Документ: 1395, страницы 106-110 | Студенческое хранилище

Материал: 1395

Смотрите также:

106

Фундаментальная система решений однородного разностного уравнения определяется корнями характеристического уравнения, являющимися полюсами системной функции. Так, если все корни di

характеристического уравнения

zn a1

различны и отличны от уравнения записывается в системы решений

zn 1 a zn 2	a 0
2	n

нуля, то решение однородного разностного виде линейной суперпозиции фундаментальной

yk C1 y1,k		C2 y2,k		Cn y1,n
C	d k	C	d k	C	d k ,
1	1	2	2	n	n

где Ci - постоянные, определяемые начальными или независимыми

условиями.

Из структуры решения следует, что если полюсы системной функции,

то есть корни характеристического уравнения	di	1, то есть, располагаются
внутри единичного круга с центром в точке	z	0 , то любое решение или

свободное колебание системы будет соответствовать убывающей геометрической прогрессии и устойчивому ЦФ.

Заметим, что трансверсальные ЦФ всегда устойчивы, так как не являются динамическими системами, а все корни характеристического уравнения нулевые.

Пример 4. Требуется исследовать устойчивость рекурсивного ЦФ второго порядка с системной функцией вида

		Sz							b0					.
		Sz		1		a		z	1	a z			2	.
							1				2
Характеристическое уравнение
				z2			a	z	a		0
							1		2
имеет корни

														a2
			a				a2					a		a2	4 a
z	1,2			1			1		a			1		1	2	.
z									a							.
1,2				2			4		2					2
				2			4							2
Отобразим на графике кривую, описываемую уравнением
					a2		4 a				0
						1			2

на плоскости (a1, a2 ) коэффициентов, представляющую собой границу, выше

которой полюсы системной функции вещественны, а ниже – комплексносопряженные.

107

	a		a2	4 a
1			1		2	1
			2			1
			2
или

		a2	4 a	2	2	a .
1				2		1

Возводя в квадрат обе части неравенства, видим, что границей области устойчивости является прямая a2 1 a1. Аналогично исследуется случай,

когда a1 0 .

В результате приходим к выводу, что областью устойчивости рассматриваемого рекурсивного ЦФ является треугольник изображенный на рисунке 6.6 в плоскости (a1, a2 ) коэффициентов.

Критерий устойчивости рекурсивного ЦФ. Как и для любой дискретной системы, задача определения устойчивости произвольного рекурсивного ЦФ, связана с анализом расположения корней характеристического многочлена в плоскости z .

Для решения вопроса локализации корней удобно воспользоваться известным дробно-линейным преобразованием

zw 1 , w 1

устанавливающим взаимно-однозначное отображение левой полуплоскости комплексной переменной w , в единичный круг комплексной плоскости z , с центром в точке z 0 .

108

Действительно, точке w

1 соответствует точка z

0 . В то же время

мнимая ось w - плоскости, то

есть совокупность точек с координатами

w j a , где

a -

произвольное

вещественное

число,

отображается во

множество точек единичной окружности z

e j 2 arctg(a) .

Возьмем характеристическое уравнение рекурсивного ЦФ

zn

a zn 1

a zn 2

a

0

1

2

n

и, выполнив указанную подстановку, получим

w 1

n

w 1

n 1

w 1 n 2

an 0 .

a1

a2

w

1

w

1

w

1

Приведя

это

выражение

к общему знаменателю (w 1)n , получим

характеристическое уравнение относительно переменной w

(w 1)n

a (w 1) (w 1)n 1

a (w 1)2 (w 1)n 2

1

2

a

(w 1)n 1 (w 1) a (w 1)n 0 .

n 1

n

Если многочлен

по

степеням

w ,

имеет

корни

лишь в левой

полуплоскости, то исходный характеристический многочлен имеет корни лишь в единичном круге плоскости z и соответственно, анализируемый рекурсивный ЦФ устойчив.

Пример 5. Необходимо исследовать устойчивость рекурсивного ЦФ третьего порядка с характеристическим уравнением

z3 0.4 z2 0.5 z 1 0 .

В соответствии с дробно-линейным преобразованием, получаем уравнение

(w

1)3

0.4 (w

1) (w

1)2 0.5

(w 1)2

(w 1)

1

0.9

w3

3.9

w2

3.1 w

1.1

0 .

Приближенные

значения

корней

этого

полинома

равны

w1

3.4339 ;

w2,3

0.4497

j 0.3920.

Как видим, корни полинома располагаются в правой полуплоскости w ,

следовательно, анализируемый ЦФ устойчив.

С другой стороны, согласно критерию Рауса-Гурвица, так как

коэффициенты полинома c3

0.9; c2

3.9;

c1

3.1; c0

1.1 и главный минор

c1 c2

c3 c0

11.1 0 , также приходим к выводу, что полином и,

соответственно, анализируемый ЦФ устойчив.

Импульсная

характеристика

рекурсивного

ЦФ.

Из-за

наличия

обратных связей (ОС), импульсная характеристика рекурсивного ЦФ имеет вид неограниченно-протяженной последовательности отсчетов. Убедиться в данном утверждении можно на примере простого фильтра первого порядка, описываемого системной функцией вида

Sz		b	b	z	.
Sz		a z 1			.
	1	a z 1	z	a0
		0

109

Отметим, что этот ЦФ устойчив при a0 0 .

Известно, что импульсную характеристику ЦФ можно найти обратным Z - преобразованием системной функции S z , описываемого выражением

gm

1

zm 1

Sz dz .

2

j

C

Тогда, m - ый член последовательности {gk } определится из выражения

1

m 1

b

zm

gm

z

dz .

j C

2

z

a0

Интегрирование осуществляется по единичной окружности C ,

внутри

которой располагается точка полюса z

a0 .

Поскольку вычет подынтегральной

функции в точке полюса

равен

b am , то искомая импульсная характеристика исследуемого ЦФ представляет собой убывающую геометрическую прогрессию

{gk } {b, b a, b a2, }.

Таким образом, импульсная характеристика устойчивого рекурсивного ЦФ имеет вид бесконечной убывающей последовательности отсчетов.

6.4 Элементы синтеза цифровых фильтров

Особое значение для практики имеют методы синтеза ЦФ с заданными свойствами частотной, переходной и импульсной характеристик. При синтезе ЦФ обычно используются аналоговые фильтры-прототипы, которые в свою очередь синтезируются известными классическими методами. Остановимся подробнее на некоторых методах синтеза ЦФ, предполагая, что аналоговый прототип известен.

Метод инвариантных импульсных характеристик. В основе этого простейшего метода синтеза лежит дискретизация импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа. Предполагая физическую реализуемость системы, для которой g(t) 0 , при t 0 , в результате

дискретизации по времени импульсной характеристики прототипа, получаем набор отсчетов импульсной характеристики ЦФ

{gk } {g(0), g(T ), g(2 T ), } {g0, g1, g2, } .

Заметим, что число членов последовательности импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Этот факт определяет структуру синтезируемого ЦФ. Так импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный ЦФ, в то время как импульсной характеристике в виде бесконечной последовательности соответствует рекурсивный ЦФ.

Действительно, при конечной импульсной характеристике устанавливается наиболее простая связь между ее коэффициентами и структурой трансверсального ЦФ. В данном случае синтез структуры

110

фильтра осуществляется путем прямого применения					Z - преобразования к
последовательности {gk } в виде
		m
		ym	xk gm k .
		k	0
Системная функция находится непосредственно по выражению
			m	z k .
		Sz	gk	z k .
		k	0
Как	видим,	знаменатель		системной	функции	будет

соответствовать zk , что соответствует трансверсальной структуре ЦФ.

В случае бесконечной импульсной характеристики для получения замкнутого аналитического выражения выходного сигнала и/или системной функции, как правило, используется формула геометрической прогрессии

геометрической прогрессии. В случае убывающей геометрической

прогрессии, при n	, qn 0 и lim Sn	a1	. В результате такого
		1 q
	n

преобразования получаем системную функцию в виде рациональной дроби, числитель которой соответствует трансверсальной части, а знаменатель рекурсивной части функциональной схемы ЦФ.

При необходимости можно вычислить частотную характеристику ЦФ

S ( j ) по системной функции S z , выполнив замену вида z e j	T . Степень
приближения АЧХ синтезируемого ЦФ к характеристике	аналогового

прототипа зависит от выбранного шага дискретизации T .

Рассмотрим примеры синтеза простейших ЦФ по заданной импульсной характеристике аналогового прототипа.

Пример 6. Рассмотрим пример синтеза трансверсального ЦФ по заданной импульсной характеристике аналоговой динамической системы

первого порядка в виде
0,	при t			0
g(t)	t /			.
e	t /	,	при t 0
Постоянный множитель для простоты положен равным единице.
Аппроксимируем импульсную		характеристику последовательностью
трех равноотстоящих отсчетов
{gk } {1, e T /			,	e 2 T / }.

Последовательность отсчетов на выходе фильтра с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

Для случая комплексно-сопряженных полюсов

a2 одной из

границ области устойчивости является прямая a2

Рассматривая вещественные полюсы при a1