Материал: 1395

11

Непрерывные функции и операции над ними изучаются в интегральном и дифференциальном исчислении. Соответствующие операции над дискретными или решетчатыми функциями являются предметом исчисления конечных разностей.

5.3 Исчисление конечных разностей

Исчисление конечных разностей, дискретно-заданных (решетчатых) функций, вводит основные понятия: - разностного и обратного разностного операторов, являющихся дискретными аналогами, соответственно, дифференциального и интегрального операторов непрерывных функций.

Любая функция, определенная в равноотстоящие отрезки времени, путем выбора масштаба может быть приведена в соответствие обозначению f (k T ) f (k) fk , где k принимает целочисленные значения.

Оператор сдвига. Определим оператор сдвига E (или упреждения), как оператор, сдвигающий отсчет функции на единицу вперед

С точки зрения математических операций операторы упреждения и задержки равноценны, однако, в реальных дискретных и цифровых системах обычно реализуются задержки на заданное число тактов.

Разностный оператор. Разностный оператор или конечную разность первого прядка определим как разность значений соседних отсчетов функции

12

fk fk 1 fk .

Это так называемый правый разностный оператор или разность вперед, в отличие от используемого иногда левого разностного оператора или разности назад

fk fk fk 1 .

Далее будем использовать в основном правый разностный оператор и будем именовать его просто разностным оператором.

Из определений разностного оператора и оператора сдвига следует их взаимосвязь

Разностный оператор или разность третьего порядка, соответственно, запишется

В общем случае, разностный оператор или разность k - го порядка определяется выражением

Разложение функции в ряд по разностным операторам. В свою очередь решетчатую функцию, по аналогии с рядом Тейлора, можно разложить в ряд по конечным разностям.

Так из выражения первой разности получаем

Расписывая вторую разность в виде

13

получаем

Полученные формулы выражают значение дискретной функции через ее конечные разности до n - го порядка включительно и являются дискретным аналогом разложения непрерывной функции в ряд Тейлора по ее производным.

Свойства разностных операторов. Отметим, что разностный оператор является линейным оператором. Действительно, рассматривая линейную суперпозицию дискретных функций fi , имеем

где ci - коэффициенты линейной суперпозиции. Следствием этого выражения являются соотношения

Рассмотрим разность от произведения двух дискретных функций

Аналогично можно получить формулу для разности второго порядка от произведения двух функций

Таким образом, разностные формулы от произведения дискретных функций соответствуют по структуре формулам дифференцирования произведения непрерывных функций.

Рассмотрим разность от отношения двух дискретных функций

производная непрерывной функции определяется в виде

При разложении функций в ряд Тейлора или при кратном использовании разностных операторов появляются коэффициенты, содержащие факториал. В связи с этим полезно рассмотреть, так называемый факториальный многочлен, определяемый выражением

(k)(m) k (k 1) (k 2) (k m 1) ,

где m 1- число сомножителей.

Можно показать, что действие разностного оператора на факториальный многочлен определяется выражением

Приведем ряд примеров вычисления разностей некоторых простых дискретных функций и проиллюстрируем, таким образом, основные соотношения исчисления конечных разностей.

Примеры вычисления разностных операторов заданных дискретных функций.

определению разностного оператора, получаем

Вывод – первая разность линейной дискретной функции есть постоянная величина. Вычислив вторую разность, получаем

что вторая разность линейной функции равна нулю.