Материал: 1395

41

где d - корень характеристического уравнения.

Подставляя начальное значение и, раскрывая правую часть разностного уравнения, получаем решение в виде

вынесено за знак суммы. В результате выражение суммы соответствует геометрической прогрессии со знаменателем 1/ d .

Используя формулу геометрической прогрессии

Полученное решение разностного уравнения описывает переходную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадает с выражениями,

характеристика представляет собой реакцию системы на одиночный единичный - импульс 10 , при k 0.

Отметим, что импульсная характеристика дискретных и цифровых систем определена при k 1.

Определение импульсной характеристики по переходной характеристике. Импульсная характеристика дискретной системы может быть определена также по известной переходной характеристике в соответствии с соотношением

42

при k 0.

Таким образом, по известной переходной характеристике дискретной или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Оригиналу входного воздействия 10 , согласно теории Z - преобразования, соответствует изображение в плоскости z вида

ek 10 Ez 1.

В соответствии с этим, изображение выходного напряжения совпадает с выражением системной функции

z b Vz z d .

В таблицах обратного Z - преобразования подобное выражение отсутствует, поэтому представим его суммой двух выражений

воспользуемся следующим приемом. В соответствии с теоремой о начальном значении функции оригинала

В итоге, суммируя оригиналы слагаемых, получаем оригинал выходного напряжения дискретной системы в виде

43

v1 g1 b d .

Переход от системной функции к разностному уравнению. Далее рассмотрим методы, основанные на решении разностных уравнений описывающих поведение дискретных систем, в связи с чем, рассмотрим переход от системной характеристики к соответствующему разностному уравнению.

При переходе от системной функции к разностному уравнению входное воздействие и выходная реакция заменяются оригиналами, комплексная переменная z , как оператор заменяется оператором сдвига E , в предположении нулевых начальных значений

Преобразуя полученное выражение, приходим к разностному уравнению вида

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

Так как импульсная характеристика для дискретных и цифровых систем определена при k 1, найдем значение v1, используя теорему Z -

преобразования об упреждении на один такт

v1 z Vz z v0 .

44

Учитывая, что входное воздействие и выходная реакция при отрицательных

Учитывая, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени k 0, начальное значение v0 1, окончательно получаем v1 b d .

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). В

соответствии с методом Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения первого порядка записывается в виде

где c1,k - варьируемая постоянная, то есть неизвестная пока дискретная

где c1- новая постоянная суммирования.

Учитывая то факт, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени, получаем, что значение суммы соответствует первому слагаемому

b

c1,k d c1.

Подставляя полученное выражение в общее решение, находим

Для определения частного решения неоднородного разностного уравнения необходимо из независимых условий, например, начальных

45

условий, определить постоянную суммирования c1. Так как импульсная характеристика для дискретных и цифровых систем определена при k 1,

характеристику дискретной системы и, как видим, совпадают с ранее полученными операторным методом выражениями.

Решение в форме Коши (метод Коши). Согласно методу Коши,

частное решение неоднородного разностного уравнения первого порядка

Учитывая то факт, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени, получаем, что значение суммы соответствует первому слагаемому

Полученные решения разностного уравнения описывают импульсную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадают с выражениями, ранее полученными операторным методом и методом Лагранжа.