Документ: 1395, страницы 81-85 | Студенческое хранилище

					81
где X0	x1,0 x2,0	t	v0	v1	t - вектор начальных условий; Ak - степенная

функция от матрицы коэффициентов системы.

Как известно, любая аналитическая функция от матрицы, имеющей различные и отличные от нуля собственные значения, на основании ее модального представления

A H H 1,

может быть определена в виде

F ( A) H F ( ) H 1,

где - диагональная матрица собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов; F ( ) k диагональная матрица указанной функции

от каждого собственного значения.

Собственные значения матрицы коэффициентов системы определяются из характеристического уравнения

det([ A	])		1	2	(1 d )	d 0 .
				2
		d	1 d
		d	1 d

Как видим, данное уравнение полностью совпадает с характеристическими уравнениями, определяемыми либо знаменателем системной функции, либо левой (однородной) частью разностного уравнения. Таким образом, собственные значения матрицы коэффициентов системы или корни характеристического уравнения представляются в виде

1	0	1	0
1			d .
0	2	0	d .
	2
Собственные вектора, как столбцы			модальной	матрицы H , по
известным собственным значениям матрицы			A, определяются из решения
однородных систем уравнений
A	i hi	0,
где i - диагональная матрица, составленная из i .
Доказывается, что модальная	матрица		H может	быть определена

алгебраическими дополнениями элементов одной из строк, например первой,

матрицы [ A

i ]

H

11( 1)

11( 2 )

1 d 1 1 d d

d 1

12 ( 1)

12 ( 2 )

d

d d .

Определитель

модальной

матрицы

равен

H

d (d 1) . Используя

определитель, выразим матрицу обратную модальной

H

1

d

1

1/ d

.

d

1

d (d

1)

d 1

В результате, получаем выражение степенной функции от матрицы коэффициентов

82

Ak H

k

H 1

d

1

1k

0

1

1/ d

d

0

d

k

d 1

1

d 1k

1 d k

1k

d k

.

d

1

k

d

k

d

k

d 1

1

Заметим, что структура матрицы Ak n аналогична и отличается лишь показателем степени.

Теперь все подготовлено для представления решения в форме Коши. Предварительно отметим, что в нашем случае вектор начальных условий X 0

и вектор правой части эквивалентной системы разностных уравнений Fk имеют вид

X0	x1,0	v0	0	; Fk	0	0	.
	x2,0	v1	0		fk	1k

Кроме того, отметим, что нас интересует лишь первая компонента вектора решений x1,k vk .

В связи с отмеченными обстоятельствами, используя общее выражение для решения системы разностных уравнений первого порядка и, учитывая

структуры векторов X 0

и Fk ,

выразим выходное напряжение дискретной

системы

v 0

k

1k n

d k n

1

1k k

1n 1

d k

k

1n 1

.

k

d 1

n 1

d 1

n 1 1n

n 1 d n

n 1

Используя для раскрытия сумм формулы арифметической и геометрической прогрессий, а также учитывая, что входное воздействие в данном случае определено при k 0 , получаем окончательное выражение для выходной реакции исследуемой дискретной системы

hk vk

1

1k

k

d k (1 d k )

1

k

d k

.

d 1

d k (1 d )

(1 d )2

1 d

(1 d )2

Полученное выражение совпадает с результатами, операторного метода и метода Лагранжа и описывает переходную характеристику исследуемой дискретной системы.

Импульсная характеристика дискретной системы. Приступаем к определению импульсной характеристики дискретной системы различными методами.

Как известно, импульсная характеристика представляет собой реакцию дискретной системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на входной одиночный единичный - импульс, при k 0, то есть 10 . Под исходным

состоянием покоя следует понимать полное установление реакции на предыдущие воздействия и отсутствие сторонних источников.

	83
Отметим, что импульсная характеристика дискретных и
цифровых систем определена при k	1.
Определение импульсной	характеристики по переходной

характеристике. Импульсная характеристика дискретной системы может быть определена также по известной переходной характеристике в соответствии с соотношением

	gk		hk		hk		hk 1						hk 1.
	Учитывая, что переходная характеристика имеет вид
	hk			1			k					d k			,
	hk	(1		d )2		1		d			(1		d )2		,
		(1		d )2		1		d			(1		d )2
запишем выражение соответствующей функции отстающей на один такт
	hk 1			1			k	1				d k 1				.
	hk 1	(1		d )2		1			d		(1			d )2		.
		(1		d )2		1			d		(1			d )2
	Применяя уравнение связи, сразу получаем импульсную
характеристику дискретной системы
	gk		hk		hk			1			d k		1	,
						1
						1				1 d
										1 d
при k	1, или
			gk			1		d k			,
					1
					1	1			d
						1			d
при k	0.
	Таким образом, по известной переходной характеристике дискретной

или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Операторный метод определения выходной реакции дискретной системы основан на теории Z - преобразования дискретных функций, как оригиналов, в непрерывные функции комплексного аргумента z , называемых изображениями, и наоборот.

Оригиналу входного воздействия 10 , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

ek 10 Ez 1.

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

1

Vz (z 1) (z d ) .

Втаблицах обратного Z - преобразования соответствующее выражение отсутствует, поэтому воспользуемся следующим приемом.

Всоответствии с теоремой о начальном значении функции

v0	lim vk	lim Vz ,
	k 0	z

находим

			84
v0	lim Vz	lim		1		0 .

				(z 1) (z
	z	z			d )

Далее, используя теорему Z - преобразования об упреждении функции на один такт

v1 z Vz		z	v0 ,
находим
v1		z		.

	(z 1)	(z
			d )

Теперь, используя таблицы обратного Z - преобразования находим оригинал выходной реакции

1

e

t

1

d k

vk

1

,

1

d

1

d

при k

0 или

vk

1

d k

1

,

1

d

при

k 1, где

ln(d )

;

k

t

;

e

t d k ;

T -

период

входной

T

последовательности.

Полученные выражения описывают импульсную характеристику

дискретной системы

1

d k

gk

1

vk

1

,

1

d

при k

0 или

gk

vk

1

d k

1

,

1

d

при k

1.

Отметим,

что из предыдущих выражений при

k

0 и k

1 имеем

v1 g1 0 .

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции

оригиналами, а комплексной переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

Vz	1	1		vk		1	.
Ez	(z 1) (z d )	z2 (1 d ) z d	10		E2	(1 d ) E d	.
Ez	(z 1) (z d )	z2 (1 d ) z d	10		E2	(1 d ) E d

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение второго порядка

vk 2	(1 d ) vk 1	d vk 10	fk
или
vk 2	(1 d ) vk 1	d vk	10 .

85

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка и импульсная характеристика определена при k 1, необходимо определить v0 , v1 и v2 .

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

v

lim v

lim V

lim

1

0 .

0

k 0

k

z

(z 1) (z d )

В соответствии с теоремой упреждения, значение функции vk 1

определится выражением

vk

z Vz

z

v0

z

.

1

(z 1)

(z d )

Применяя повторно теорему о начальном значении функции, получаем

v

lim v

lim (z V

z

v )

lim

z

0 .

1

k 0

k 1

z

0

z

(z 1) (z d )

Применяя еще раз теорему упреждения на один такт к последнему результату

vk 2	z Vz	z v1	z2
			(z 1) (z d )

и теорему о начальном значении функции, получим

v	lim v		lim (z V		z	v )	lim	z2	1.

2	k 0 k 2		z	z		1	z	(z 1) (z d )
С другой стороны для определения начальных условий можно
воспользоваться		исходным			разностным			уравнением,	полагая
соответствующим значение индекса k						и,	учитывая, что входное воздействие

и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так при

k	2 , k	1 и k 0 последовательно получаем
		v0	(1 d ) v 1	d v 2	1 2	(1 d ) 0 d 0 0 0 ;
		v1	(1 d ) v0	d v 1	1 1	(1 d ) 0 d 0 0 0 ;
		v2	(1 d ) v1	d v0	10	(1 d ) 0 d 0 1 1.

Таким образом, получаем, что начальные значения равны v0 0 , v1 0

и v2 1.

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению импульсной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка

vk 2 (1 d ) vk 1 d vk 10 fk

Материал: 1395

Смотрите также: