Документ: 1395, страницы 101-105 | Студенческое хранилище

{1, 0, 0,

			101
gm	1			zm 1	Sz dz ,


	2		j C
а прямое Z - преобразование определяется соотношением вида
	Sz			gk z k .
		k	0
Для раскрытия интеграла по контуру					C на комплексной плоскости
используется формула Коши
zn dz	2			j, если	n 1.
C		0, если n			1
C
Из формулы обратного Z - преобразования, применительно к
системной функции, следует,	что каждое слагаемое S z					дает вклад, равный
соответствующему коэффициенту			bm , смещенному			на m позиций по

времени в сторону запаздывания.

Таким образом, импульсную характеристику, соответствующую системной функции трансверсального ЦФ, получаем в виде

{gk } {b0, b1, b2, , bm}.

Аналогичный вывод следует непосредственно из функциональной схемы трансверсального ЦФ, если учесть, что импульсная характеристика является реакцией дискретной системы на единичный - импульс

10 , 0}.

Отметим, что импульсная характеристика трансверсального ЦФ содержит конечное число членов, равное порядку.

Частотная характеристика трансверсального ЦФ. Для определения частотной характеристики, в выражении системной функции ЦФ, выполним

замену вида z e j T . В результате замены получаем выражение частотной характеристики трансверсального ЦФ

S( j ) b b e j T	b e 2 j T	b e m j T .
0 1	2	m

Отметим, что с помощью трансверсального ЦФ, при заданном периоде дискретизации T , удается реализовать разнообразные формы частотных характеристик, подбирая весовые коэффициенты фильтра bi .

Пример 3. Исследовать частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) трансверсального ЦФ второго порядка, выполняющего усреднение текущего и двух предыдущих отсчетов сигнала по формуле

yi	(xi	xi 1	xi 2 ) / 3.
Системная функция данного фильтра имеет вид
Sz	(1 z 1		z 2 ) / 3.
Выполняя замену вида z	e j	T ,	получаем частотную характеристику

ЦФ

102

S( j )

1

(1 e j T

e 2 j T )

3

1

[(1

cos(

T )

cos(2

T ))

j (sin(

T )

sin(2

T ))] .

3

Выражая модуль и аргумент частотной характеристики, получаем АЧХ

и ФЧХ ЦФ

1

S( j

)

3

4 cos(

T )

2

cos(2

T ) ,

3

sin(

T )

sin(2

T )

T .

s ( )

arctg(

)

cos(

T )

cos(2

T )

1

Соответствующие графики АЧХ и ФЧХ представлены на рисунке 6.3,

где ось ординат соответствует величине

T выраженной в градусах.

Пояснения: Пусть, например,

T

60 ,

то

есть

на

один период

гармоники сигнала приходится шесть отсчетов

(

, 0,1,1, 0,

1,

1, 0,1,1, ) .

Абсолютные значения в данном случае не важны, так как фильтр линейный. Согласно алгоритму формирования выходного сигнала, соответствующего усреднению входных отсчетов, выходная последовательность будет иметь вид ( , 0, 2 / 3, 2 / 3, 0, 2 / 3, 2 / 3, 0, 2 / 3, 2 / 3, ) .

Как видим, выходной последовательности отвечает гармонический сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой равной 2 / 3 0.66 от

входной амплитуды и начальной фазой запаздывания на 60 . Этот факт находится в полном соответствии с приведенными на рисунке 6.3 графиками АЧХ и ФЧХ.

103

При T 120 рассматриваемый фильтр сглаживает входную последовательность отсчетов и соответствует ФНЧ.

Кроме того, видим, что АЧХ фильтра периодична и немонотонна. В связи с этим необходимо входной аналоговый сигнал подвергать предварительной частотной фильтрации, так как в нем могут присутствовать

составляющие, для которых T 180 . Эти составляющие не будут ослабляться ЦФ, так как для них условия Котельникова не выполняются. Более того, из-за наличия ВЧ составляющих ЦАП восстановит некоторое НЧ колебание, отсутствующее во входном сигнале. Это паразитное явление (эффект наложения или маскировки ВЧ составляющих спектра) в принципе присуще любым дискретным системам. Это заставляет уделять серьезное внимание предварительной обработки сигнала, подвергаемого цифровой фильтрации.

Рекурсивные фильтры. Для формирования i -го отсчета выходного сигнала рекурсивные ЦФ используют не только i - тый отсчет входного сигнала, но и предыдущие отсчеты, как входного сигнала, так и выходного сигнала


yi	b0	xi	b1 xi 1 b2 xi 2		bm xi m
	a1	yi 1	a2 yi 2	an yi n .
Таким образом, в рекурсивных фильтрах отсчеты выходного сигнала
используются в формировании последующих выходных отсчетов.
Системная	функция рекурсивного				ЦФ. Применяя	Z -

преобразование к алгоритму образования выходной последовательности заданной рекуррентным соотношением, получим системную функцию рекурсивного ЦФ

	Y		b b z 1			b z 2			b z m
Sz	z	0			1	2			m
Sz	X z			1 a z 1		a z 2			a z n
					1	2			n
				b zn b zn 1			b zn m
		0			1			m		.
				zn	a zn 1	a zn 2				.
				zn	a zn 1	a zn 2			a
					1	2			n

Системная функция преобразуется в частотную характеристику

рекурсивного ЦФ при замене вида z e j T .

Системная функция имеет на z - плоскости n полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то полюса системной функции либо вещественны, либо попарно комплексно - сопряжены.

Функциональная схема рекурсивного ЦФ. Функциональная схема рекурсивного ЦФ четвертого порядка приведена на рисунке 6.4.

104

Левая часть функциональной схемы соответствует трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма цифровой фильтрации. Для ее реализации требуется m 1 масштабных блоков (операций умножения) и m ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Правая часть функциональной схемы соответствует рекурсивной части алгоритма цифровой фильтрации. Здесь используется n последовательных отсчетов выходного сигнала, которые сдвигаются из ячейки в ячейку на каждом такте.

Недостатком этой функциональной схемы ЦФ является большое число необходимых ячеек памяти для рекурсивной и нерекурсивной частей алгоритма цифровой фильтрации.

Каноническая функциональная схема рекурсивного ЦФ. Более совершенной является каноническая функциональная схема рекурсивного ЦФ, имеющего минимально возможное число ячеек памяти, равное наибольшему из чисел m и n . В качестве примера, на рисунке 6.5 изображена каноническая функциональная схема рекурсивного ЦФ второго порядка, соответствующая системной функции вида

Sz	Yz		b0 b1 z 1	b2 z 2	b0 z2	b1 z1	b2	.
	X z		1 a z 1	a z 2	z2	a z1
							a
		1		2		1	2

105

Для вывода выражения системной функции по канонической функциональной схеме рекурсивного ЦФ запишем выражения для сигналов на выходах первого и второго сумматоров

wk	xk a1 wk 1 a2 wk 2 ;
yk	b0 wk b1 wk 1 b2 wk 2 ,

где {wk }- выходная последовательность на выходе первого сумматора. Выполняя Z - преобразования для этих выражений, получаем

W	z	X	z	/(1 a	z 1 a	2	z 2 ) ;
	z		z	1		2
Y (b b z 1					b z		2 ) W	z	.
z		0		1	2			z

Объединяя полученные выражения для изображений сигналов на выходах сумматоров, приходим к указанной системной функции рекурсивного ЦФ.

Устойчивость рекурсивных ЦФ. Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью (ОС).

Поскольку в ячейках памяти хранятся значения предшествующих состояний выходного сигнала, то при заданных начальных условиях, то есть значениях {yi 1, yi 2, , yi m} , даже в отсутствие входного сигнала {xk } , на

выходе образуется бесконечная последовательность {yi , yi 1, yi 2, } ,

соответствующая свободным колебаниям дискретной системы.

Дискретная система или ЦФ являются устойчивыми, если свободные колебания, как реакция системы на любые конечные начальные условия,

ограничены по амплитуде, то есть

yk

M , при k

, где M - некоторое

положительное число.

Исходя из общего вида системной функции рекурсивного ЦФ

Y		b zn	b zn 1	b zn m
z	Sz	0	1		m
X z	Sz	zn a zn 1 a zn 2			a
		1	2		n

свободные колебания на выходе являются решением линейного однородного разностного уравнения, определяемого знаменателем системной функции

(zn a zn 1	a zn 2	a ) y	k	y	a y	a y 0 .
1	2	n	k		k n 1 k n 1	n k

Материал: 1395

Смотрите также: