Документ: 1395, страницы 71-75 | Студенческое хранилище

						71
					1			1	0
				0	1			1	0
1	1	1;	c1	0	3	1	1; c2	2	1	1	1.
1	1			0	3	1		2	1	1
2	3
						1				1
						1				1

Подстановка найденных констант в общее решение дает частное решение исходного разностного уравнения

	( 2)k		3 ( 3)k		( 1)k 1		( 2)k		3 ( 3)k		( 1)k
y												.
y												.
k	2	4		4		2		4		4
	2	4		4		2		4		4

Как видим, методом вариации произвольных постоянных получено решение аналогично операторному методу.

Матричный вариант метода вариации произвольных постоянных

(метод Лагранжа). Матричный вариант метода Лагранжа предполагает переход от исходного разностного уравнения, путем введения новых переменных, к эквивалентной системе разностных уравнений первого порядка.

Исходное разностное уравнение второго порядка

y

2

5 y

1

6 y

( 1)k / 2 f

k

,

k

с начальными

условиями

y0

0 ,

y1

1,

введением

новых

переменных

x1,k

yk , x2,k

x1,k 1

yk

1; x3,k

x2,k

1

y2,k 2

сводится к эквивалентной

системе разностных уравнений первого порядка

x1,k 1

0

1

x1,k

0

0 1

x1,k

0

x2,k 1

a0 / a2

a1 / a2

x2,k

fk

6

5

x2,k

( 1)k / 2

или

X k

1

A X k

Fk .

Общее решение системы разностных уравнений первого порядка

ищется в виде

Ak

k

Ak

n F

X

k

C

1

,

n

n 1

где

C c

c

t - вектор

постоянных

суммирования,

определяемый из

1

2

начальных

условий;

Ak -

степенная

функция

матрицы коэффициентов

системы; Fn 1 0 ( системы.

Степень матрицы случае различных и не выражением

1)n 1	t
	/ 2 - вектор правой части эквивалентной

Ak , как степенная функция матричного аргумента, в равных нулю собственных значений, определяется

Ak H k H 1,

72

где	1	0			-	матрица собственных значений;																	H -		модальная матрица
	1
	0
	0		2
			2
собственных векторов.
	Собственные значения определяются из характеристического
уравнения системы
					det		A									1				2	5			6		0
																1

												6				5
												6				5
и оказываются равными								1		2;		2				3	, то есть
								1				2
																2		0
																0		3 .
	Модальная					матрица					собственных										векторов						H	определяется
элементами, например, первых строк матриц присоединенных к																															A		i	. В
данном случае модальная матрица H и обратная ей матрица H 1 равны
	H	11( 1)					11( 2 )					3				2		;		H	6;		H	1			1			1/ 3			.
	H	12 ( 1)					12 ( 2 )					6				6		;			6;		H				1		1/ 2				.


	Соответственно Ak								определится выражением
												3				2			k		0			1			1/ 3
		Ak			H		k H 1					3				2		1			0			1			1/ 3
		Ak			H		k H 1					6				6		1			k		1			1/ 2
												6				6		0			k		1			1/ 2
																		0			2
																					2
												3		k		2			k			k		k
												3	1			2		2				1		2			k .
													1					2				1		2
												6 (				k			k		2	k		3
												6 (			1			2 )			2	1		3			2
	Заметим, что структура матрицы																Ak			n аналогична и отличается лишь
показателями степени при									i .
	Так	как		из		вектора				решений								X k			x		x		t		y			y			t	нас
	Так	как		из		вектора				решений								X k			x		x				y			y	k		t	нас
																					1,k		2,k				k				k		1
интересует		лишь					первая				компонента									yk ,		то,			раскрывая								первую
составляющую, получаем
				k			k		k			k				c1			k		k n			k n					n 1
	yk	3		k		2	k		k			k				c1				(	k n			k n			) ( 1)		n 1			/ 2 ,
	yk	3	1			2	2		1			2				c2				(	1			2			) ( 1)					/ 2 ,
																c2			n 1
или, подставив значения									i , приходим к записи
			y	k		3 ( 2)k				2 ( 3)k c										( 2)k		( 3)k					c
				k													1										2

k

{( 2)k n ( 3)k n} ( 1)n 1 / 2 . n 1

Разбивая сумму на две составляющие и, вынося множители, не зависящие от индекса суммирования, за знак суммы, получаем

73

	y		3 ( 2)k						2 ( 3)k									c			( 2)k						( 3)k					c
	k																1															2
		( 2)		k			k			1			n		(		3)		k	k			1		n
		( 2)								1					(		3)						1		.

		2				n 1				2							2			n 1			3
		2				n 1				2							2			n 1			3
	Раскрывая суммы по формуле геометрической прогрессии,
последовательно получаем
	y		3 ( 2)k						2 ( 3)k									c		( 2)k						( 3)k						c
	k																1															2
					1			1				1			k								1		1					1		k
				k																		k
		( 2)			2							2							(	3)			3							3
					2							2											3							3
																																		;

		2								1				1						2					1						1
		2												1						2											1
												2																		3
												2																		3
	y		3 ( 2)k						2 ( 3)k									c		( 2)k							( 3)k					c
	k																1															2
			( 2)k		(				1)k (						3)k					( 1)k
																								;
		2						2							4					4				;
		2						2							4					4
y	3 ( 2)k	2 ( 3)k						c					( 2)k						( 3)k					c				( 2)k					( 3)k			( 1)k	.
y	3 ( 2)k	2 ( 3)k						c					( 2)k						( 3)k					c													.
k								1															2							2		4			4
																														2		4			4
Наконец, используя начальные условия																				y0			0 ,			y1 1,						при k			0 и k 1,
находим постоянные суммирования
				y				0			1 c					0 c				1			1				1		;
				y				0			1 c					0 c													;
					0							1							2	2			4		4
																				2			4		4
					y1			1				0 c1				1 c2				1			3		1

																							4		4
																							4		4
или
												c1			0; c2					1.
	Подстановка найденных констант в общее решение дает частное
решение исходного разностного уравнения
								(			2)k				3			( 3)k					( 1)k
					y																							.
					y																							.
					k						2						4						4
											2						4						4

Таким образом, матричный вариант метода Лагранжа дал тоже решение исходного разностного уравнения, что и скалярным вариантом метода.

Матричный вариант метода Коши (решение в форме Коши).

Матричный вариант метода Коши, как и метода Лагранжа, предполагает переход от исходного разностного уравнения, путем введения новых переменных, к эквивалентной системе разностных уравнений первого порядка.

Исходное разностное уравнение второго порядка

y	5 y	6 y	( 1)k / 2 f	k	,
k 2	k 1	k		k

74

с начальными

условиями

y0

0 ,

y1

1,

введением

новых

переменных

x1,k

yk , x2,k

x1,k 1

yk 1;

x3,k x2,k

1

y2,k

2

сводится к эквивалентной

системе разностных уравнений первого порядка

x1,k 1

0

1

x1,k

0

0 1

x1,k

0

x2,k 1

a0 / a2

a1 / a2

x2,k

fk

6

5

x2,k

( 1)k / 2

или

X k

1

A X k

Fk .

Частное решение системы разностных уравнений первого порядка в

форме Коши ищется в виде

Ak

k

Ak n

X

k

X

0

F

1

,

n

n 1

где

t

y1 t

0 1 t -

вектор начальных условий;

Ak -

X0 x1,0

x2,0

y0

степенная функция матрицы коэффициентов системы; F

( 1)n 1

t

0

/ 2

n 1

- вектор правой части эквивалентной системы.

Как было уже отмечено, степенная функция матричного аргумента, в случае различных и не равных нулю собственных значений, определяется выражением

							Ak		H		k	H 1,
где		1	0	-	матрица собственных значений;									H -		модальная матрица
		1
		0
		0	2
			2
собственных векторов.
	Собственные значения определяются из характеристического
уравнения системы
				det A						1		2	5		6	0
										1

								6	5
								6	5
и оказываются равными						1	2;		2	3, то есть
										2		0
										0		3 .
	Модальная				матрица			собственных векторов								H	определяется
элементами, например, первых строк матриц присоединенных к A																			i . В
данном случае модальная матрица H и обратная ей матрица H 1 равны
	H		11(	1)	11( 2 )				3	2	;	H	6;	H	1	1	1/ 3	.
	H		12 ( 1)		12 ( 2 )				6	6	;		6;	H		1	1/ 2	.


	Соответственно Ak					определится выражением

															75
										3					2							k			0					1						1/ 3
	Ak		H		k	H 1				3					2						1				0					1						1/ 3
	Ak		H		k	H 1				6					6						1				k		1						1/ 2
										6					6						0				k		1						1/ 2
																					0				2
																									2
										3				k	2						k					k						k
										3			1		2						2					1				2						k .
													1								2					1				2
										6			(			k		k							2	k				3
										6			(		1			2 )							2	1				3			2
Заметим, что структура матрицы																		Ak				n аналогична и отличается лишь
показателями степени при								i .
Так	как		из	вектора					решений									X k						x				x						t				y						y				t	нас
Так	как		из	вектора					решений									X k						x				x										y	k					y	k			t	нас
																								1,k				2,k											k						k		1
интересует		лишь			первая				компонента														yk ,			то,							раскрывая														первую
составляющую, получаем
			k		k		k				k					y0						k			k n						k n											n 1
yk	3		k	2	k		k				k					y0							(		k n						k n					) ( 1)						n 1				/ 2 ,
yk	3		1	2	2		1			2						y1							(		1					2						) ( 1)										/ 2 ,
																y1					n 1
или, подставив начальные значения и значения																									i , приходим к записи
												k
	yk		( 2)k		( 3)k				1					{( 2)k n									( 3)k n} ( 1)n 1 / 2 .
											n 1
Разбивая сумму на две составляющие и, вынося множители, не
зависящие от индекса суммирования, за знак суммы, получаем
				2)k			3)k			(			2)		k			k			1		n		(		3)		k					k			1			n
	y		(			(				(			2)								1				(		3)										1					.


	k												2								2						2										3
													2				n 1				2						2						n 1				3
Раскрывая суммы по формуле геометрической прогрессии,
последовательно получаем
														1	1						1		k											1			1						1 k
		2)k			3)k		(		2)	k				2	1						2					(	3)			k				3			1						3
										k				2							2									k				3									3
yk	(			(																																												;

									2						1				1								2										1				1
									2										1								2														1
																		2																					3
																		2																					3
		y		( 2)k			( 3)k						( 2)k							( 1)k						( 3)k									( 1)k					;
		y		( 2)k			( 3)k																																	;
		k													2						2						4										4
															2						2						4										4
						y			( 2)k						3 (			3)k					(		1)k			.
						y																						.
						k			2									4							4
									2									4							4

Последняя запись представляет собой частное решение исходного разностного уравнения полученного методом Коши.

Таким образом, решение в форме Коши совпало с решениями предыдущими методами.

Материал: 1395

Смотрите также: