Материал: 1395

Оказывается, что в общем случае невырожденной матрицы имеется ровно n таких векторов, где n - размерность системы векторов. При этом, векторы, удовлетворяющие указанному условию, называются собственными векторами матрицы, а масштабные коэффициенты при векторах называются собственными значениями матрицы. Собственные векторы xi принято

обозначать в литературе как hi .

Записывая данные соотношения, определяющие собственные вектора и значения в векторно-матричной форме, получим

A [hi ] A H H ,

где H - модальная матрица, составленная из собственных векторов; - в случае невырожденной матрицы коэффициентов это диагональная матрица собственных значений.

В общем случае, вырожденной матрицы, вместо диагональной матрицы имеем Жорданову матрицу J , на главной диагонали которой располагаются так называемые “ящики или клетки Жордана”, соответствующие кратным собственным значениям. В данной дисциплине мы не будем подробно останавливаться на вырожденных случаях соответствующих нулевым либо кратным собственным значениям, так как в аналитическом случае всегда можно предположить, что все собственные значения различны и отличны от нуля, довести аналитическое решение до конца, а затем использовать предельный переход к истинным значениям.

Собственные вектора образуют собственный канонический базис линейно независимых векторов. Каноническое представление матрицы в собственном базисе запишется на основании предыдущего соотношения в виде

На основании канонического разложения невырожденной матрицы вводится понятие аналитической функции от матричного аргумента

Напомним, что матрица, полученная из транспонированной исходной матрицы, заменой элементов на их алгебраические дополнения, называется присоединенной матрицей

C [cij ] Adj(B( i )) [ ij ] .

Из полученного соотношения следует, что собственный вектор hi , с точностью до константы, определяется алгебраическими дополнениями элементов i - той строки матрицы A i , то есть соответствующим

столбцом присоединенной матрицы C .

Разностные уравнения второго порядка. Прежде чем перейти к разностным уравнениям высокого порядка остановимся подробнее на уравнениях второго порядка.

Как уже отмечалось, в изучаемой дисциплине предпочтение отдано универсальным аналитическим методам – операторному, Лагранжа и Коши.

В общем случае нормированное неоднородное разностное уравнение

произвольная известная дискретная функция, определяемая внешним воздействием.

Операторный метод. Операторный метод решения разностных уравнений основан на переходе от оригиналов правой и левой частей уравнений к изображениям с учетом начальных условий, используя теорему о смещении дискретной функции на n - тактов

В результате преобразований приходим дробно-рациональному выражению изображения выходной реакции системы

59

Далее, применяя обратное Z - преобразование к дробно-рациональному представлению выходной переменной, находим оригинал выходной реакции системы, то есть решение разностного уравнения.

В том случае, если задана системная функция дискретной системы дробно-рациональным отношением общего вида

и, применяя обратное Z - преобразование, находим оригинал выходной реакции системы, то есть решение разностного уравнения.

Операторный метод легко обобщается на решение разностных уравнений произвольного порядка и основная трудность заключается в выполнении обратного Z - преобразования для сложных дробнорациональных функций. Для выполнения обратного Z - преобразования используются, либо готовые таблицы, либо теория вычетов функций комплексного переменного, позволяющая заменить интеграл по замкнутому контуру на комплексной плоскости суммой предельных значений функции в особых точках, называемых вычетами.

Метод Лагранжа для разностных уравнений второго порядка.

Рассмотрим аналитическое решение нормированного неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка

методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения записывается в том же виде, что и однородного уравнения, только вместо постоянных используются варьируемые постоянные c1,k , c2,k , то есть неизвестные функции

d1, d2 - корни характеристического уравнения.

С целью определения варьируемых постоянных подставим общее решение в исходное разностное уравнение. Для этого последовательно подействуем на предполагаемое решение оператором сдвига. После первого действия получим

yk 1 c1,k 1 y1,k 1 c2,k 1 y2,k 1.

Добавляя и вычитая дополнительные слагаемые, преобразуем выражение к виду

Повторное действие оператора сдвига, может привести к появлению разности второго порядка от варьируемых постоянных, что исключает возможность их определения. Для ограничения роста порядка разности варьируемых постоянных наложим ограничение, полагая

фундаментальные решения.

В результате подстановка общего предполагаемого решения в исходное разностное уравнения приводит к уравнению

c1,k y1,k 2 c2,k y2,k 2 fk .

Таким образом, соотношение ограничивающее рост порядка разности варьируемых постоянных и результат подстановки предполагаемого общего решения в исходное неоднородное разностное уравнение дают, так называемую определяющую систему уравнений Лагранжа, позволяющую определить разности варьируемых постоянных

Определяющая система уравнений Лагранжа линейна относительно разностей варьируемых постоянных

Определитель системы, построенный из набора фундаментальных решений однородного уравнения и их сдвигов, называется определителем Касорати. Независимость фундаментальной системы решений, соответствует не равному нулю определителю Касорати