Материал: Строительная механика и сопротивление материалов

альным конструкциям решение, полученное методом индукции, даѐт для инженеров-практи- ков лишь простую оценку (опираясь на которую, они могут выбрать, например, конкретное число n панелей конструкции и геометрические размеры еѐ элементов).

Далее можно провести численный расчѐт с учѐтом уточнѐнной математической модели – например, методом конечных элементов. Следует также проверить элементы конструкции на прочность, а сжатые – также и на устойчивость [2]. В некоторых случаях при расчѐте приходится принимать во внимание эффекты геометрической и физической нелинейности [6]. В системе Maple имеются средства для проведения таких расчѐтов [17]; в работе [2] проверка формул, полученных методом индукции, выполнялась в многофункциональном программном комплексе Lira.

Коснѐмся также вопроса терминологии. В строительной механике ―арочной системой‖ называют системы криволинейного или ломаного очертания с несмещаемыми опорами, в которых от вертикальной нагрузки возникают наклонные реакции (горизонтальные составляющие последних именуют распорами) [3,4]. В практике же расчѐта ферм данный термин нередко используют в более широком смысле, считая определяющим признаком арочной фермы наличие выраженного подъѐма конструкции над горизонтальной линией, соединяющей опоры [1,18]. При такой трактовке данное понятие охватывает и некоторые балочные фермы (―безраспорные арочные фермы‖, у которых одна опора неподвижная, а другая – подвижная), и ряд внешне статически неопределимых ферм, у которых число опор больше двух.

В нашем обзоре мы будем рассматривать и такие фермы; во избежание путаницы мы, однако, будем (следуя [19]) говорить о ―фермах арочного типа‖.

Однопараметрическая индукция

Рассмотрим некоторые публикации, в которых описанным в предыдущем разделе методом найдены точные аналитические решения задач о прогибе плоских ферм арочного типа. Заметим, что не во всех этих решениях параметр n обязательно (как предполагалось выше) совпадает с общим числом панелей в анализируемой ферме; в каждом конкретном случае мы будем указывать смысл данного параметра. В некоторых случаях мы, чтобы добиться большей унификации, изменяем использованные в оригинальных работах обозначения и при необходимости подвергаем формулы несложным алгебраическим преобразованиям.

В работе [20] получена формула для прогиба в центральном узле трѐхшарнирной арочной фермы, которая состоит из двух полуарок – ферм с треугольной решѐткой, соединѐнных шарниром. Через n обозначено число панелей в каждой полуарке; жесткости EF стержней фермы одинаковы. Арочная ферма нагружена распределѐнной нагрузкой по нижнему поясу; подобная нагрузка здесь и в других работах моделируется равными силами, приложенными к узлам нижнего пояса (рис. 1).

Рис. 1. Арочная ферма [20]: n = 2

После расчѐта по методу индукции для прогиба получено выражение:

Особенность задачи – в том, что определитель матрицы G зависит от n, что и привело к появлению n в знаменателях выражений для и An (это имело место и в более ранней работе [21], где решалась задача о прогибе данной фермы под действием единственной силы P, приложенной к центральному узлу). В подавляющем большинстве других рассматриваемых здесь решений задач о прогибе ферм зависимость от n является полиномиальной.

При сравнении значений прогиба при разных n автор статьи [20], считая постоянными длину пролѐта L = 2na и модуль главного вектора сил нагрузки Ps = (2n +1) P, переходит к относительному прогибу = EF / Ps и строит график зависимости от n . Полученная функция с ростом n сначала убывает, потом возрастает; точное положение точки минимума зависит от значения b.

В работе [19] аналогичная задача решалась для безраспорной арочной фермы несколько иного очертания; n – число панелей в половине пролѐта (рис. 2). По-прежнему расстояние между узлами по горизонтали обозначено a, по вертикали – b.

Рис. 2. Безраспорная арочная ферма [19]: n = 5

В данном случае для прогиба получено выражение:

Поведение относительного прогиба в зависимости от n было в этой задаче примерно таким же, как и в предыдущей задаче.

Автор работы [22] рассматривала безраспорную арочную ферму с треугольной решѐткой несколько отличной формы под действием приложенной к центральному узлу силы P (рис. 3). Здесь n – по-прежнему число панелей в каждой полуарке.

Рис. 3. Ферма [22]: n = 2

Найденная по методу индукции формула для сходна с (1):

P

= −−−− ( An a3 + Bn b3 + Cn c3 ) / b2 , (3)

EF

16

Относительный прогиб ведѐт себя при возрастании n так же, как и в обсуждавшихся выше задачах.

Для той же фермы в работе [23] была решена о прогибе центрального узла при равномерном нагружении по верхнему поясу. Вновь решение описывалось формулой (3), но с та-

кими коэффициентами: An = 4n3, Bn = 2n (n +1), Cn = n (20n3 – 8n2 – 7n – 7) / 12.

Несколько отличная конструкция безраспорной арочной фермы, равномерно нагруженной по верхнему поясу, была рассмотрена в [24] (рис. 4). Вычисленный для центрального

нием n в этой задаче растѐт монотонно по кубическому закону.

Рис. 4. Ферма [24,25]: n = 2

Заметим, что в работе [25] тем же методом для этой фермы была получена формула для горизонтального смещения подвижной опоры фермы. Правая часть данной формулы от-

ное смещение опоры при возрастании n также растѐт монотонно по кубическому закону.

В работе [26] для той же фермы была решена задача о прогибе центрального узла при равномерном нагружении по нижнему поясу. Полученная формула совпала с (3), но коэффи-

циенты оказались такими: An = 4n2 (3n – 2) , Bn = 2n2, Cn = n (20n3 – 32n2 + 31n – 7) / 12. Для относительного прогиба в этом варианте задачи также имел место монотонный рост при увеличении n, но график зависимости имел в начальной части точку перегиба.

Прогиб безраспорной арочной фермы с треугольной решѐткой из конгруэнтных прямоугольных треугольников был предметом анализа в работе [27] (рис. 5).

Рис. 5. Ферма [63]: n = 2

Методом индукции была получена формула, совпадающая с (2) с точностью до обо-

Отметим, что в [27] данная формула приведена с двумя опечатками. Правильное выражение дано в работе [28], где указано также, что при возрастании n относительный прогиб

17

нять для анализа прогиба таких ферм арочного типа, у которых повторяющиеся панели принадлежат к двум группам. Различия между панелями различных групп могут выражаться как в различных условиях нагружения, так и в геометрии или даже структуре конструктивных ячеек. В результате общее число панелей выражается через два независимых натуральных числовых параметра: m и n.

Начнѐм с анализа таких работ, в которых после описания конструкции фермы числу m придавалось конкретное значение, после чего индукция велась по параметру n уже рассмотренным способом; полученное решение носило, таким образом, частный характер.

Например, в работе [30] рассмотрена арочная ферма с крестообразной решѐткой, нагруженная в центральном узле нижнего пояса силой P. Ферма включает по m панелей в боковых частях и 2n панелей в ригеле (рис. 7).

Рис. 7. Ферма [30]: n = 3, m = 4

Формулу для прогиба фермы автор работы получил индукцией по параметру n, при-

Относительный прогиб при возрастании n в этой задаче сначала убывает, а затем растѐт по линейному закону, обнаруживая небольшие колебания в зависимости от четностинечѐтности n.

В работе [31] была исследована раскосная ферма арочного типа с равномерной нагрузкой по верхнему поясу. В верхней части каждой полуарки число панелей равно n, в нижней – m (рис. 8).

Рис. 8. Ферма [31]: n = 3, m = 2

Индукцию по параметру n автор работы провела, ограничившись случаем m = 2 . В результате была получена следующая формула для прогиба:

= P (A h3 + B g3 + C d 3 D h2 b + R h2 c + Q (2hb

−−−− n n n – n n n

EF

19