Документ: 1395, страницы 116-120 | Студенческое хранилище

116

Принципиальное отличие АЧХ аналогового и цифрового фильтров заключается в том, что частотная характеристика ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации T по времени.

В связи с этим, инвариантность или подобие частотных характеристик соответствует требованию преобразования бесконечного интервала частот аналогового фильтра в отрезок частот, отвечающего характеристике ЦФ, и,

удовлетворяющего неравенствам	/T	ц	/T , при сохранении формы
		ц
АЧХ.
Пусть K АФ ( p) обозначает	передаточную функцию аналогового

фильтра, заданной дробно-рациональной функцией комплексной частоты p .

Из связи переменных z и p в виде z e j p получаем p ln(z) /T . Однако,

при подстановке этого выражения в дробно-рациональное соотношение, новое соотношение уже не будет иметь дробно-рациональной формы, что свидетельствует о физической нереализуемости ЦФ.

В связи с этим обстоятельством, стараются использовать другие преобразования, например, преобразование, которое переводило бы точки единичной окружности в z - плоскости в точки на мнимой оси плоскости p

и, кроме того, сохраняло бы дробно-рациональный вид системной функции. В частности, при синтезе ЦФ получило распространение

преобразование вида

p		2	z	1	,
	T		z	1

которое соответствует замене функции логарифма первым членом разложения ее в ряд Тейлора.

Это дробно-линейное преобразование устанавливает однозначное

соответствие между точками единичной окружности

z - плоскости со всей

мнимой осью p - плоскости.

Заменяя в последнем соотношении p на j

а и

z e

j

ц T

, получим

2

e

j

ц T

1

2

j

ц

T

j

а

tg(

) .

T

e

j

ц T

1

T

2

Из этого соотношения следует, что при большой частоте

дискретизации

( ц T

1)

значение тангенса

примерно

равно значению

аргумента, то

есть

а

ц .

Следовательно,

на

низких

частотах АЧХ

аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. На высоких частотах наблюдается существенное отличие в связи с тем, что бесконечный

интервал частотного диапазона	аналогового		фильтра 0	а
преобразуется в диапазон частот ЦФ	/T	ц	/T по закону тангенса.
		ц

В связи с этим при проектировании ЦФ граничные частоты синтезируемого ЦФ и аналогового прототипа должны удовлетворять предыдущему

117

соотношению, учитывающему нелинейную деформацию частотного диапазона фильтра прототипа.

Следует особо отметить, что метод инвариантных частотных характеристик относят к прямым методам синтеза ЦФ, так как при его использовании наличие прототипа не обязательно, и можно задать любой требуемый вид частотной характеристики.

Процедура синтеза ЦФ методом инвариантных частотных характеристик состоит в том, что в функции K ( p) выполняется замена по

формуле
p		2	z	1	.
p	T		z		.
	T		z	1

Полученная при этом системная функция ЦФ S z имеет дробно-

рациональную форму и позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации, то есть реализовать функциональную схему ЦФ.

Пример 8. Необходимо синтезировать ЦФ с частотной характеристикой аналогового ФНЧ второго порядка типа Баттерворта.

Частота среза для ЦФ равна	g _ ц	1500 с 1. Частота дискретизации равна
	g _ ц

2

10000 c

1 .

d

T

Прежде

всего,

определяем

шаг

дискретизации

T

2

6.2832 10 4 c .

Далее,

по соотношению частот находим частоту

g _ ц

среза аналогового фильтра

2

ц

T

1621.9 c 1.

а

tg(

)

T

2

Как

известно, передаточная функция

аналогового

ФНЧ второго

порядка типа Баттерворта относительно нормированной комплексной

частоты pn

имеет вид

K АФ ( pn )

1

,

p2

2

p

1

n

где pn p /

g _ а . При переходе к истинной комплексной частоте получаем

K АФ ( p)

g _ а

.

2

p

2

p

g _ а

Выполнив замену переменных

p на

z ,

в соответствии с дробно-

рациональным соотношением, находим системную функцию ЦФ

118

									2		(z	1)2
Sz									g _ а											.
Sz				2														2 2		.
		2		2			2			2		z2			2
		2			2		2	g _ а		2			2		2				z

	T					T				g _ а					g _ а		T


			2	2			2			2
			2		2		2	g _ а		2
		T			2		T			g _ а


Подставив в эту формулу заданные числовые значения, получаем
итоговый вид системной функции ЦФ
					Sz				z	2	2 z	1				.

						7.6272			z2	5.7033			z
						7.6272			z2	5.7033			z	2.0761
Структура					выражения					системной					функции				определяет
функциональную схему реализации рекурсивного ЦФ.
Выполнив					замену z e j					T , получаем выражение частотной
характеристики рекурсивного ЦФ второго порядка типа Баттерворта
	SЦФ ( j )								e2 j		T	2 e j		T	1				.
	SЦФ ( j )					7.6272			e2 j	T	5.7033 e j				T		2.0761		.
						7.6272			e2 j	T	5.7033 e j				T		2.0761

На рисунке 6.10 приведены нормированные АЧХ аналогового и ЦФ второго

порядка типа Баттерворта при	а	1621.9 c 1	и T 6.2832 10 4 c .
	а

Как видим, при заданных условиях формы АЧХ аналогового и цифрового фильтров практически совпадают на первом интервале прозрачности. Для исключения появления паразитных высокочастотных

119

составляющих на выходе ЦФ за счет периодичности АЧХ используют предварительную фильтрацию входного сигнала.

Шумы квантования ЦФ. Рассмотрим влияние квантования сигнала на характеристики ЦФ. При проектировании ЦФ необходимо учитывать специфические изменения характеристик ЦФ, возникающие в результате квантования входных сигналов.

Напомним, что квантованием называется процесс округленного представления уровней отсчетов входного сигнала последовательностью двоичных чисел конечной разрядности.

Квантовый характер сигналов приводит к целому ряду явлений описанных в литературе посвященной ЦФ.

Рассмотрим простейший эффект, так называемый шум квантования. Пусть Vmax - наибольшее значение аналогового сигнала на входе АЦП,

которое еще не вызывает переполнения регистров арифметического устройства. Если m - число двоичных разрядов, отводимых для представления отсчетов, то, очевидно, что квантование сигнала производится

с шагом g	V / 2m .
	max
Таким	образом, квантованные отсчеты описывают мгновенные

значения аналогового сигнала с некоторой погрешностью в пределах шага квантования. Иными словами, отсчеты входного сигнала ЦФ {xk } являются

суммами истинных значений {xk } и значений {nk } некоторого дискретного случайного процесса, называемого шумом квантования

xk xk nk .

Физически шум квантования есть результат округления истинных значений до ближайшего порогового значения АЦП.

Теоретически и экспериментально показано, что в большинстве практически важных случаях последовательность {nk } описывается статистически независимыми случайными величинами, каждая из которых

равномерно распределена в интервале				q / 2 до q / 2 и поэтому имеет нулевое
математическое ожидание и дисперсию				2 q2 /12 .
Шум квантования, присутствующий на входе ЦФ, преобразуется этим
устройством	в	выходной	шум.	Пусть	{nin _ k }-	дискретная

последовательность, соответствующая входному шуму квантования.

Для того чтобы найти l - тый отсчет выходной последовательности {nout _ k } , следует вычислить дискретную свертку входного шумового

сигнала и импульсной характеристики ЦФ

nout _ k	gl nin _ k l .
l	0

Отсюда определяем функцию корреляции шума квантования на выходе

	120
Rout (k) Rout _ k	nout _ n	nout _ n k
n	0
gm nin _ n m gm k nin _ n m k
n 0 m 0
Rin _ k	gm gm	k .

m 0

Положив k 0, получим выражение для дисперсии шума квантования на выходе

2	R	g 2	q2	g 2 .
out
	out _ 0	l	12	l
	l	0		l 0

Таким образом, выходной шум квантования оказывается тем больше, чем медленнее спадают отсчеты импульсной характеристики ЦФ. Другими словами, чем шире полоса пропускания ЦФ, тем больше интенсивность шумов на выходе.

Материал: 1395

Смотрите также: