Документ: 1395, страницы 21-25 | Студенческое хранилище

21

Бесконечные ряды. Приведем значения сумм некоторых бесконечных

рядов

1	1		1					1			1										e ;

	1 !		2 !					3 !							n !
	1 !		2 !					3 !							n !
1		1			1				1						1							1		;
1	1 !		2 !					3 !							n !							e		;
	1 !		2 !					3 !							n !							e
1	1		1			1				1						ln(2) ;

	2		3			4				n
	2		3			4				n
1	1		1			1				1							2 ;

	2		4			8				2n
	2		4			8				2n
1		1		1			1			1								2	;
1	2		4			8				2n							3		;
	2		4			8				2n							3
1	1		1			1		1			1												;

	3		5			7		9				2n								4
	1		1					1			1													1;

1 2			2 3					3 4						n (n			1)
1 2			2 3					3 4						n (n			1)
	1		1					1									1									3	;
1 3 2 4 3 5													(n 1) (n 1)													4	;
1 3 2 4 3 5													(n 1) (n 1)													4
	1					1				1														1					1	;
1 2 3 2 3 4 3 4 5																			n (n 1) (n 2)									4		;
1 2 3 2 3 4 3 4 5																			n (n 1) (n 2)									4
	1		1					1			1								2
1	1		1					1			1														.

	22		32					42						n2							6

Приведенные значения сумм конечных и бесконечных рядов могут оказаться полезными при решении практических задач определения характеристик дискретных систем.

Далее приведем ряд примеров определения первообразной от заданных функций, то есть проиллюстрируем действие обратного разностного оператора.

Примеры определения первообразных заданных дискретных

функций.

Пример 1. Пусть задана функция fk

e

k , при

0 и k

0,1, 2, .

Найдем первообразную, используя аналогию формулы суммирования и

формулы сходящейся геометрической прогрессии

1 f

n 1

k

1

e

n

F

e

,

k

n

1

e

k

0

здесь e

q - знаменатель геометрической прогрессии.

Пример 2. Пусть

задана

функция

f

k

e

k

, при

0 и

k 0, 1,

2, .

22

Для определения первообразной необходимо вычислить сумму вида

	1 f		n 1	k
			n 1
F		k	e		.
F			e		.
n

k

В данном случае k и соответственно n могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому удобно произвести суммирование отдельно для положительных и отрицательных значений аргумента k и n

1

n

k

1

e

n

f k F n

e

;

1

e

k

0

1 f k

F n

e

k

e

k

e

.

k

1

k 1

1

e

Теперь, используя полученные выражения, найдем итоговое значение суммы при положительных n

Fn F n

F n

1 e

n

e

1 e

(1 e

(n 1) )

1 e

и отрицательных n

n

k

e k

e

F

e

.

n

1

e

k

n

Пример 3. Пусть задана функция

fk

k , где k

0,1, 2,

, и требуется

определить первообразную. Применяя, в данном случае, формулы арифметической либо геометрической прогрессий, получаем

	1 f		n 1		(n	1) n		1	n(2) .
F			k		(n	1) n		1
F		k	k
n		k				2	2
			k 0			2	2
			k 0
Здесь напоминаем, что	n(2)		n (n	1) -		в соответствии с				определением
факториального многочлена.
Пример 4. Пусть задана функция fk						k 2 , где k 0,1, 2,				, и требуется

определить первообразную. В данном случае воспользоваться формулами арифметической либо геометрической прогрессии напрямую не удается, поэтому обратимся к выражению разности первообразной, которая равна

Fn fn n2 .

Далее распишем эту функцию через разностные операторы функций n, n2, n3

n

1

n

1;

n2

(n 1)2

n2

2 n 1;

n3

(n 1)3

n3

3 n2

3 n 1.

Из выражения для n3 и

n2 находим

n2

1

n3

n

1

,

n

1

n2

1

.

3

2

Подставляя последнее выражение в предпоследнее, получим

															23
n2		1				n3				1	n2				1				1 1						n3	1			n2				1	.

		3								2					2		3				3					2						6
		3								2					2		3				3					2						6
Далее, учитывая, что								n		1, получаем
n2	1				n3			1			n2	1				n							1		n3	1			n2		1	n .
n2					n3						n2					n									n3				n2			n .
	3							2				6											3			2				6
Из последнего выражения следует, что
					1			F			1 f				1				n3		1			n2			1	n c .
								F			1 f		k						n3					n2				n c .
									n				k		3						2					6
															3						2					6
Постоянную суммирования определяем, например, при n 1
											1 1						1				1		1
									F		k 2				0		1				1		1		c ,


								1									3				2		6
											k 0						3				2		6
											k 0
откуда следует, что c								0 .
Таким образом, первообразная заданной функции имеет вид
F					1 f					1	n3	1		n2				1		n			n (n 1) (2 n 1)										.
F					1 f			k			n3			n2						n													.
n								k		3		2					6									6
										3		2					6									6
Пример 5. Найти двойную сумму выражения
							n 1 k 1				n 1 k (k 1) 1 n 1															(k 2
			F								l																		k ) .
			F								l																		k ) .
				n											2						2
							k	0 l		0	k	0			2						2				k 0
Воспользовавшись результатами предыдущих примеров, запишем
F			1			1	n (n 1) (2 n 1)													1		n (n 1)
F							n (n 1) (2 n 1)															n (n 1)
n	2				6												2
	2				6												2
	1																1													n(3)
					n (n 1)						(2 n		4)								n (n				1)	(n			2)				.
					n (n 1)						(2 n		4)								n (n				1)	(n			2)				.
	2																6													3 !

Выполняя аналогичные выкладки, можно получить общую формулу для суммы произвольной кратности m

n 1	k	1 k	2	1	n	(m 1)
	3		2	k1	n		.

					(m 1) !
km 0	k2	0 k1		0	(m 1) !
km 0	k2	0 k1		0

Таким образом, исчисление конечных разностей дискретных функций является аналогом дифференциального и интегрального исчисления непрерывных функций. Математической моделью дискретных устройств во временной области являются, соответственно, разностные уравнения по аналогии с дифференциальными уравнениями аналоговых устройств.

5.4 Уравнения и характеристики дискретных систем

Разностные уравнения. Разностные уравнения дискретных систем выступают в качестве аналога дифференциальных уравнений непрерывных систем. Как отмечалось в начале раздела, сигналы на входе и выходе дискретной системы связаны разностными уравнениями вида

				24
	n			m
		ak	yk		bk xk ,
	k	0		k	0
	n	Ek			m	Ek
	a	Ek	y		b	Ek	x
	k		0		k		0
k	0			k	0
или
	n	k		m		k
	a	k	y		b	k	x	,
	k		0		k		0
k	0			k	0

где m n ; ak , bk - коэффициенты; xk , yk - отсчеты входного и выходного

сигналов. Из соображений удобства аналитического описания эти уравнения часто записывают относительно k - го отсчета сигнала

ak n yk n	bk m xk m
n 0	m 0
или

a	n	En	y	b	m	Em	x
k	n		k	k	m		k
n 0				m 0
и, соответственно,
a	n	n	y	b	m	m	x .
k	n		k	k	m		k
n 0				m 0

Две последние формы записи разностного уравнения достаточно просто преобразуются друг в друга, однако вторая форма записи используется гораздо реже, так как аналитические методы решения ориентированы на первую форму.

Часто используют несколько упрощенную форму записи разностного уравнения относительно k - го отсчета сигнала

an yk n	bm xk m
n 0	m 0
или

		a	En y	b		Em x .
		n	k	m			k
		n 0		m 0
Таким образом, разностным уравнением называется уравнение связи
отсчетов неизвестной дискретной функции					y	k	и ее разностей	n y	или
						k			k
сдвигов En y	y	.
k	k n

С другой стороны, разностные уравнения представляют собой рекуррентное соотношение позволяющее определить значение следующего отсчета неизвестной дискретной функции через известные значения предыдущих отсчетов. В рекуррентной форме разностное уравнение приобретает вид

yk n	ak n 1 yk n 1	bk m xk m / ak n .
n 0		m 0

25

Используя значения предыдущих отсчетов неизвестной функции находим значения последующих, то есть получаем численное решение разностного уравнения представленного в рекуррентной форме. Часто не прибегают к итерационной процедуре решения, а стараются получить решение в аналитическом виде.

Заметим, что в этом случае значения предыдущих отсчетов неизвестной дискретной функции выступают в роли начальных значений.

Решить разностное уравнение означает, найти неизвестную дискретную функцию по заданному уравнению связи. Общее решение разностного уравнения представляет семейство функций удовлетворяющих уравнению связи. Для определения частного решения необходимы дополнительные условия, в качестве которых можно использовать начальные условия функции и ее предыдущих отсчетов.

По аналогии с дифференциальными уравнениями вводятся и другие понятия теории разностных уравнений.

Однородным разностным уравнением называется уравнение, правая часть которого равна нулю. Однородное разностное уравнение описывает “свободные колебания” дискретной системы.

Независимый набор решений однородного разностного уравнения называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений определяется корнями характеристического уравнения.

Независимой фундаментальной системе решений соответствует отличный

от нуля определитель Касорати.

Различают разностные уравнения с постоянными коэффициентами и переменными коэффициентами, когда ak (k ), bk (k ) являются функциями

дискретного времени.

Линейными разностными уравнениями называются уравнения,

коэффициенты которого являются линейными функциями входного и выходного сигналов и независимой переменной k . Разностные уравнения с постоянными коэффициентами являются частным случаем линейных уравнений. Нас в основном будут интересовать разностные уравнения с постоянными коэффициентами, хотя рассматриваемые нами методы применимы и для линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами.

Общие свойства линейных разностных уравнений. Рассмотрим кратко общие свойства линейных разностных уравнений, как с переменными, так и постоянными коэффициентами. В общем случае линейное разностное уравнение n - го порядка можно записать в виде

	a En	a	1	En 1	a E a y		k	f	k	,
	n	n			1	0
где an	0, a0 0 и ai - определены для всех целых значений k .
Заметим, что порядок разностного уравнения определяется как
разность	старшей и младшей степеней оператора						сдвига, входящего в

Материал: 1395

Смотрите также: