Материал: 1395

86

следует искать в виде

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы уравнений Лагранжа

Напомним, что определяющая система уравнений Лагранжа образуется при подстановке предполагаемого общего решения в исходное разностное уравнение и наложении ограничения на сдвиг функций c1,k . Первое

уравнение системы есть как раз данное ограничение, а второе уравнение есть результат подстановки предполагаемого решения в исходное разностное уравнение с учетом наложенного ограничения. Определитель системы уравнений есть определитель Касорати, построенный на основе фундаментальной системы решений и их сдвигов.

обратный разностный оператор в виде суммы функциональной последовательности, используя для раскрытия сумм формулы арифметической либо геометрической прогрессий. Учитывая тот факт, что входное воздействие в данном случае существует только при k 0, получаем значения сумм равные первым слагаемым

разностного уравнения в виде импульсной характеристики определено при

Подставляя найденные значения постоянных суммирования в общее решение, получаем частное решение исходного неоднородного разностного уравнения

исследуемой дискретной системы и, как видим, совпадает с выражением, найденным операторным методом.

Решение в форме Коши (метод Коши). Рассматриваемый нами вариант метода Коши предполагает предварительное преобразование исходного неоднородного разностного уравнения

vk 2 (1 d ) vk 1 d vk 10 fk

в эквивалентную систему двух разностных уравнений первого порядка.

88

функция от матрицы коэффициентов системы.

Как известно, любая аналитическая функция от матрицы, имеющей различные и отличные от нуля собственные значения, на основании ее модального представления

A H H 1,

может быть определена в виде

F ( A) H F ( ) H 1,

где - диагональная матрица собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов; F ( ) k диагональная матрица указанной функции

от каждого собственного значения.

Собственные значения матрицы коэффициентов системы определяются из характеристического уравнения

Как видим, данное уравнение полностью совпадает с характеристическими уравнениями, определяемыми либо знаменателем системной функции, либо левой (однородной) частью разностного уравнения. Таким образом, собственные значения матрицы коэффициентов системы или корни характеристического уравнения представляются в виде

где i - диагональная матрица, составленная из i .

89

Доказывается, что модальная матрица H может быть определена алгебраическими дополнениями элементов одной из строк, например первой,

Заметим, что структура матрицы Ak n аналогична и отличается лишь показателем степени.

Теперь все подготовлено для представления решения в форме Коши. Предварительно отметим, что в нашем случае вектор начальных условий X 0

и вектор правой части эквивалентной системы разностных уравнений Fk имеют вид

Кроме того, отметим, что нас интересует лишь первая компонента вектора решений x1,k vk .

Обратим внимание на тот факт, что, несмотря на определение импульсной характеристики при k 1, в отличие от метода Лагранжа, где в качестве начальных условий используются значения v1 и v2 , в методе Коши

вкачестве начальных условий используются значения v0 и v1.

Всвязи с отмеченными обстоятельствами, используя общее выражение для решения системы разностных уравнений первого порядка и, учитывая

Используем для раскрытия сумм формулы арифметической и геометрической прогрессий. Учитывая тот факт, что входное воздействие в

90

данном случае существует только при k первым слагаемым.

В результате, получаем окончательное выражение для выходной реакции, исследуемой дискретной системы, как частное решение исходного разностного уравнения

метода и метода Лагранжа и описывает импульсную характеристику исследуемой дискретной системы.