Материал: 1395

6

элементы, выносятся на поле графического редактора, соединяются между собой, подключаются дисплеи-индикаторы, выставляются параметры звеньев и производится запуск модели. На экранах дисплеев графически отображаются все необходимые характеристики моделируемой системы.

Так как функциональная модель связана со структурой разностного уравнения, то возможен и обратный переход от модели к разностному уравнению.

Остановимся кратко на особенностях построения функциональных моделей разностных уравнений дискретных систем. В функциональных

переменной, последовательно пропускается через звенья задержки, до тех пор, пока не получится y(k T ) yk . Соединение звеньев функциональной схемы производится в соответствии с разностным уравнением, описывающим связь отсчетов входного xk и выходного yk сигналов.

На рисунке 5.2 изображена функциональная схема дискретной системы, с рекурсией выходной последовательности импульсов, описываемой разностным уравнением третьего порядка

yk 3 a2 yk 2 a1 yk 1 a0 yk xk ,

где xk - соответствует входной последовательности импульсов, то есть внешнему воздействию на систему.

Здесь задержанные и масштабированные импульсы выходной последовательности по петле (каналу) обратной связи поступают на вход сумматора. В этом случае говорят о рекурсии (повторной обработке) выходной последовательности и эту часть дискретной системы называют рекурсивной.

Часто, для обозначения звена (блока) задержки на один такт вместо

символа T используют символическую запись оператора запаздывания z 1. Правая часть разностного уравнения также может содержать

взвешенную сумму входной последовательности отсчетов сигнала. В этом случае потребуются дополнительные блоки задержек и масштабирования входной последовательности. Обычно стараются минимизировать число

7

блоков задержек, используя одни и те же блоки для задержек как входной, так и выходной последовательности. В этом случае говорят о канонических функциональных схемах дискретных систем.

На рисунке 5.3 изображена каноническая функциональная схема дискретной системы, с рекурсией выходной последовательности и задержкой входной последовательности импульсов, описываемой разностным уравнением третьего порядка

yk 3 a2 yk 2 a1 yk 1 a0 yk b3 xk 3 b2 xk 2 b1 xk 1 b0 xk .

Здесь поток импульсов внутри дискретной системы zk i представляет собой взвешенную сумму импульсов входной и выходной последовательностей, то есть zk i является внутренней переменной

состояния дискретной системы. Звенья задержки являются общими для входной и выходной последовательности импульсов. Функциональные схемы с минимальным числом звеньев задержки называются каноническими.

Заметим, что при такой канонической реализации дискретной системы значения масштабных множителей ci отличаются от значений

коэффициентов правой части разностного уравнения bi .

Для установления взаимосвязи между масштабными множителями функциональной схемы и коэффициентами разностного уравнения запишем выражения для значений последовательностей на выходах первого и последнего сумматоров, а также во внутренних точках схемы, соответствующих внутреннему состоянию дискретной системы

Сравнивая исходное разностное уравнение с уравнением, полученным по функциональной схеме, приходим к выводу, что масштабные множители нерекурсивной части схемы ci связаны с коэффициентами правой ai и левой

bi частей исходного разностного уравнения рекуррентными соотношениями вида

В общем виде, значения масштабных множителей нерекурсивной части использованной функциональной схемы реализации дискретной системы, могут быть определены из соотношения

Из последней записи следует, что исходные коэффициенты правой части разностного уравнения связаны с масштабными множителями нерекурсивной части функциональной схемы матричным соотношением

Наоборот, масштабные коэффициенты нерекурсивной части функциональной схемы могут быть определены путем обращения указанной матрицы коэффициентов либо из приведенного рекуррентного соотношения.

В общем случае уравнение физически реализуемой дискретной системы может быть записано в виде

где m n и называется разностным уравнением.

В литературе используются также функциональные канонические модели, построенные на основе системных характеристик дискретных систем, в частности, полученные на основе разложения системных характеристик на элементарные дроби. Для многоканальных дискретных систем используются функциональные модели систем приведенных к нормальному виду. На этих моделях мы не будем здесь акцентировать внимания, так как они обычно рассматриваются в более специальных дисциплинах. Нашей задачей здесь было ознакомить с элементами функционального моделирования дискретных систем.

Прежде чем заняться изучением разностных уравнений и методами их аналитического решения целесообразно рассмотреть дискретные функции времени, определенные на последовательности дискретных значений времени.

5.2 Решетчатые функции

Наряду с функциями, определенными на вещественной оси t , применительно к дискретным системам рассматривают функции, определенные лишь в некоторых точках tk . Соответственно, функции

определенные на дискретном множестве точек временной оси, называют дискретными или решетчатыми функциями. Для удобства будем рассматривать функции в равноотстоящих точках tk k T , где k - любое

целое число; T - период или шаг дискретизации.

Для определенных таким образом функций будем использовать обозначение f (tk ) f (k T ) fk . Пример графика решетчатой функции времени изображен на рисунке 5.4.

10

Любой непрерывной функции можно поставить в соответствие

можно рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках

рисунке 5.5 приведены графики непрерывной и решетчатых функций при различных смещениях .