Документ: 1395, страницы 111-115 | Студенческое хранилище

Материал: 1395

Смотрите также:

111

y	x e T /	x	e 2 T /	x	2	,
k	k	k 1		k	2
что соответствует трансверсальному ЦФ.
Применив Z - преобразование к последовательности {gk }, найдем
системную функцию ЦФ
Sz	1 e T /	z 1	e 2 T /	z 2 .
Выполнив подстановку вида			z e j	T ,	получаем частотную
характеристику ЦФ
S( j ) 1 e (1 j ) T /			e 2 (1 j ) T / .

Пример 7. Рассмотрим пример синтеза рекурсивного ЦФ по тому же аналоговому прототипу при аппроксимации импульсной характеристики бесконечной дискретной последовательностью вида

		{gk } {1, e T / , e 2 T /	, } .
Выполнив	Z -	преобразование	бесконечной	импульсной

характеристики {gk }, с учетом суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии получим системную функцию ЦФ

Вид полученной системной функции соответствует рекурсивному ЦФ первого порядка, содержащего сумматор, масштабный блок и элемент задержки.

Частотная характеристика синтезированного ЦФ имеет вид

S( j )	1	.

	1 e (1/ j ) T

Сравнение трансверсальных и рекурсивных ЦФ. Проведем сравнение частотных характеристик только что синтезированных ЦФ имеющих аналоговым прототипом фильтр с частотной характеристикой вида

K ( j )	1	.


1	j

Для конкретности положим постоянную времени аналогового прототипа равной 1, а период дискретизации T 0.2. На рисунке 6.7 приведены частотные характеристики в виде АЧХ аналогового фильтра прототипа первого порядка и цифровых фильтров – трансверсального и рекурсивного.

112

Из приведенных зависимостей АЧХ видно, что рекурсивный ЦФ хорошо аппроксимирует форму АЧХ фильтра прототипа типа ФНЧ. Трансверсальный ЦФ имеет существенно отличную форму АЧХ в силу того, что использовано всего три отсчета импульсной характеристики.

Кроме того, видим, что АЧХ цифровых фильтров имеют периодически повторяющийся характер. В связи с этим фактом еще раз отметим отметим, что использование ЦФ предполагает предварительную фильтрацию входного сигнала для исключения нежелательных высокочастотных помех на выходе.

На рисунке 6.8 для контроля приведены ФЧХ аналогового фильтра прототипа первого порядка и цифровых фильтров – трансверсального и рекурсивного.

113

Приведенные зависимости свидетельствуют о том, что в пределах полосы пропускания ФЧХ рекурсивного ЦФ практически не отличается от ФЧХ аналогового фильтра прототипа. ФЧХ трансверсального ЦФ даже в пределах полосы пропускания существенно отличается от ФЧХ прототипа. За пределами полосы пропускания ФЧХ ЦФ имеют совершенно другой характер поведения.

Синтез ЦФ на основе конечно-разностного представления дифференциального уравнения аналогового прототипа. К структуре ЦФ,

соответствующего известной аналоговой цепи можно прийти, заменяя производные в дифференциальном уравнении, описывающего выходной сигнал аналогового прототипа, конечными разностями.

В качестве примера, рассмотрим синтез ЦФ, соответствующего колебательной динамической системе второго порядка. Связь выходного колебания с входным воздействием для прототипа описывается дифференциальным уравнением

y''(t) 2

y'(t)

02 y(t) x(t) .

Применительно к колебательному LC - контуру с последовательным сопротивлением потерь R , коэффициенты дифференциального уравнения

определяются, как	R / (2 L) и	2	1/ (L C) .
		0

Полагая начальные условия нулевыми y( 0) 0 и y'( 0) 0, и,

заменяя функции и их производные изображениями, приходим к передаточной характеристике колебательной динамической системы второго порядка

114

K ( p)	Y ( p)			1		.

	X ( p)	p2	2	p	2
					0
Используя замену вида	p j	,	получим частотную характеристику

колебательной системы.

Положим шаг дискретизации по времени равным T и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов {yk } и {xk } . Произведем в дифференциальном уравнении замену производных конечными разностями

	yn	2 yn 1		yn 2	2	yn yn 1	2	yn	xn .
			T 2		2	T	0	yn	xn .
			T 2			T
После соответствующих преобразований получим разностное
уравнение
(1 2		T	2	T 2 ) y 2 (1		T ) y		y	T 2 x .
			0	n		n 1		n 2	n

Группируя слагаемые, получим рекуррентную форму выражения для последовательности выходного сигнала

y	T 2	x	2 (1	T )	y	y
	n	n			n 1	n 2 .
		1	2	T	02 T 2

Эта рекуррентная формула задает алгоритм рекурсивного фильтра второго порядка, моделирующего аналоговую колебательную систему. Такого рода ЦФ принято называть цифровым резонатором. При соответствующем подборе коэффициентов, данный ЦФ подобен аналоговому избирательному контуру и используется в качестве селектирующего звена.

Структуру синтезируемого рекурсивного ЦФ легче всего связать с видом системной функцией. Для перехода от разностного уравнения к системной функции запишем приведенное разностное уравнение

yn

2

(1

T )

yn 1

1

yn 2

1 2

T

02

T 2

1 2

T

02

T 2

xn .

1 2

T

02

T 2

Заменяя, оператор сдвига на z

1, получаем

(1 A z 1 B z

2) Y C X

z

;

z

Y

C

C z2

Sz

z

.

X z

1 A z 1

B z 2

z2

A z B

Коэффициенты числителя и знаменатели системной функции определяются выражениями

A

2

(1

T )

; B

1

; C

T 2

.

1 2

T

02 T 2

1 2

T

02 T 2

1 2 T

02 T 2

По коэффициентам системной функции синтезируется структура соответствующего селективного рекурсивного ЦФ.

115

Вместо обратных разностей вида y'(t) ( yn yn 1) /T для перехода к

разностному	уравнению		можно	использовать	прямые		разности вида
y'(t) ( y	y ) /T . Системная функция ЦФ при этом будет иметь вид
n 1	n
		Y		T 2
Sz		z						.
Sz		X z z2				02		.
		X z z2	2 (1 2	T ) z (1 2	T	02	T 2)
Выполнив замену вида z e j				T , от системных функций перейдем к

частотным характеристикам синтезируемого ЦФ. На рисунке 6.9 приведены нормированные АЧХ аналоговой колебательной системы и ЦФ, полученных путем аппроксимации исходного дифференциального уравнения обратными

и прямыми конечными разностями, при 0 10 ,

0.75, T 1 / (3 0) .

Как видим, АЧХ реализаций ЦФ с использованием прямых и обратных разностей полностью совпали. Точность аппроксимации аналоговой АЧХ цифровыми фильтрами зависит от шага дискретизации. Частотная характеристика цифровых фильтров имеет периодический характер.

Следует, однако, отметить, что использование обратных разностей при конечно-разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения аналогового прототипа предпочтительно из соображений устойчивости синтезируемого ЦФ.

Метод инвариантных частотных характеристик. Инвариантность предполагает подобие частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров. Отметим, что принципиально невозможно создать ЦФ, АЧХ которого в точности совпадала бы с АЧХ аналогового фильтра.

Sz 1 e T / z 1 e 2 T /