Документ: 1395, страницы 96-100 | Студенческое хранилище

Материал: 1395

Смотрите также:

96

k 0, 1, 2, .		Для вычисления выходной				последовательности {yk }
воспользуемся основным соотношением
		m		A e j	m	k T g
y	m	x g	m k	A e j	e j	k T g	m k
	m	k	m k				m k
		k			k
		A e j ( m T )		m	e j (k m) T gm k .
		A e j ( m T )			e j (k m) T gm k .

k

Из соотношения следует, что выходная последовательность образуется из входной последовательности и некоего коэффициента, определяемого выражением

	m	e j (k m) T gm k	gn e j n T .
K ( j )	S ( j )	e j (k m) T gm k	gn e j n T .
	k		n 0
Последнее выражение определяет частотный коэффициент передачи
или частотную характеристику ЦФ, являющуюся функцией				,	T и {gn}.
Замечание:	В отличие	от аналоговых	систем	для	обозначения

частотной и системной характеристик дискретных и цифровых систем будем преимущественно использовать символы S ( j ) и S (z) .

Заметим также, что выражение для зависимости коэффициента передачи от частоты соответствует ряду Фурье с коэффициентами gn .

Известно, что обратное преобразование Фурье частотной характеристики дает импульсную характеристику аналоговой системы

g(t)

K ( j ) e j td

S ( j ) e j td .

По аналогии, применяя обратное преобразование Фурье к элементам суммы ряда представляющего частотную характеристику ЦФ, приходим к представлению импульсной характеристики ЦФ последовательностью - импульсов вида

g(t) g0	(t) g1 (t T ) g2 (t 2 T )		.
На самом деле, учитывая, что коэффициенты		gn	константы	и
преобразование Фурье от	- функции есть единица	(t)	1, а сдвиг	-

функции соответствует умножению спектральной функции на экспоненту (t n T ) e j n T , видим, что обратное преобразование Фурье частотной характеристики соответствует последовательности сдвинутых - импульсов

с весовыми коэффициентами gn .

Кроме того, коэффициент передачи ЦФ является периодической

функцией времени с периодом Td 2		/ d , где d 2 /T .
Таким образом, выходной сигнал имеет структуру гармонической
последовательности с той же частотой, что и входной сигнал
y	A e j ( m T ) K ( j )	A e j ( m T ) S( j ) .
m

97

В заключение отметим, что частотная характеристика ЦФ

соответствует установившейся реакции дискретной системы на единичную гармоническую последовательность на входе при исходном состоянии покоя. Использование в предыдущих выкладках преобразования Фурье, как раз и подчеркивает стационарный характер выходной реакции.

Системная (передаточная) функция ЦФ. Системная функция дискретных систем представляет собой аналог передаточной функции аналоговых систем и определяется в z - плоскости дискретного Z - преобразования.

Дискретным последовательностям входного {xk } , выходного {yk } сигналов и импульсной характеристике {gk }, как функциям оригиналам,

ставятся в	соответствие их z - изображения X (z) X z , Y (z) Yz ,
G(z) S (z)	Sz . Так как выходная последовательность {yk } представляет

собой свертку входной последовательности {xk } и импульсной характеристики {gk }

	m
ym	xk gm k ,
k	0
то, в соответствии с теоремой Z -	преобразования о свертке, изображение

выходного сигнала Y (z) определится, как произведение изображений импульсной характеристики ЦФ S (z) и входного сигнала X (z)

Y (z) Yz S (z) X (z) Sz X z .

Из последнего соотношения получаем выражение для системной (передаточной) функции ЦФ, представленной в виде полинома по отрицательным степеням оператора z , согласно определению прямого Z - преобразования

Sz	Yz	gn z	n	.
Sz	X z	gn z		.
	X z	n 0
Сравнивая это представление с выражением для частотной
характеристики ЦФ
S ( j )		gn e j n T ,
	n	0

видим, что для перехода от частотной функции к системной функции достаточно произвести замену вида

z e j T .

В связи с используемой заменой стоит отметить, что частотные характеристики цифровых и дискретных фильтров в отличие от аналоговых фильтров имеют периодический характер, в связи с тем, что значение

аргумента	z e j T e j T 2 k / T будет повторяться по частоте с
периодом 2	/T .

98

Рассмотрим несколько примеров определения частотной характеристики ЦФ по заданной импульсной характеристике.

Пример 1. Пусть ЦФ имеет импульсную характеристику вида

{gk } {1,

1, 0, 0,

}

и требуется найти S ( j

).

В соответствии с Z - преобразованием

Sz

1

1 z

1,

z

откуда, используя подстановку, имеем

S( j )

1

e j

T (1

cos(

T ))

j

sin(

T ) .

Соответственно АЧХ и ФЧХ выразятся в виде

T

S( j

)

(1

cos(

T ))2

sin2(

T )

2

sin

;

2

s ( )

arctg

sin(

T )

arctg

tg

T

.

1

cos(

T )

2

Пример 2. Пусть АЧХ ЦФ является периодической функцией из

примера 1, но практический смысл она имеет лишь в интервале 0

.

T

На верхней частоте этого интервала каждому периоду дискретного гармонического сигнала соответствуют два отсчета. По теореме Котельникова, это соответствует предельному значению частоты сигнала, который может быть однозначно восстановлен по своим отсчетам

Td

1

2

,

2 Fgr

2 gr

gr

откуда

Fd

1

gr

2

Fgr .

Td

Заметим, что если на вход такого фильтра поступает гармонический сигнал с более низкой частотой дискретизации, то есть T 1, то, удерживая первые члены разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора, получим следующее выражение частотной функции

Это означает, что такой фильтр выполняет операцию дифференцирования входных гармонических сигналов с низкой частотой.

99

6.3 Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

Реальные физически осуществимые ЦФ, работающие в реальном масштабе времени, для формирования i - го отсчета выходного сигнала могут

использовать:
1.	Текущее значение входного сигнала и некоторое число его
	предыдущих отсчетов xi	1, xi	2,	, xi m .
2.	Некоторое число отсчетов выходного сигнала в предшествующие
	моменты времени yi 1, yi	2,	, yi	n .

Целые числа m и n определяют порядок ЦФ. В зависимости от использования информации о прошлых состояниях системы производится классификация ЦФ.

Трансверсальные фильтры. Фильтры, использующие информацию только о предшествующих отсчетах входного сигнала, называются трансверсальными ЦФ. Алгоритм функционирования трансверсальных ЦФ описывается выражением вида

yi b0 xi b1 xi 1 b2 xi 2

bm xi m ,

где bi - весовые коэффициенты формирования выходной последовательности;

m - порядок трансверсального ЦФ.

Как видим, трансверсальный ЦФ использует лишь предыдущие отсчеты входного сигнала для формирования выходной последовательности.

Системная функция трансверсального ЦФ. Применяя Z -

преобразование к алгоритму функционирования, получаем системную функцию трансверсального ЦФ

			Y (b b z 1		b z 2	b z	m ) X	z	;
			z	0 1	2	m		z
S	z	Yz	(b b z 1		b z m )	b0 zm	b1 zm 1			bm	.
S			(b b z 1		b z m )						.
		0		1	m		zm
		X z					zm

Из последнего выражения следует, что системная функция трансверсального ЦФ является дробно-рациональной функцией переменной z , имеющей m - кратный полюс z 0 и m нулей, определяемых коэффициентами bi степенного полинома числителя.

Функциональная схема трансверсального ЦФ. Функциональная схема трансверсального ЦФ четвертого порядка приведена на рисунке 6.2.

100

Как видим, функциональная схема трансверсального ЦФ содержит

блоки задержки на один такт, обозначаемые z 1, а также масштабные блоки bi , соответствующие весовым коэффициентам при отсчетах сигнала. В

данном случае сумма взвешенных отсчетов входного сигнала образует текущий отсчет выходного сигнала.

Определение трансверсальный (transverse – поперечный) поясняет структуру построения фильтра.

Программная реализация трансверсального ЦФ. Рассмотрим фрагмент алгоритма трансверсального ЦФ на входном языке системы

MatLab.

Пусть в оперативной памяти компьютера сформированы два массива – вектора X и B , соответствующие m отсчетам входного сигнала и весовым коэффициентам.

Предположим, что приходит очередной отсчет входного сигнала, который должен попасть в первый элемент массива X . При этом предыдущие отсчеты должны предварительно сдвинуться на один индекс. Далее, путем скалярного произведения векторов X и B , получаем очередной отсчет выходного сигнала

x(2 : m) x(1: m 1) ;

x(1)	xt ;
yt	b * x.' ;

Здесь знак “.' ” соответствует в системе MatLab операции транспонирования.

Импульсная характеристика трансверсального ЦФ. Как было отмечено, системная функция трансверсального ЦФ имеет вид

S	z	b b z 1	b z 2	b z m .
	z	0 1	2	m

Импульсную характеристику трансверсального ЦФ можно получить, выполнив обратное Z - преобразование системной функции S z .

Обратное Z - преобразование, как известно, определяется соотношением

S( j ) (1 1