Документ: 1395, страницы 16-20 | Студенческое хранилище

Материал: 1395

Смотрите также:

16

Пример 3.		Пусть	задана	квадратичная			дискретная функция вида
fk k 2 . Вычисляя последовательно разности, получаем
		fk	fk 1	fk	(k 1)2	k 2	2 k 1,
2	fk	fk 1		fk	[2 (k 1) 1] [2 k 1] 2 .
	fk	fk 1		fk	[2 (k 1) 1] [2 k 1] 2 .
			3	fk	2	0 .

Таким образом, первая разность квадратичной функции есть линейная функции. Вторая разность квадратичной функции соответствует постоянной величине. Третья разность и более высокие разности квадратичной функции равны нулю.

Пример 4. Определим разности экспоненциальной дискретной

функции fk e k .	Воспользовавшись				соответствующими формулами,
получим
	fk	e (k 1)		e k	e k (e	1) ;
2	fk	(e	1)	e k	e k (e	1)2 ;
и в общем случае
n	fk	(e	1)n 1	e k	e k (e	1)n .

Таким образом, экспоненциальная дискретная функция имеет разности любого порядка отличные от нуля.

Обратный разностный оператор. Рассмотрев свойства разностных операторов, уместно поставить вопрос о существовании оператора обратного

разностному, то есть оператора	1 , который по аналогии с интегральным
оператором непрерывных функций
D	f (t) g(t) ,
g(t)	D 1 f (t) ,

позволял бы по результату действия разностного оператора находить исходную дискретную функцию (первообразную)

			fk	gk ,
			fk	1	gk
или
			1	fk	fk ,
				fk	fk ,
откуда следует, что	1	1	1.
откуда следует, что			1.
На том основании, что действие разностного оператора на сумму
функциональной последовательности определяется выражением
n 1
fk c [ fk fk 1			f0	c] [ fk 1 fk 2		f0 c] fk ,
k 0

где c - некоторая постоянная суммирования, определим обратный разностный оператор через сумму функциональной последовательности

		17
1	n 1		n
1	fk	fk C	fk 1 C .
	k	0	k 1

Это соотношение можно переписать без указания нижнего предела суммирования в виде

1	k n 1	k	n
1	fk	fk C	fk 1 C ,

так как произвольное число членов предыдущего выражения с постоянной суммирования c образуют новую постоянную C . Произвольный нижний предел суммирования является аналогом нижнего предела интегрирования непрерывных функций.

Рассмотрим действие обратного разностного оператора на факториальный многочлен. Можно убедится, что действие обратного разностного оператора описывается выражением

		1	k	(m)	1		k(m 1)	c
		1		(m)
					m
					m	1
или
	1 [k				n		k 1
	1 [k	(k 1) (k 2) (k	m 1)]				n (n	1) (n 2) (n m 1)
1		k (k 1) (k 2) (k m 1) c ,

	m 1

где c - некоторая постоянная суммирования. Действительно, вычисляя разность от этого выражения, в соответствии с приведенными ранее соотношениями

приходим к исходному факториальному многочлену.

Приведенное краткое определение обратного разностного оператора указывает на необходимость более детального рассмотрения этого вопроса с позиций суммирования дискретных функций и задачей определения первообразной дискретной функции времени.

Суммирование дискретных функций. Задача определения первообразной дискретной функции. Рассмотрим операцию обратную

взятию конечной разности.	Пусть дискретная функция fk определена	при
положительных значениях	k 0,1, 2, . Найдем дискретную функцию	Fn ,

для которой функция fk является разностью первого порядка.

Эта задача подобна задаче о нахождении первообразной для непрерывных функций. Оказывается, искомая функция может быть определена суммой вида

n 1		n
Fn	fk	fk 1 ,
k 0	k	1

18

при n	1, 2, 3, .
Действительно
							n	n 1
			Fn	Fn 1	Fn		fk	fk	fk n .
						k	0	k 0
Функцию Fn , по аналогии с интегральным									исчислением,		называют
первообразной функции				fk .
Если дискретная функция						fk ,	определена при всех целочисленных
аргументах k		0, 1,		2, ,	то для определения первообразной функции
										n
необходимо, кроме того, потребовать сходимость ряда										fk при каждом
										k
конечном n . В этом случае первообразная определится выражением
						n 1
					Fn		fk .
						k
Если функция			Fn	является первообразной					для	функции	fk , то и
функция Fn		c , где c - постоянная суммирования, также является
первообразной для дискретной функции fk .
Действительно
				(Fn	c)		Fn	c fn ,
так как	c	0 .
Таким образом, общий вид первообразной функции для
рассматриваемой дискретной функции							fk , определяется суммой
						n 1
				Fn			fk	c .
						k
Значение постоянной c можно выразить через значение
первообразной, при некотором фиксированном значении аргумента n N
							N 1
				c	FN		fk .
							k
Подставляя последнее выражение в предыдущую формулу, получим
			n 1			N 1		n 1
		Fn		fk	FN		fk		fk FN .
			k			k		k N
Из последнего соотношения, в свою очередь следует
							n 1
				Fn		FN		fk ,
							k N
для любого n		N .
Полученное			выражение,				является		дискретным		аналогом

соответствующей формулы интегрального исчисления, связывающей интеграл с первообразной функцией.

Перепишем это выражение в виде

19
N m 1	m 1
FN m FN	fk	fN l ,
k N	l	0

где m 1, 2, . Сумму этого выражения, по аналогии с определенным интегралом называют определенной суммой. Учитывая, что fn Fn , последнее соотношение можно переписать в виде

		N m 1
FN	m FN		Fk ,
		k	N
или при N 0
	m 1
	Fm	Fk F0 .
	k	0
Отметим, что для	дискретных		функций справедлива формула

суммирования по частям, аналогично формуле интегрирования по частям.

Так, если в последней формуле положить Fm						Um Vm и	m n	1,
то
n					n
Un 1 Vn 1	(Uk Vk ) U0 V0				(Uk	Vk	Uk Vk 1) U0 V0 .
k 0				k	0
Эту формулу можно переписать также в виде, сумм по частям
n				k n 1		n
n						n
	Uk	Vk Uk	Vk			Uk Vk 1 .
k	0			k	0	k 0
Поскольку	в	исчислении	конечных			разностей	часто	приходится

находить суммы регулярных, конечных и бесконечных последовательностей обратимся к известным понятиям арифметической и геометрической прогрессий.

Прогрессии, конечные и бесконечные ряды. Приведем краткие сведения об арифметической и геометрической прогрессиях, а также о регулярных конечных и бесконечных числовых последовательностях.

Арифметическая прогрессия. Арифметической прогрессией называется регулярная последовательность элементов, в которой каждый последующий элемент отличается от предыдущего на определенную

величину r , называемую разностью

прогрессии.

При r

0 ,

прогрессия

является возрастающей, а при r

0 - убывающей.

Записывая арифметическую прогрессию в виде регулярной

последовательности

элементов

P{an} a1, a2,

, an ,

видим,

что n -ый

элемент равен an

a1

(n 1)

r am

(n m)

r ,

где

m

n .

Сумма n

элементов арифметической прогрессии определяется выражением

n

n (a1

an )

n (am (m 1) r an )

S

n

a

.

k

2

k

1

Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется регулярная последовательность элементов, в которой каждый последующий

20

элемент отличается от предыдущего множителем q , называемым

знаменателем прогрессии. При q

1,

прогрессия является возрастающей, а

1 - убывающей.

при

q

Записывая геометрическую прогрессию в виде регулярной

последовательности

элементов

P{an}

a1, a2, , an , видим,

что n -ый

элемент

равен a

a

qn 1 a

qn m ,

где m

n .

Сумма n

элементов

n

1

m

геометрической прогрессии определяется выражением

n

a1

(q

n

1)

am (q

n

1)

Sn

ak

.

q

1

qm 1 (q

1)

k 1

Для убывающей геометрической прогрессии удобнее пользоваться

формулой

n

a1

(1

q

n

)

am (1

q

n

)

Sn

ak

.

1

q

qm 1 (1

q)

k 1

Если число элементов убывающей геометрической прогрессии безгранично растет, то есть n , то qn 0 и значение суммы определится пределом

Snlim Sn 1a1q .

Вкачестве примера применения последнего соотношения рассмотрим убывающую последовательность вида

1	1	1	1		1	2 .

	2	22		2n	1 1/ 2

Конечные ряды. Приведем значения сумм некоторых конечных рядов

1 2 3			(n 1) n						n (n 1)				;
1 2 3			(n 1) n							2			;
										2
p ( p 1) ( p 2)								( p n)					(n 1) (2 p n)				;
p ( p 1) ( p 2)								( p n)						2			;
														2
1	3 5		(2	n	1)			n2 ;
2	4	6	2	n	n (n					1) ;
12	22	32		n2			n (n 1) (2 n 1)								;
12	22	32		n2											;
										6
13	23	33		n3		n2 (n 1)2						;
13	23	33		n3								;
										4
14	24	34		n4			n (n 1) (2 n 1) (3 n2 3 n 1)											;
14	24	34		n4										30				;
														30
12	32	52		(2 n 1)2							n (4 n2			1)		;
12	32	52		(2 n 1)2									3			;
													3
13	33	53		(2 n 1)3						n2 (2 n2				1) .

k(m) k (k 1) (k 2) (k m 1) ,