Документ: 1395, страницы 76-80 | Студенческое хранилище

76

5.9 Пример определения основных характеристик дискретных систем второго порядка

Для иллюстрации рассмотренных методов решения разностных уравнений второго и более высоких порядков определим основные характеристики дискретных систем второго порядка, заданных системной функцией либо разностным уравнением. В качестве основных временных характеристик дискретных систем рассмотрим частотные, переходные и импульсные характеристики. Напомним, что переходная и импульсная характеристики определяются, как реакция систем, соответственно, на последовательность единичных - импульсов 1k и на одиночный единичный

- импульс 10 . В качестве реакции рассмотрим напряжение на выходе

дискретных систем второго порядка.

Пример. Пусть задана системная функция дискретной системы второго порядка

S (z) Sz	V (z)	Vz	1		,
	E(z)	Ez		(z 1) (z d )

где Ez - изображение входного воздействия; Vz - изображение выходной

реакции и требуется определить частотную, переходную и импульсную характеристики системы.

Частотная характеристика дискретной системы определяется по

системной функции путем замены z				e j	T
S( )	V ( )	1			1			,

	E( )		(e j T 1) (e j T			e 2 j T (1 d ) e j T
				d )			d

где T - период дискретизации по времени.

Амплитудно-частотная характеристика системы соответствует модулю комплексной частотной характеристики

S( ) Abs(S( )) .

Фазочастотная характеристика системы соответствует аргументу комплексной частотной характеристики

( ) Arg(S( )) 180/ .

Изображение выходной реакции запишется

Vz	Ez		.
	(z 1) (z
		d )

Знаменатель системной (передаточной) функции приравненный нулю определяет характеристическое уравнение

(z 1) (z d ) z2 (1 d ) z d 0 ,

корни которого, соответственно равны d1 1; d2 d .

Переходная характеристика дискретной системы. Приступаем к определению переходной характеристики дискретной системы различными методами.

77

Как известно, переходная характеристика представляет собой реакцию дискретной системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на входную последовательность 1k (единичных - импульсов при k 0 и периодом T ).

Под исходным состоянием покоя следует понимать полное установление реакции на предыдущие воздействия и отсутствие сторонних источников.

Операторный метод. Операторный метод определения выходной реакции дискретной системы основан на теории Z - преобразования дискретных функций, как оригиналов, в непрерывные функции комплексного аргумента z , называемых изображениями, и наоборот.

Оригиналу входного воздействия 1k , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

ek

1k

Ez

z

.

z

1

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

Vz

z

.

(z

1)2

(z

d )

Из таблиц обратного Z -

преобразования находим оригинал выходной

реакции, то есть переходную характеристику дискретной системы

V

z

v A A t B e

t

A A t B d k

z

(z

1)2

(z

d )

k

0

или

hk

vk

1

k

d k

,

(1 d )2

(1 d )

(1 d )2

где B

A

1

;

A

1

;

ln(d )

;

k

t

; e t d k ; T -

(1 d )2

0

T

(1

d )

T

период входной последовательности.

Отметим, что при k 0 имеем v0

h0

0 .

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции

оригиналами, а комплексной переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

Vz	1	1		vk		1	.
Ez	(z 1) (z d )	z2 (1 d ) z d	1k		E2	(1 d ) E d	.
Ez	(z 1) (z d )	z2 (1 d ) z d	1k		E2	(1 d ) E d

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение второго порядка

vk 2	(1 d ) vk 1	d vk 1k	fk
или
vk 2	(1 d ) vk 1	d vk	1k .

78

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка, то необходимо определить v0 и v1.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

v

lim v

lim V

lim

z

1

0 .

0

k 0

k

z

z 1 (z 1) (z d )

В соответствии с теоремой упреждения,

значение функции vk 1

определится выражением

vk 1

z Vz

z v0

z2

.

(z

1)2 (z

d )

Применяя повторно теорему о начальном значении функции, получаем

v

lim v

lim (z V

z v )

lim

z

0 .

1

k 0 k 1

z

0

z

z 1 (z 1) (z d )

С другой стороны для определения начальных условий можно

воспользоваться

исходным

разностным

уравнением,

полагая

соответствующим значение индекса k и, учитывая, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так при

k	2 и k	1 последовательно получаем
		v0	(1 d ) v 1	d v 2	1 2	(1 d ) 0 d 0 0 0 ;
		v1	(1 d ) v0	d v 1	1 1	(1 d ) 0 d 0 0 0 .
	Таким образом, получаем, что начальные значения нулевые, то есть
v0	0 и v1	0 .

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению переходной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка

	vk 2 (1 d ) vk 1 d vk 1k		fk
следует искать в виде
vk	c1,k v1,k c2,k v2,k	c1,k 1k	c2,k d k ,
где 1, d - корни	характеристического	уравнения; y1,k 1k , y2,k d k -

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы уравнений Лагранжа

и c2,k

	79
c1,k 1k 1	c2,k d k 1	0;
c1,k 1k 2	c2,k d k 2 1k	fk .

Напомним, что определяющая система уравнений Лагранжа образуется при подстановке предполагаемого общего решения в исходное разностное уравнение и наложении ограничения на сдвиг функций c1,k . Первое

уравнение системы есть как раз данное ограничение, а второе уравнение есть результат подстановки предполагаемого решения в исходное разностное уравнение с учетом наложенного ограничения. Определитель определяющей системы уравнений есть определитель Касорати, построенный на основе фундаментальной системы решений и их сдвигов.

Выразим разности варьируемых постоянных c1,k и c2,k из определяющей системы уравнений, используя правило Крамера

C

1k

1

d k

1

1k 1

d k 1

(d 1) ;

1k

2

d k

2

d k 1

0

c1,k

1k

d k 2

1k d k 1

1k

;

1k 1

d k 1 (d 1) 1k 1

(d 1)

1k

1

0

c2,k

1k 2

1k

1k 1k 1

1k

.

1k 1

d k 1 (d 1) d k 1

(d 1)

Для определения варьируемых постоянных c1,k

обратный разностный оператор в виде суммы последовательности, используя для раскрытия арифметической либо геометрической прогрессий

1	k	1n 1	1 k 1n 1
c1,k	c1,k
c1,k	c1,k		d 1 n 1 1n
	n 11n (d 1)		d 1 n 1 1n

и c2,k применим функциональной сумм формулы

k

d 1 c1 ;

1

k

1n 1

1

k 1n 1

(d k 1)

c2,k

c2

,

n 1 d n (d 1)

d 1 n 1 d n

d k (d 1)2

где c1, c2 - новые постоянные суммирования.

Подставляя найденные значения

c1,k

и c2,k в предполагаемое общее

решение разностного уравнение, получаем его в виде

k 1k

d k

1

vk

c1 1k

c2

d k .

d

1

(d

1)2

					80
Для определения постоянных суммирования c1											и c2 воспользуемся
найденными ранее начальными условиями v0									0 и v1		0 . Так, приравнивая
общее решение при k 0 и k	1 начальным условиям, находим
v0	0		0		c1	0		c2 ;
v1 0	1				c1	1			c2	d

		d	1				d
		d	1				d	1
или
		c1		c2		0 ;
		c1	d		c2	0 .
Из полученной системы сразу следует, что c1										c2	0 .

Подставляя найденные значения постоянных суммирования в общее решение, получаем частное решение исходного неоднородного разностного уравнения

vk

k 1k

d k 1

k

d k

1

d 1

(d 1)2

d 1

(d 1)2

или

hk

vk

1

k

d k

.

(1

d )2

1

d (1

d )2

Полученное решение описывает переходную характеристику исследуемой дискретной системы и, как видим, совпадает с выражением, найденным операторным методом.

Решение в форме Коши (метод Коши). Рассматриваемый нами вариант метода Коши предполагает предварительное преобразование исходного неоднородного разностного уравнения

	vk 2		(1 d ) vk 1 d vk				1k		fk
в эквивалентную систему двух разностных уравнений первого порядка.
Так,	вводя новые		переменные			x1,k		vk ;		x2,k x1,k 1 vk 1;
x3,k v2,k 1	vk 2 , получаем эквивалентную систему разностных уравнений
первого порядка
	x1,k 1		0		1	x1,k			0
	x2,k 1		d 1 d			x2,k			1k
или
			X k 1		A X k	Fk .
Согласно методу Коши, частное решение неоднородной системы
разностных уравнений первого порядка следует искать в виде
			Ak X		k
	X	k	Ak X	0	Ak	n	F	1	,
		k		0			n	1
					n 1

Материал: 1395

Смотрите также: