Материал: Строительная механика и сопротивление материалов

нелей равно n, в нижней – m. Высота всех стоек фермы одинакова, а уклоны верхних и нижних частей различны (рис. 17).

Рис. 17. Ферма [42]: n = 3, m = 2

Геометрия панелей этой фермы, как показано на рисунке, определяется 4 параметрами: a, b, c, h. Исследование, однако, проводилось в предположении, что b = h и c = h /2.

При помощи двухпараметрической индукции было получено следующее общее реше-

В случае m = n относительный прогиб при увеличении n сначала убывает, а затем монотонно растѐт.

Арочная ферма с крестообразной решѐткой, имеющая по m панелей в боковых частях и 2n панелей в ригеле и нагруженная одной силой P в центральном узле нижнего пояса, была рассмотрена в работе [43] (рис. 18).

Рис. 18. Ферма [43]: n = 4, m = 2

Решение для прогиба фермы удалось получить двухпараметрической индукцией в предположении, что число панелей в половине пролѐта является чѐтным: n = 2k. Оно оказа-

Ферма -образной формы с четырьмя опорами, исследованная в работе [44], статически определима, но относится к числу внешне статически неопределимых систем. Она имеет по m панелей в боковых частях и 2n панелей в ригеле; к центральному узлу нижнего пояса приложена сила P (рис. 19).

25

Рис. 19. Ферма [44] (вариант 1): n = 3, m = 2

Авторы работы обнаружили, что в случаях, когда остаток от деления m на 3 равен 1, определитель матрицы G обращается в нуль, так что ферма превращается в кинематически изменяемую систему; при этом изменение параметра n здесь (в отличие от ранее обсуждавшейся фермы из статьи [34]) на кинематическую изменяемость не влияет.

При проведении двухпараметрической индукции вместо индукции по m применялась (чтобы исключить случаи вырождения) индукция по параметру k, пробегавшему последовательно значения 1, 2, 3, ... и связанному с m формулой m = (6k – ( – 1)k + 1) / 4. Для прогиба фермы была получена формула, сходная с (10):

k

P

= −−−− ( Am n a3 + Bm n h3 + Cm n c3 ) / h2 , (13)

EF

где

В работе [44] был также рассмотрен другой вариант конструкции этой фермы, отличающийся изменением положения двух опор (рис. 20).

Рис. 20. Ферма [44] (вариант 2): n = 3, m = 3

Для этого варианта исчезают случаи кинематической изменяемости, а выражения для коэффициентов становятся такими:

Вернувшись к варианту 1 фермы, авторы работы рассмотрели ещѐ случай, когда ферма равномерно нагружена по нижнему поясу ригеля. Коэффициенты в (13) приняли вид

Сходная с изображѐнной на рис. 20 ферма, но отличающаяся иной геометрией решѐтки, была рассмотрена в работе [45] (рис. 21).

26

Рис. 21. Ферма [45] (вариант 1): n = 3, m = 2

Проведя двухпараметрическую индукцию для случая, когда ферма нагружена силой P в центральном узле нижнего пояса, автор работы установила, что для прогиба фермы также справедлива формула (13) с выражениями (14) для еѐ коэффициентов.

Если же данная ферма равномерно нагружена по нижнему поясу ригеля, то коэффициенты в (13) оказываются такими:

Рис. 22. Ферма [45] (вариант 2): n = 3, m = 2

Если же такая нагрузка приложена лишь к верхнему поясу ригеля, то коэффициенты в формуле (15) принимают вид

Заключение

В статье сделан обзор большого числа публикаций, авторы которых, используя метод индукции с привлечением системы компьютерной математики Maple, получили точные аналитические решения разнообразных задач о прогибе плоских ферм арочного типа. Собраны воедино основные результаты этих исследований, разбросанные по многочисленным изданиям, и для облегчения сопоставлений представлены в унифицированном виде.

Надо отметить, что получение общего решения таких задач для произвольного числа панелей в ферме, как правило, весьма трудоѐмко, поскольку оно всякий раз предполагает решение в аналитическом режиме нескольких систем уравнений достаточно высокой размерности. Особенно это характерно для задач, решение которых зависит от двух натуральных параметров и требует проведения двухпараметрической индукции: здесь компьютер нередко работает ―на пределе‖ своих возможностей. Эти трудности, однако, искупаются удобством работы с полученными в итоге формулами, а проверка результатов аналитического

27

исследования и дальнейший расчѐт характеристик анализируемой конкретной системы (выполняемые уже в численном режиме системы Maple, который намного быстрее) не представляет особых трудностей и для ферм с несколькими десятками панелей (что типично для реальных задач).

Применение точных аналитических формул весьма эффективно, в частности, для большепролѐтных арочных конструкций, прямой численный расчѐт которых связан с неизбежными погрешностями (появление последних связано, например, с приближѐнным характером применяемых методов, накоплением ошибок округления или плохой обусловленностью решаемых задач большой размерности).

Библиографический список

1.Кийко Л.К. Аналитическая оценка прогиба арочной фермы под действием ветровой нагрузки // Научный вестник. 2016. № 1 (7). С. 247–254. DOI: 10.17117/nv.2016.01.247

2.Тиньков Д.В. Анализ точных решений прогиба регулярных шарнирно-стержневых конструкций // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2015. № 6. С. 21–28.

3.Кривошапко С.Н., Галишникова В.В. Архитектурно-строительные конструкции. М.: Юрайт, 2015. 476 с. ISBN 978-5-9916-4821-9.

4.Шапошников Н.Н., Кристалинский Р.Е., Дарков А.В. Строительная механика. 13-е изд. СПб.: Лань, 2017. 692 с. ISBN 978-5-8114-0576-3.

5.Proske D., Lieberwirth P., van Gelder P. Sicherheitsbeurteilung historischer Steinbogenbrücken. Dresden: Dirk Proske Verlag, 2006. 310 S. ISBN 978-3-00-018131-3.

6.Юнусов А.С. Арочные конструкции, востребованные временем, в строительной науке и архитектуре // Инженерный вестник Дона. 2016. Т. 40, № 1 (40). Ст. 44 (15 с.)

URL: http://ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_27_Ayrat_Yunusov.pdf_09178f652b.pdf

7.Knapp R.G. Chinese Bridges: Living Architecture from China’s Past. Singapore: Tuttle Publishing, 2008. 272 p. ISBN 978-0-8048-3884-9.

8.Саламахин П.М., Попов В.И. Автодорожные и городские мосты в России. М.: МАДИ, 2017. 124 с.

9.Xiang Zhongfu, Xu Wei, Wang Cunshu, Dong Ying. The construction technology of Chongqing Chaotianmen Bridge // Proceedings of the 6th International Conference on Arch Bridges – ARCH’10 (Fuzhou, October 11-13, 2010) / Ed. by Chen Baochun, Wei Jiangang. Fuzhou: Fuzhou University, 2010. P. 788–796.

10.Chen Wai-Fah, Duan Lian. Handbook of International Bridge Engineering. Boca Raton: CRC Press, 2013. 1394 p. ISBN 978-1-4398-1029-3.

11.Яшнов А.Н., Поляков С.Ю. Организация научно-инженерного сопровождения строительства внеклассного моста // Транспорт. Транспортные сооружения. Экология. 2015. № 1. С. 148–160.

12.Герцен А.А. Анализ технических проблем возведения Крымского моста // Молодѐжь и научно-технический прогресс: Сборник докладов X Международной научнопрактической конференции студентов, аспирантов и молодых учѐных (Губкин, 20 апреля 2017 г.). Т. 4. Белгород: ООО «Ассистент плюс», 2017. С. 47–50.

13.Воробьѐва А.Е., Игнатова А.В. Применение систем с повышенным демпфированием при строительстве Крымского моста через Керченский пролив // VII Всероссийский фестиваль науки: Сборник докладов (Нижний Новгород, 4–5 октября 2017 г.). Т. 1. Н. Новгород: Нижегородский гос. арх.-строит. ун-т, 2017. С. 336–339.

28

14.Кирсанов М.Н. Индуктивный анализ влияния погрешности монтажа на жѐсткость и прочность плоской фермы // Инженерно-строительный журнал. 2012. Т. 31, № 5. С. 38–

42. DOI: 10.5862/MCE.31.5

15.Гриднев С.Ю., Кирсанов М.Н., Овчинников И.Г. Статический расчѐт двухраскосной балочной фермы // Интернет-журнал «Науковедение». 2016. Т. 8, № 6 (37). Ст. 99 (8 с.)

URL: http://naukovedenie.ru/PDF/99TVN616.pdf

16.Осадченко Н.В. Расчѐт прогиба плоской неразрезной статически определимой фермы с двумя пролѐтами // Постулат. 2017. № 12. Ст. 28 (9 с.)

URL: http://e-postulat.ru/index.php/Postulat/article/view/958/984

17.Резниченко А.Ю., Эйрих Н.В. Вычисление монтажных напряжений в стержневых системах методом конечных элементов в системе Maple // Вестник Приамурского гос. ун-та им. Шолом-Алейхема. 2017. № 1 (26). С. 63–70.

18.Ибрагимов А.М., Кукушкин И.С. Сравнительный анализ вариантов конструктивных решений пологих арочных покрытий зданий // Вестник МГСУ. 2014. № 3. С. 59–66.

19.Кирсанов М.Н. Аналитическое исследование деформаций плоской фермы арочного типа // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. 2015. № 3 (31). С. 42–48. DOI: 10.21821/2309-5180-2015-7-3-42-48

20.Малянов И.Ю. Формула для прогиба арочной фермы под действием равномерной нагрузки по нижнему поясу // Вопросы образования и науки: теоретический и методический аспекты. Сборник научных трудов по материалам Международной научнопрактической конференции (Тамбов, 30 июня 2015 г.). Том 1. Тамбов: ООО ―Консалтинговая компания Юком‖, 2015. С. 129–131.

21.Сайпулаев Г.Р. Расчѐт регулярных стержневых систем на примере арочной фермы // Актуальные вопросы образования и науки: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции (Тамбов, 30 сентября 2014 г.). Часть 4. Тамбов: ООО ―Консалтинговая компания Юком‖. 2014. С. 128–130.

22.Bolotina T.D. The deflection of the flat arch truss with a triangular lattice depending on the number of panels // Bulletin of Scientific Conferences, 2016, no. 4-3 (8). P. 7–8.

23.Сметанин Д.А. Анализ решения задачи о прогибе арочной фермы, нагруженной по верхнему поясу // Вестник научных конференций. 2015. № 4-1 (4). С. 152–153.

24.Бирбасов А.А. Аналитический расчѐт прогиба плоской арочной фермы, нагруженной по верхнему поясу // Научный альманах. 2016. № 6-2 (19). С. 198–201.

DOI: 10.17117/na.2016.06.02.198

25.Макаров М.Д. Анализ смещения опоры плоской упругой арочной фермы, нагруженной по верхнему поясу // Научный альманах. 2016. № 6-2 (19). С. 257–259.

DOI: 10.17117/na.2016.06.02.257

26.Трунов П.В. Аналитический расчѐт прогиба симметричной арочной фермы, нагруженной по нижнему поясу // Вестник научных конференций. 2015. № 2-3 (2). С. 142–143.

27.Рябцев А.М. Прогиб безраспорной арочной фермы под действием равномерной нагрузки по верхнему поясу // Актуальные вопросы в научной работе и образовательной деятельности: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции (Тамбов, 30 мая 2015 г.). Том 10. Тамбов: ООО ―Консалтинговая компания Юком‖, 2015. С. 107–109.

28.Кирсанов М.Н. Сравнительный анализ жѐсткости двух схем арочной фермы // Строительство уникальных зданий и сооружений. 2015. № 9 (36). С. 44–55.

29.Поляков В.К. Формула для горизонтального смещения опоры безраспорной арочной фермы под действием равномерной нагрузки по верхнему поясу // Актуальные вопросы в научной работе и образовательной деятельности: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции (Тамбов, 30 мая 2015 г.). Том 10. Тамбов: ООО ―Консалтинговая компания Юком‖, 2015. С. 98–99.

29