Материал: 1395

31

граничной частотой gd , граничная частота ga аналогового прототипа должна удовлетворять соотношению

Переходная характеристика дискретной или цифровой системы

определяется как реакция системы, находящейся в исходном состоянии

дискретной системы

получаем изображение выходной реакции или переходной характеристики

характеристику дискретной или цифровой системы hk .

Импульсная характеристика дискретной или цифровой системы

определяется как реакция системы, находящейся в исходном состоянии

системной функции дискретной системы

получаем изображение выходной реакции или импульсной характеристики

Vz Gz Ez Sz Sz ,

которое совпадает с выражением системной функции дискретной системы. Обратное Z - преобразование этого выражения дает импульсную

характеристику дискретной или цифровой системы gk .

Как видим, импульсная характеристика gk и системная функция (характеристика) S z дискретной системы связаны Z - преобразованием.

33

Таким образом, обратное свойства Z - преобразование системной функции соответствует импульсной характеристике. Другими словами, импульсная и системная функции связаны Z - преобразованием.

Отметим еще раз, что переходная и импульсная характеристики дискретной системы определяются лишь свойствами самой системы.

Связь импульсной и переходной характеристик. Импульсная характеристика дискретной системы может быть определена также по известной переходной характеристике. Действительно, импульсной характеристике соответствует входное воздействие, типа одиночного единичного - импульса 10 , которое может быть представлено как разность

где , - правый и левый разностные операторы. Здесь учтено, что значение последовательности 1k 1, при k 0, равно нулю, то есть 1 1 0 .

В силу линейности Z - преобразования реакция на алгебраическую сумму воздействий равна алгебраической сумме реакций на каждое воздействие. При этом, принимая реакцию на последовательность 1k , при

k 0 , за переходную характеристику hk , а реакцию на последовательность

переходной характеристики в момент предшествующий нулю. Учитывая, что при отрицательных аргументах переходная характеристика равна нулю, получаем

Тогда в области изображений импульсной характеристики имеем следующее соотношение

где S z - системная функция дискретной системы.

Полученное соотношение находится в полном соответствии с теоремой Z - преобразования об изображении обратной разности дискретной функции

34

являются конечно-разностными аналогами теоремы преобразования Лапласа о дифференцировании оригинала.

Методы исследования дискретных систем во временной области, в частности, определение частотной, переходной и импульсной характеристик дискретных и цифровых систем в аналитическом виде сопряжено с решением разностных уравнений.

5.5 Методы решения разностных уравнений первого порядка

Методы аналитического решения разностных уравнений напоминают методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди группы известных методов решения разностных уравнений следует назвать операторный метод, метод неопределенных коэффициентов, метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) и представление решения в форме Коши (метод Коши).

В изучаемой дисциплине отдано предпочтение операторному методу, основанному на теории Z - преобразования дискретных функций и, наиболее значимым аналитическим методам Лагранжа и Коши, справедливым, как для разностных уравнений с постоянными коэффициентами, так и переменными коэффициентами.

Переход от системной функции к разностному уравнению и определение начальных условий. Методы решения разностных уравнений предполагают переход от заданной системной функции дискретного устройства к разностному уравнению, описывающему выходную переменную дискретного устройства. Как уже отмечалось, переход от системной функции к разностному уравнению, в предположении нулевых

Истинные начальные условия учитываются непосредственно при решении разностного уравнения.

Как уже отмечалось, в качестве независимых условий, необходимых для нахождения частного решения разностного уравнения чаще используются начальные условия. Начальные условия удобно определять по

35

теореме Z - преобразования о начальном значении оригинала дискретной функции либо по исходному разностному уравнению, задавая последовательно соответствующие значения независимой переменной k .

Операторный метод. Операторный метод основан на теории Z - преобразования дискретной функции времени в плоскость комплексной переменной z . Суть операторного метода решения разностных уравнений заключается в переходе от исходного разностного уравнения

к дробно-рациональной функции относительно изображения неизвестной переменной Yz

используя теорему Z - преобразования об упреждении функции на m тактов

с учетом начальных условий yn .

Заметим, что начальные значения функции и ее смещений в

результате выделения изображения выходной реакции оказываются в

числителе дробно-рациональной функции вместе с изображением входного воздействия.

Далее, применяя обратное Z - преобразование, находим оригинал выходной переменной, то есть решение разностного уравнения.

Обратное Z - преобразование можно найти, используя соответствующие таблицы, либо, заменяя интеграл по замкнутому контуру суммой значений комплексной функции в особых точках, то есть, суммой вычетов.

Применительно к нашей дисциплине, предполагается, что нам известны: оригинал и изображение входного воздействия и функциональная схема дискретного устройства. По функциональной схеме однозначно записывается разностное уравнение либо системная функция и, соответственно, изображение выходной переменной. Далее, применяя обратное Z - преобразование, находим оригинал выходной переменной, то есть реакцию устройства на входное воздействие.

Метод Лагранжа для разностных уравнений первого порядка.

Рассмотрим аналитическое решение неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами первого порядка

a1 E a0 yk a1 yk 1 a0 yk fk

методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).