Материал: 1395

51

комплексная переменная z , как оператор, заменяется оператором сдвига E , в предположении нулевых начальных значений

Преобразуя полученное выражение, приходим к разностному уравнению вида

vk 1 d vk 10 fk

или

vk 1 d vk 10 d vk fk .

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

Так как импульсная характеристика для дискретных и цифровых систем определена при k 1, найдем значение v1, используя теорему Z - преобразования об упреждении на один такт

Учитывая, что входное воздействие и выходная реакция при отрицательных

Учитывая, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени k 0, начальное значение v0 0 , окончательно получаем v1 1.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). В

соответствии с методом Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения первого порядка записывается в виде

52

где c1,k - варьируемая постоянная, то есть неизвестная пока дискретная функция; y1,k d1k - фундаментальное решение однородного уравнения; d1 d - корень характеристического уравнения.

Определяющее уравнение Лагранжа, позволяющее определить варьируемую постоянную, запишется в виде

Применяя обратный разностный оператор, приходим к выражению

где c1- новая постоянная суммирования.

Учитывая то факт, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени, получаем, что значение суммы соответствует первому слагаемому

уравнения необходимо из независимых условий, например, начальных условий, определить постоянную суммирования c1. Так как импульсная характеристика для дискретных и цифровых систем определена при k 1,

Полученные решения разностного уравнения описывают импульсную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадают с ранее полученными операторным методом выражениями.

Решение в форме Коши (метод Коши). Согласно методу Коши,

частное решение неоднородного разностного уравнения первого порядка vk 1 d vk 1k d vk fk

представляется в виде

Учитывая то факт, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени, получаем, что значение суммы соответствует первому слагаемому

Полученные решения разностного уравнения описывают импульсную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадают с выражениями, ранее полученными операторным методом и методом Лагранжа.

5.7 Методы решения разностных уравнений высоких порядков

Общие предпосылки. Решить разностное уравнение, означает, из заданного уравнения связи неизвестной функции и ее сдвигов и дополнительных независимых условий найти функцию, обращающую уравнение в тождество.

В нашем случае разностные уравнения получаются либо по заданной функциональной схеме дискретного или цифрового устройства, либо путем перехода от заданной системной функции в предположении нулевых начальных условий.

Переход от системной функции к разностному уравнению осуществляется путем замены изображений входного воздействия и реакции системы оригиналами и формальной заменой в дробно-рациональном выражении комплексной переменной z оператором сдвига E .

Обратный переход от известного разностного уравнения к системной функции осуществляется путем замены оригиналов входного изображения и реакции системы на их изображения и заменой сдвигов функций оригиналов их изображениями с учетом начальных условий в соответствии теоремы о сдвиге функции оригинала на n - тактов. После приведения подобных, в числителе дробно-рационального представления системной функции

54

окажутся входное воздействие и начальные условия, а в знаменателе – характеристический полином, определяющий свободные колебания дискретной системы.

В качестве независимых дополнительных условий, необходимых для нахождения частного решения разностного уравнения, используются начальные значения функции и ее сдвигов. Начальные условия, в свою очередь определяются либо по системной функции на основании теоремы о начальном значении дискретной функции, либо непосредственно по разностному уравнению путем последовательной подстановки соответствующих значений индексов сдвига и учете того факта, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени равны нулю.

Системы разностных уравнений первого порядка. В связи с рассмотрением вопроса решения разностных уравнений n - го порядка и возможностью перехода к эквивалентной системе n разностных уравнений первого порядка уместно рассмотреть системы разностных уравнений первого порядка.

Нормированная система разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами может быть записана в виде

Матричная форма записи системы разностных уравнений первого порядка имеет вид

X k 1 A X k Fk ,

где X k , X k 1, Fk - векторы неизвестных функций, сдвигов неизвестных

функций и правых частей системы.

Системы разностных уравнений, являются в общем случае математической моделью многоканальных дискретных и цифровых систем. Уравнения, входящие в систему могут быть любого порядка, однако системы уравнений первого порядка являются среди них наиболее простыми и проработанными в аналитическом плане. Зачастую системы n уравнений m - го порядка сводятся к системе (n m) уравнений первого порядка.

Как уже отмечалось, скалярное разностное уравнение n - го порядка yk n an 1 yk n 1 a1 yk 1 a0 yk fk

путем замены переменных может быть преобразовано в эквивалентную систему n уравнений первого порядка.

Так, вводя новые переменные

получаем систему в виде

x1,k 1 x2,k ; x2,k 1 x3,k ;

xn 1,k 1 xn,k ;

В матричной записи эквивалентная система имеет вид

или

X k 1 A X k Fk .

Таким образом, скалярное разностное уравнение n - го порядка эквивалентно системе n разностных уравнений первого порядка с матрицей коэффициентов определенного вида. Методы решения систем разностных уравнений первого порядка можно интерпретировать, как векторно-матричную интерпретацию методов решения скалярных разностных уравнений n - го порядка.

Забегая вперед, отметим, что решение систем разностных уравнений с использованием векторно-матричной символики, предполагает знакомство с функциями матричного аргумента, в частности с определением степенной матричной функцией. Понятие функции матричного аргумента тесно связано с проблемой собственных значений и векторов.

Проблема собственных значений и векторов. Как и в случае аналоговых систем, описываемых непрерывными функциями и обыкновенными дифференциальными уравнениями высокого порядка, аналитическое решение которых записывается через экспоненту матрицы коэффициентов эквивалентной системы дифференциальных уравнений первого порядка, решение разностных уравнений дискретных систем второго и более высокого порядка, описываемых дискретными (решетчатыми) функциями, записывается через степенную функцию матричного аргумента. Выражение функции матричного аргумента предполагает предварительное знакомство с проблемой собственных значений и векторов.

В разделе, посвященном аналитическим методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка, проблема собственных значений и векторов уже была рассмотрена, поэтому здесь мы остановимся на ней кратко.