Документ: 1395, страницы 66-70 | Студенческое хранилище

			66
		1	k	1	Cn,i,m	fm 1
	ci,k	1	ci,k		Cn,i,m	fm 1	ci ,
	ci,k		ci,k		1C		ci ,
			m 1		1C
где	1C - определитель		Касорати,	компоненты которого сдвинуты по

времени на 1; ci - новые постоянные суммирования.

Подставляя найденные варьируемые постоянные в общее решение, видим, что общее решение неоднородного разностного уравнения распадается на сумму общего решения однородного разностного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

n	k 1	Cn,i,m	fm 1
yk				ci	yi,k .
		1C
i 1	m 1

Определяя постоянные суммирования из независимых, например, начальных условий и, подставляя в общее решение, получаем частное решение неоднородного разностного уравнения.

Решение системы неоднородных разностных уравнений первого порядка методом Лагранжа. Как уже отмечалось, решение систем разностных уравнений первого порядка можно рассматривать как векторноматричную формулировку методов решения скалярных разностных уравнений n - го порядка.

Система неоднородных разностных уравнений первого порядка может

быть записана в виде
X k 1		A X k	Fk ,
где X k - неизвестная вектор-функция; X k			1 - сдвиг		неизвестной вектор -
функции; A- матрица коэффициентов системы;				Fk -	вектор правой части
системы, определяемый внешним воздействием.
Согласно методу Лагранжа, будем искать общее решение системы в
виде
	X k	Ak Ck ,
где Ak - степенная функция	от	матрицы	коэффициентов системы; Ck -
вектор-функция варьируемых постоянных.
С целью доказательства, подставим общее решение в исходную
систему разностных уравнений
Ak 1 Ck 1	A Ak Ck Ak 1			Ck	Fk .

Из последнего соотношения получаем выражение, определяющее разность вектор - функции варьируемых постоянных

Ck A (k 1) Fk .

Для определения самой вектор - функции варьируемых постоянных действуем обратным разностным оператором, что эквивалентно вычислению суммы функциональной последовательности

		1		k	1		(n 1) F C	k	n F
C	k	1	C	k		A	(n 1) F C	A	n F	C ,
	k			k			n		n 1
				n	0			n 1

67

где C - новый вектор постоянных суммирования.

Подставляя вектор варьируемых постоянных в общее решение, получаем выражение общего решения в виде

X k Ak	k	n
X k Ak	A	n	Fn 1		C
	n 1
			k			k
Ak	C Ak		A	n	Fn 1 Ak C	Ak n Fn 1 .
			n 1			n 1

Определяя вектор постоянных суммирования C из независимых условий, получаем частное решение системы разностных уравнений.

Отметим, что решение систем разностных уравнений с использованием векторно-матричной символики, предполагает знакомство с функциями матричного аргумента, в частности с определением степенной матричной функцией.

Заметим также, что в случае системы разностных уравнений первого порядка эквивалентной скалярному разностному уравнению n - го порядка, вектор решения содержит не только неизвестную дискретную функцию, но и ее сдвиги до n 1- го порядка включительно.

Решение системы неоднородных разностных уравнений первого порядка методом Коши. Как уже отмечалось, основное отличие решения разностного уравнения первого порядка в форме Коши от формы Лагранжа заключается в том, что решение по Лагранжу представляет собой форму общего решения с использованием варьируемых постоянных. Варьируемые постоянные, с точностью до постоянных суммирования, находятся из определяющего уравнения. Для получения частного решения по Лагранжу необходимо, воспользовавшись дополнительными независимыми условиями, найти постоянные суммирования и подставить в общее решение.

Решение в форме Коши, представляет собой частное решение разностного уравнения и в качестве дополнительных независимых условий включает именно начальные условия. Используя эту идею, выразим решение системы разностных уравнений первого порядка в форме Коши, воспользовавшись общим решением в форме Лагранжа

		Ak	C Ak	k		n F	Ak C	k
X	k	Ak	C Ak		A	n F	Ak C	Ak n F	.
	k					n 1		n 1
				n 1				n 1

Подставляя вместо вектора постоянных суммирования, вектор начальных значений X 0 , получаем частное решение системы разностных уравнений в форме Коши

		Ak X		Ak	k	n F	Ak X		k
X	k	Ak X	0	Ak	A	n F	Ak X	0	Ak n F	.
	k		0			n 1		0	n 1
					n 1				n 1

Заметим также, что в случае системы разностных уравнений первого порядка эквивалентной скалярному разностному уравнению n - го порядка, вектор начальных значений содержит не только начальное значение

68

неизвестной дискретной функции, но и начальные значения ее сдвигов до n 1- го порядка включительно.

5.8 Пример решения и применения разностных уравнений второго порядка

Для иллюстрации рассмотренных методов решения разностных уравнений второго и более высоких порядков и их применения рассмотрим пример решения разностного уравнения второго порядка.

Пример. В качестве примера просто проиллюстрируем рассмотренные методы аналитического решения разностных уравнений на примере уравнения второго порядка с произвольно заданными начальными условиями. Пусть задано разностное уравнение второго порядка

y	5 y	1	6 y	( 1)k / 2 f	k	,
k 2	k	1	k		k
с начальными условиями	y0 0 ,	y1	1 и требуется найти его аналитическое

решение операторным методом, методом Лапласа и методом Коши. Заметим,

что корни характеристического уравнения равны z1 2 , z2

3 .

Операторный метод. Для нахождения решения разностного уравнения операторным методом необходимо найти Z - изображение правой и левой частей уравнения с учетом начальных условий, используя теорему об упреждении на один такт

yk 1	z Yz z y0 .
Z - изображение yk Yz .	Применяя теорему об упреждении первый

раз, и, учитывая, что y0 0 , получаем

yk 1 z Yz .

Применяя теорему об упреждении повторно, и, учитывая, что y1 1, получаем

y	z2 Y z .
k 1	z

Z - изображение правой части уравнения равно

fk	( 1)k	z

		z 1
		z 1

Подставляя найденные изображения левой и правой частей разностного уравнения, получаем

(z2	Y z) 5 z Y 6 Y			z		.


	z	z	z	2 (z	1)
				2 (z	1)

Приводя подобные и выполняя простые преобразования, получаем

(z2 5 z 6) Y z		z	z (z	1.5)	.
(z2 5 z 6) Y z					.
z	2	(z 1)	z	1
	2	(z 1)	z	1

Выделяя Z - изображение выходной переменной, получаем

z (z 1.5)

Yz (z 1) (z 2) (z 3) .

69

Согласно таблицам обратного Z - преобразования, имеем

z

(z

b)

B

d k

B

d k

B

d k ,

(z d1) (z d2 ) (z d3)

1

2

3

где B1

d1 b

;

B2

d2

b

;

B3

d3

b

.

(d1

d2 ) (d1

(d2

d1) (d2

(d3

d1) (d3 d2 )

d3)

В нашем

случае b

1.5 ; d1

1;

d2

2 ;

d3

3,

поэтому,

согласно

таблицам обратного Z - преобразования, получаем оригинал выходной функции, то есть частное решение исходного разностного уравнения в виде

	( 1)k		( 2)k		3 ( 3)k
yk						.
yk	4	2		4		.
	4	2		4

Заметим сразу, что любое изменение начальных условий повлияет на решение разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка ищется в виде

y	c	y	c	y	c	( 2)k	c	( 3)k ,
k	1,k	1,k	2,k	2,k	1,k		2,k
где c1,k , c2,k -	варьируемые			постоянные, то			есть	неизвестные пока

дискретные функции; y1,k ( 2)k , y2,k ( 3)k - система фундаментальных

решений соответствующего однородного разностного уравнения.

Для выражения варьируемых постоянных составляем определяющую линейную систему уравнений Лагранжа

c1,k y1,k 1	c2,k y2,k 1	0 ;
c1,k y1,k 2	c2,k y2,k 2	fk .

Определитель системы совпадает с определителем Касорати, неравенство нулю которого свидетельствует о независимости фундаментальной системы решений

C

y1,k 1

y2,k 1

( 2)k 1

( 3)k 1

(

2)k 1 (

3)k 1.

y1,k 2

y2,k 2

( 2)k 2

( 3)k 2

Согласно правилу Крамера, разности варьируемых постоянных

определятся выражениями

0

( 3)k 1

( 1)k / 2 ( 3)k 2

( 1)k ( 3)k 1

1 ( 1)k

1 1

k

c1,k

;

C

2 ( 2)k 1 ( 3)k 1

4 ( 2)k

4 2

( 2)k 1

0

c1,k

( 2)k 2

( 1)k / 2

( 1)k ( 2)k 1

1 ( 1)k

1 1 k

.

C

2 ( 2)k 1 ( 3)k 1

6 ( 3)k

6 3

70

Применяя, обратный разностный оператор, соответствующий сумме функциональной последовательности, раскрываемой формулой геометрической прогрессии, с точностью до постоянных суммирования, находим варьируемые постоянные

						1	1	1	k 1
				n	1											k 1
		k						2
	1	k	1			1		2				1			1
c1,k	1		1			1				c1		1	1		1		c1 ;

	4	n 1	2			4	1	1				2			2
								1

								2
								2
						1	1	1 k	1
				n	1										k 1
		k						3
	1	k	1			1		3			1			1
c2,k	1		1			1				c2	1		1	1		c2	,

	6	n 1	3			6	1	1			4			3
								1

								3
								3

где c1, c2 - постоянные суммирования. Перепишем выражения для варьируемых постоянных в виде

c1,k	1	( 2)k 1 ( 1)k 1	c1	; c2,k	1	( 3)k 1 ( 1)k 1	c2 .
	2	( 2)k 1			4	( 3)k 1

Подставляя найденные варьируемые постоянные в предполагаемое решение, получаем общее решение в виде

y		1 ( 2)k 1 ( 1)k 1								c		(	2)k			1 ( 3)k 1							( 1)k 1			c ( 3)k ;
y										c		(	2)k													c ( 3)k ;
k	2			(	2)k		1			1						4				( 3)k 1						2
	2			(	2)k		1									4				( 3)k 1
		y		c	1		( 2)k			( 1)k 1					c	1			( 3)k					3	( 1)k 1;
		y		c			( 2)k			( 1)k 1					c				( 3)k						( 1)k 1;
			k	1	2									2		4							4
					2											4							4
				y		c	1		( 2)k				c	1			( 3)k				1	( 1)k 1.
				y		c			( 2)k				c				( 3)k					( 1)k 1.
				k	1		2						2	4						4
							2							4						4
	Для определения постоянных суммирования c1, c2 , воспользуемся
начальными условиями y0										0 ,		y1	1. Подстановка начальных условий при
k 0 и k 1 приводит к системе уравнений
								y		0		c	1	c		1		1		;
								y		0		c		c						;
							0					1	2	2		4		4
													2			4		4
							y1		1		2 c1		1		3 c2			3		1

																		4		4
																		4		4
или
												c1	c2	0 ;

2 c1 3 c2 1.

Используя правило Крамера, выразим определитель системы и константы суммирования

Материал: 1395

Смотрите также: