Материал: 1395

26

уравнение. Так, если a0 0 , а an

уравнения равен n 1.

Отметим еще раз, что в отличие от обыкновенного дифференциального уравнения, порядок разностного уравнения определяется разностью

E2 E yk 0 и, следовательно, это уравнение первого, а не второго

порядка.

Известно, что однородное разностное уравнение n - го порядка

линейно независимых решений.

Характеристическое уравнение, соответствующее разностному уравнению, соответствует левой части уравнения при замене оператора сдвига переменной p

В общем случае характеристическое уравнение имеет n - корней pi d i , среди которых могут быть кратные и нулевые.

Независимые решения, в общем случае, определяются корнями di характеристического уравнения yi,k dik и образуют фундаментальную систему решений однородного разностного уравнения. Независимые

и представляет собой аналог определителя Вронского, который в случае разностных уравнений называется определителем Касорати.

Общее решение однородного разностного уравнения записывается в

виде

27

где ci - произвольные постоянные, не зависящие от k и, определяемые из

независимых дополнительных условий.

Согласно теории разностных уравнений, общее решение разностного уравнения представляется суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения определяется с использованием независимых дополнительных условий, например, начальных условий.

Элементы Z - преобразования. Важным элементом теории дискретных систем описываемых дискретными или решетчатыми функциями является раздел теории функций комплексного переменного - Z - преобразование дискретных функций в комплексные функции z - плоскости.

Для вычисления значения интеграла по контуру C на комплексной плоскости z используются теория вычетов функций комплексных переменных. Вычеты представляют собой значение комплексной функции в особых точках, и значение интеграла определяется суммой вычетов. Оригиналы функций, заданных Z - изображениями, могут быть определены и по таблицам обратного Z - преобразования.

Согласно теории Z - преобразования, оператору сдвига (упреждения) E в области оригиналов соответствует оператор z в комплексной плоскости

изображений, а оператору сдвига (запаздывания) E 1 в области оригиналов

соответствует оператор z 1 в комплексной плоскости изображений.

Дискретные гармонические функции времени. Дискретным гармоническим функциям времени sin( k) и cos( k) , как оригиналам,

соответствуют изображения в комплексной z - плоскости вида

Таким образом, теория Z - преобразования является эквивалентом преобразования Лапласа для непрерывных систем и представляет собой одну из разновидностей интегрального преобразования функций дискретного аргумента в области оригиналов в непрерывную комплексную функцию области изображений.

Характеристики дискретных систем. По аналогии с непрерывными системами вводят соответствующие характеристики дискретных или цифровых систем.

Системной или (передаточной) характеристикой дискретной или цифровой системы называется отношение изображения реакции к изображению входного воздействия.

Как видим, определение системной функции не конкретизирует вид входного воздействия, оно может быть любым, главное, чтобы изображения воздействия и реакции существовали.

Для получения выражения системной функции перепишем разностное уравнение в виде

29

Выразив отношение изображения выходной реакции системы к изображению входного воздействия, получаем выражение для системной или передаточной функции в комплексной плоскости изображений

дискретной системы.

Знаменатель передаточной функции, приравненный нулю, определяет

характеристическое уравнение дискретной или цифровой системы.

Другое определение характеристического уравнения соответствует однородной левой части разностного уравнения при замене степени оператора сдвига степенью комплексной переменной z .

Связь системной функции и разностного уравнения. Последние три соотношения указывают на способ перехода от разностного уравнения к системной функции и наоборот. Причем, при переходе от системной функции к разностному уравнению следует считать начальные условия нулевыми, а истинные начальные условия учесть при решении разностного уравнения.

Начальные условия. Как и в аналоговом случае, начальные условия могут быть определены по системной функции на основании теоремы дискретного операционного исчисления ( Z - преобразования) о начальном значении функции

определить соответствующие значения функции. При этом учитывается тот факт, что при отрицательных значениях k значения функции (реакции на выходе дискретной системы) равны нулю, так как входное воздействие

значения y0 и y1 .

Частотная характеристика (ЧХ) дискретной или цифровой системы. Частотная характеристика дискретной или цифровой системы,

30

получается, по системной (передаточной) функции при замене оператора z e j T

Амплитудо - частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики дискретной или цифровой системы представляют собой,

как и в аналоговом случае, соответственно, модуль и аргумент комплексной ЧХ.

Отметим, что частотные характеристики дискретных или цифровых систем, в отличие от аналоговых систем, имеют периодически

может быть определена как установившаяся реакция системы на единичное дискретное гармоническое воздействие при исходном состоянии покоя.

Под исходным состоянием покоя, как и в случае аналоговых систем, понимается полное установление реакции на предыдущее воздействие и

используются при синтезе дискретных и цифровых фильтров по аналоговому прототипу. При этом, вместо обратной замены p j ln(z) /T ,

приводящей к физически нереализуемым системам, используют простую замену функции логарифма первым членом разложения еѐ в ряд Тейлора

Из приведенного соотношения видно, что связь частот аналогового прототипа и синтезируемого дискретного или цифрового фильтра нелинейная, поэтому при реализации цифрового фильтра с заданной