Материал: Строительная механика и сопротивление материалов
СОДЕРЖАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ………….
Кирсанов М.Н.
Формулы для расчета прогиба арочной фермы ……………………………………….....
Осадченко Н.В.
Аналитические решения задач о прогибе плоских ферм арочного типа ………………
Трещѐв А.А.
Определяющие соотношения ползучести для изотропных материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния….
Синозерский А.Н., Резунов А.В., Мухтаров Р.А.
Базовые и разрушающие усилия внецентренно сжимаемых призм из мелкозернистого бетона при эксцентриситетах в границах ядра сечения …………
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ………
Сафронов В.С., Д.Т. Чан
Надежность несущего каркаса реконструируемого производственного здания при перепрофилировании …………………………………………………………………
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ…………
Орлов А.С., Рубцова Е.Г., Щеглов А.С., Зибров С.Ю., Зиброва И.Ю.
Разработка технологии сварки при реставрации металлоконструкций ХIХ века ……
Свентиков А.А., Кузнецов Д.Н.
Анализ влияния ребер жесткости на местную устойчивость стенки и устойчивость стальной рамы двутаврового переменного по высоте сечения ………
Колодѐжнов С.Н.
Разработка концепции наращивания мачтового сооружения связи ……………………
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОСНОВАНИЙ И ФУНДАМЕНТОВ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ ……………………………………
Аверин А.Н.
Многопараметрические нитевые модели упругого основания …………………………
Горбачев А.С., Леденев В.В.
Расчет заглубленного аккумулирующего резервуара очистных сооружений совместно с конструкцией «стена в грунте» методом конечных элементов………….
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ………………………………
Габриелян Г.Е., Варнавский В.С., Флавианов В.М., Голева Н.Ф.
Конечно-элементное моделирование напряженно-деформированного состояния несущей системы деревянного здания .…………………………………………………..
7
7
12
34
40
54
54
65
65
75
86
97
97
105
116
116
5
CONTENT |
|
STRUCTURAL MECHANICS AND STRENGTH OF THE MATERIALS……………. |
7 |
M. N. Kirsanov |
|
Formulas for calculation of the arch truss ………………………………………………… |
7 |
N.V. Osadchenko |
|
Analytical solutions of problems on deflection of planar trusses of arch type …………….. |
12 |
A.A. Treshchev |
|
Defining relation for isotopic materials the mechanical characteristics of which depend |
|
on the kind of stress state ……………………………………………………………………. |
34 |
A.N. Sinozersky, А.V.Rezunov, R.А. Mukhtarov |
|
Basic and destructive efforts of eccentrically compressed prisms from fine-grained concrete |
|
at eccentricity inside core section …………………………………………………………… |
40 |
CALCULATION AND DESIGN OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES |
54 |
V.S. Safronov, D.T. Chan |
|
Reliability of reconstructed industrial building load –bearing framework at its line |
|
of business change…………………………………………………………………………… |
54 |
CALCULATION AND DESIGN OF METAL STRUTURES |
65 |
A.S. Orlov, E.G. Rubtsova, A.S. Scheglov, S.Yu. Zibrov, I.Yu. Zibrova |
|
Development of welding technology during metal ware of XIX century restoration ………. |
65 |
A.A. Sventikov, D.N. Kuznetsov |
|
Analysis of stiffening bar influence on rib local stability and stability of steel frame of dou- |
|
bletee variable by height cross-section …………………………………………………. |
75 |
S.N. Kolodezhnov |
|
Development of conception of communication mast heightening ……………………………. |
86 |
CALCULATION AND DESIGN OF BUILDINGS AND STRUCTURES BASES |
|
AND FOUNDATIONS …………………………………………………………………….. |
97 |
A.N. Averin |
|
Multiparameter string models of elastic base ………………………………………………. |
97 |
A.S. Gorbachev, V.V. Ledenev |
|
Design of treatment facilities buried storage tank together with construction of the «slurry |
|
wall» by finite elements method ……………………………………………………………. |
105 |
CALCULATION AND DESIGN OF POLYMERIC STRUCTURES |
116 |
G.E. Gabrielyan, V.S. Varnavsky , V.M. Flavianov, N.F. Goleva |
|
Finite element modulation of deflected mode of wood building load bearing system…….. |
116 |
6
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
УДК 624.04
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОГИБА АРОЧНОЙ ФЕРМЫ
М.Н. Кирсанов1
Национальный исследовательский университет "МЭИ" Россия, г. Москва
1Д-р физ.-мат. наук, проф., тел.: +7(495)362-73-14; e-mail: c216@ya.ru
В системе символьной математики Maple построена математическая модель деформирования плоской статически определимой арочной фермы. Рассмотрено действие нагрузки, равномерно распределенной по узлам нижнего пояса. Методом индукции на основе решения рекуррентных уравнений выведены формулы зависимости прогиба фермы от размеров и числа панелей и выражения для реакций опор и усилий в стержнях середины пролета. Использована формула Максвелла - Мора. Найдена квадратичная асимптотика решения.
Ключевые слова: арочная ферма, прогиб, метод индукции, Maple, точное решение
FORMULAS FOR CALCULATION OF ARCH TRUSS DEFLECTION
M. N. Kirsanov1
National Research University "MPEI
Moscow, Russia
1Dr of Physics and Mathematics, professor, tel.: +7(495)3627314; e-mail: c216@ya.ru
In the system of symbolic mathematics Maple a mathematical model of deformation of a planar statically determinate arched truss is constructed. The effect of a load uniformly distributed over the nodes of the lower belt is considered. By induction method, based on the solution of recurrent equations, formulas are derived for the dependence of the deflection of the truss on the dimensions and number of panels and the expressions for the reactions of supports and forces in the rods of the middle of the span. The Maxwell-Mora formula is used. The quadratic asymptotics of the solution is found.
Keywords: arched truss, deflection, induction method, Maple, exact solution
Рассмотрим арочную статически определимую плоскую ферму (рис. 1). Решетка фермы крестообразная, пояса параллельны. Ставится задача получить аналитическую зависимость прогиба фермы от числа панелей. Принимается, что число m панелей в боковых (опорных) частях фермы равно числу панелей n в половине ее средней горизонтальной части, b=h. Нагрузка равномерно распределена по узлам нижнего пояса ригеля. Ферма внешне статически неопределима. Для определения реакций опор необходимо составить и решить систему уравнений равновесия для всех узлов конструкции.
_____________________
© Кирсанов М.Н., 2018
7
Всего в ферме
ns
8(n
Рис. 1. Ферма при n=m=5, k=3
m) стержней, включая четыре опорных стержня. Для опре-
деления аналитического выражения прогиба по формуле Максвелла - Мора необходимо вычислить усилия в стержнях в символьной форме. Решение системы уравнений равновесия узлов получается по программе [1], записанной в системе компьютерной математики Maple. Стержни и узлы нумеруются (рис. 2). Начало координат располагается в левой подвижной опоре.
Рис. 2. Нумерация узлов и стержней при n=m=3, k=2
Фрагмент программы ввода координат имеет вид:
>r:=2*m+2*n+1;
>for i to m do
y[i]:=(i-1)*b: y[i+m+2*n+1]:=m*b-(i-1)*b-b:
od:
>for i to 2*n+1 do y[i+m]:=m*b; od:
>for i to r do x[i]:=(i-1)*a: od:
>for i to r-2 do
>x[i+r]:=i*a: y[i+r]:=y[i+1]+h;
>od:
>x[2*r-1]:=x[r+1]/2: y[2*r-1]:=y[r+1]/2:
>x[2*r]:=x[r]-a/2: y[2*r]:=y[2*r-1]:
8
Направляющие косинусы усилий в системе уравнений равновесия узлов определяют-
ся по координатам узлов и длинам стержней. Решение в системе Maple дает аналитические выражения для усилий во всех стержнях. Для расчета прогиба используется формула Макс-
велла – Мора в виде
Обозначено:
S |
( P ) |
|
i |
||
|
— усилия
n 4
Si( P) Si(1)li / (EF ).
i 1
встержнях от заданной нагрузки,s
li
— длины стержней,
Si |
— усилия от единичной силы, приложенной к середине нижнего пояса, E — модуль |
(1) |
|
упругости, F — площадь сечения стержней. Считается, что жесткость EF всех стержней одинаковая.
Последовательный расчет прогиба для ферм с числом панелей k=1,2,..14 дает ряд коэффици-
ентов в формуле для прогиба:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A a |
3 |
C c |
3 |
D d |
3 |
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
k |
|
, |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k |
2 |
EF |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8h |
|
|
|
|
|||||
где |
c |
a |
2 |
h |
2 |
, |
d |
a |
2 |
4h |
2 |
. |
При поиске закономерности в последовательности коэффи- |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
циентов |
при |
a |
3 |
получены числа 9, 1276, 21011, 139910, 587917, 1868384, 4920631, |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
11320906, 23521745, 45129732,81221659, 138699086. |
Оператор |
rgf_findrecur пакета genfunc |
|||||||||||||||||||||||
системы Maple для этой последовательности (требуется четное число анализируемых чисел)
дает следующее линейное однородное рекуррентное уравнение седьмого порядка
A |
7 A |
21A |
35A |
35A |
21A |
7 A |
A |
. |
k |
k 1 |
k 2 |
k 3 |
k 4 |
k 5 |
k 6 |
k 7 |
|
Интересно заметить некоторую симметрию в закономерности образования средних
(без общего множителя 7) коэффициентов с чередующимися знаками этого уравнения: 1, 3, 5, 5, 3, 1. Оператор rsolve позволяет решить полученное рекуррентное уравнение. Решение имеет вид полинома шестого порядка по k
A (160k |
6 |
256k |
5 |
96k |
4 |
28k |
3 |
14k |
2 |
21k 6) / 3. |
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, коэффициент Ck |
удовлетворяет уравнению |
Ck |
|
5Ck 1 10Ck 2 10Ck 3 5Ck 4 |
Ck 5 , |
также полученному оператором rgf_findrecur, и имеет вид |
|
||
C |
k |
4k (20k 3 28k 2 13k 2) / 3. |
|
Коэффициент Dk получается из решения уравнения Dk |
3Dk 1 3Dk 2 Dk 3 |
||
простой вид Dk k(2k 1). |
|
|
|
и имеет
9
Смотрите также:
| 05_Холера |
| 10.4. Исследование регистров |
| 1112 |
| 12 |
| 1285 |
| 1560 |
| 1568 |
| 1604248853606027 |
| 1673 |
| 17 |