейного неоднородного уравнения называется методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа). Дифференцируя (1.25) и подставляя в (1.18), получим

Обозначим через Q(x) какую-нибудь первообразную функции q(x)eP (x), например

x0

где x0 – произвольная точка из (a, b); Q(x) – непрерывно дифференцируемая функция на (a, b). Из (1.26) следует, что u(x) = Q(x) + C, где C – некоторая постоянная. Подставляя найденное выражение для u(x) в (1.25), окончательно получим

Если первообразные P (x) и Q(x) записать в виде соответствующих неопределенных интегралов, то (1.28) примет вид

Итак, формулы (1.28) - (1.30) дают при всех C R решения уравнения (1.18), определенные на всем интервале (a, b) (проверяется подстановкой функции y(x) в уравнение (1.18)). Покажем, что выбором C можно решить

19