Материал: 1395

36

Согласно метода Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения записывается в том же виде, что и однородного уравнения, только вместо постоянных используется варьируемая постоянная c1,k , то есть

неизвестная функция

второй скобки соответствует однородному уравнению при подстановке фундаментального решения, то есть, равно нулю.

В результате подстановки предполагаемого решения и его сдвига в исходное разностное уравнение и преобразования получаем разрешающее уравнение Лагранжа, определяющее разность варьируемой постоянной

Для получения варьируемой постоянной воспользуемся обратным разностным оператором, который, как известно, с точностью до постоянной

Для раскрытия суммы функциональной последовательности часто используются формулы арифметической или геометрической прогрессий либо формула суммы членов факториального многочлена.

Для определения частного решения неоднородного разностного уравнения необходимо из независимых условий, например, начальных условий, определить постоянную суммирования c1.

37

Заметим, что первое слагаемое решения соответствует общему решению однородного разностного уравнения, а второе слагаемое соответствует частному решению неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение неоднородного разностного уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решение приведенного (нормированного) неоднородного разностного уравнения первого порядка

E a0 yk yk 1 a0 yk fk ,

полученное методом вариации произвольных постоянных запишется в виде

Представление решения неоднородного разностного уравнения первого порядка в форме Коши (метод Коши). Представление решения приведенного (нормированного) неоднородного разностного уравнения первого порядка

E a0 yk yk 1 a0 yk fk

в форме Коши или методом Коши предполагает представление частного решения, используя начальные условия. Так, если записать общее решение, полученное методом вариации произвольных постоянных

и вместо постоянной суммирования c1 подставить начальное значение искомого решения

то получаем запись частного решения неоднородного разностного уравнения первого порядка в форме Коши.

Первое слагаемое решения дает собственную реакцию системы на начальные условия, а второе слагаемое обусловлено реакцией системы на внешнее воздействие.

38

5.6 Примеры определения основных характеристик дискретных систем первого порядка

Для иллюстрации рассмотренных методов решения разностных уравнений определим основные характеристики дискретных систем первого порядка, заданных системной функцией. В качестве основных временных характеристик дискретных систем рассмотрим переходные и импульсные характеристики. Напомним, что переходная и импульсная характеристики определяются, как реакция систем, соответственно, на последовательность единичных - импульсов 1k и на одиночный единичный - импульс 10 , при

исходном состоянии покоя. В качестве реакции рассмотрим напряжение на выходе дискретных систем первого порядка.

Пример 1. Системная (передаточная) характеристика дискретной системы имеет вид

Требуется определить переходную и импульсную характеристики системы. Выразим изображение выходного напряжения дискретной системы

характеристика представляет собой реакцию системы на последовательность единичных - импульсов 1k , при k 0 и периодом T .

Операторный метод. Оригиналу входного воздействия 1k , согласно теории Z - преобразования, соответствует изображение в плоскости z вида

z ek 1k Ez z 1 .

В соответствии с этим, изображение выходного напряжения получаем в виде

z z b Vz z 1 z d .

Из таблиц обратного Z - преобразования находим оригинал выходного напряжения, то есть переходную характеристику дискретной системы

39

Переход от системной функции к разностному уравнению. Далее рассмотрим методы, основанные на решении разностных уравнений описывающих поведение дискретных систем, в связи с чем, рассмотрим переход от системной характеристики к соответствующему разностному уравнению.

При переходе от системной функции к разностному уравнению входное воздействие и выходная реакция заменяются оригиналами, комплексная переменная z , как оператор заменяется оператором сдвига E , в предположении нулевых начальных значений

Преобразуя полученное выражение, приходим к разностному уравнению вида

vk 1 d vk 1k 1 b 1k fk

или

vk 1 d vk 1k 1 b 1k d vk fk .

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

Учитывая, что входное воздействие и выходная реакция при отрицательных значениях k равны нулю, окончательно получаем v0 1.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). В

соответствии с методом Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения первого порядка записывается в виде

где c1,k - варьируемая постоянная, то есть неизвестная пока дискретная функция; y1,k d1k - фундаментальное решение однородного уравнения; d1 d - корень характеристического уравнения.

Определяющее уравнение Лагранжа, позволяющее определить варьируемую постоянную, запишется в виде

40

Применяя, обратный разностный оператор, приходим к выражению

где c1- новая постоянная суммирования.

Учтем, что при всех значениях переменной n , значение числителя равно 1 b и может быть вынесено за знак суммы. В результате выражение суммы соответствует геометрической прогрессии со знаменателем 1/ d . Используя формулу геометрической прогрессии

находим выражение для варьируемой постоянной c1,k

Подставляя полученное выражение в общее решение, находим

Для определения частного решения неоднородного разностного уравнения необходимо из независимых условий, например, начальных условий, определить постоянную суммирования c1. Учитывая начальное

значение v0 1, из общего решения при k 0, получаем

то есть c1 1.

Подставляя значение c1 в общее решение, находим частное решение разностного уравнения

Полученное решение разностного уравнения описывает переходную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадает с ранее полученным операторным методом выражением.

Решение в форме Коши (метод Коши). Согласно методу Коши,

частное решение неоднородного разностного уравнения первого порядка vk 1 d vk 1k 1 b 1k d vk fk

представляется в виде