Материал: Строительная механика и сопротивление материалов

здесь

В данной задаче относительный прогиб при возрастании n обнаруживает небольшой участок убывания, а затем растѐт монотонно.

Арочная ферма -образной формы с крестообразной решѐткой, нагруженная силой P в центральном узле нижнего пояса, была исследована в [32]. Ферма имеет по m панелей в боковых частях и 2n панелей в горизонтальной средней части (рис. 9).

Рис. 9. Ферма [32]: n = 5, m = 4

При проведении индукции по n авторы работы ограничились случаем m = 5, получив такую формулу для прогиба:

P

= −−−− ( An a3 + Cn c3 + Hn h3 ) / h2 , (6)

EF

где

Вэтой задаче относительный прогиб с ростом n убывает, обнаруживая колебания в зависимости от четности-нечѐтности n.

Вработе [33] рассмотрена внешне статически неопределимая ферма -образной формы с четырьмя опорами, имеющая по m панелей в боковых частях и 2n панелей в ригеле и нагруженная силой P в центральном узле нижнего пояса (рис. 10).

Рис. 10. Ферма [33]: n = 5, m = 4

При расчѐте прогиба индукцию авторы работы проводили по n, ограничились случаем m = 4. Решение вновь выражается формулой (6), но с такими коэффициентами:

Здесь относительный прогиб с ростом n возрастает; колебания в зависимости от четности-нечѐтности n также имеют место, причѐм они носят резкий характер.

Безраспорная арочная ферма -образной формы с крестообразной решѐткой, равномерно нагруженная по верхнему поясу, исследована в [34]. У этой фермы в нижнем поясе горизонтальной средней части имеется n панелей (причѐм n нечѐтно: n = 2k – 1), а в боковых частях – по m панелей (рис. 11).

Рис. 11. Ферма [34]: n = 9, m = 4

При проведении индукции (авторы работы ограничились случаем m = 4) было обнаружено, что для ферм с k, кратным 3, определитель матрицы G обращается в нуль, и в этих случаях ферма превращается в кинематически изменяемую систему.

Случаи вырождения матрицы G при некоторых значениях числа панелей имеют место и для ряда других плоских ферм (например, для балочной фермы с ромбической решѐткой и дополнительной подвижной опорой в центральном узле нижнего пояса, рассмотренной в статье [16], вырождение наступает при чѐтном числе панелей, а для решѐтчатой фермы с n панелями в половине пролѐта и шестью опорами, изучавшейся в статье [35], вырождение происходит, если остаток от деления n на 3 равен 0 или 1).

С целью исключить случаи вырождения индукция в [34] велась по параметру j, пробегавшему значения 1, 2, 3, ... и связанному с k формулой k = (6j – ( – 1) j – 3) / 4. Для про-

Поведение относительного прогиба при возрастании k обнаруживает значительные колебания. Фактически точки графика, соответствующие нечѐтным и чѐтным значениям j, ложатся на две различные плавные кривые; при этом кривая, отвечающая нечѐтным j, соответствует монотонной возрастающей функции, а кривая, отвечающая чѐтным j , располагается выше первой кривой и соответствует такой функции, которая первоначально убывает, а с дальнейшим увеличением j растѐт.

В работе [36] выполнен анализ фермы арочного типа с крестообразной решѐткой в горизонтальной средней части, содержащей 2n панелей, и треугольной решѐткой в боковых частях, каждая из которых содержит m панелей. Нижний пояс фермы закреплѐн на вертикальных вантах, соединяющих его с затяжкой (при расчѐте ванты и стержни затяжки моделируются стержнями той же жѐсткости, что и стержни в решѐтках). К затяжке приложена распределѐнная нагрузка (рис. 12).

21

Рис. 12. Ферма [36]: n = 3, m = 4

Автор работы провѐл индукцию по n, ограничившись сначала случаем m = 4. Полученная для прогиба формула совпала с (6); коэффициенты оказались такими:

An = (120n4 + (30–96(–1)n ) n3 – (3–27(–1)n ) n2 + (1743+513(–1)n ) n + 2196 + 108(–1)n ) /288 ,

Относительный прогиб в этой задаче при увеличении n растѐт по линейному закону, обнаруживая небольшие колебания в зависимости от четности-нечѐтности n.

Был рассмотрен также случай m = 3. Результаты оказались аналогичными, а коэффициенты в (6) имели вид:

Задача о прогибе безраспорной арочной фермы с раскосной решѐткой в горизонтальной средней части, содержащей 2n панелей, и треугольной решѐткой в боковых частях, каждая из которых содержит m панелей, была рассмотрена в [37]. Ферма нагружена силой P в центральном узле нижнего пояса (рис. 13).

Рис. 13. Ферма [37]: n = 4, m = 3

Сначала автор работы провѐл индукцию по параметру n , придав m фиксированное значение m = 3. Для прогиба в нагруженном узле была получена следующая формула:

P

= −−−− ( An a3 + Cn c3 + Hn h3 + Gn g3 + B ) / h2 , (8)

EF

где

Относительный прогиб в данной задаче с увеличением n монотонно растѐт.

Затем были рассмотрены ещѐ два случая. При m = 2 получились такие коэффициенты:

22

Общего решения для прогиба, справедливого для произвольных m и n, и в этой работе найдено не было.

Двухпараметрическая индукция

Найти общие формулы для прогиба ферм арочного типа в задачах с двумя натуральными параметрами удалось в тех работах (появившихся в том же 2017 году), где была применена двухпараметрическая индукция. Такая индукция включает два этапа. На первом индукцию проводят по одному из параметров при фиксированном значении другого, получая частное решение задачи. Данный этап повторяют несколько раз, последовательно увеличивая значение фиксированного параметра, после чего по серии полученных частных решений выполняют индукцию по этому второму параметру, находя искомое общее решение.

Отметим, что впервые двухпараметрическая индукция такого типа с привлечением системы Maple была применена М.Н. Кирсановым в 2015 году при вычислении одного из коэффициентов формулы для прогиба в центральном узле фермы прямоугольного пространственного покрытия [38].

В работе [39] двухпараметрическая индукция проведена при расчѐте безраспорной арочной фермы с треугольной решѐткой, имеющей по m панелей в боковых частях и 2n панелей в нижнем поясе горизонтальной средней части. Ферма нагружена одной силой P в центральном узле нижнего пояса; прогиб в этом узле и подлежал вычислению (рис. 14).

Рис. 14. Ферма [39]: n = 1, m = 3

При вычислении прогиба первоначально значение m фиксировалось, а индукция проводилась по параметру n. Обобщение полученных частных решений позволило при последующей индукции по m прийти к следующей общей формуле:

Относительный прогиб в данной задаче с увеличением n монотонно убывает. Аналогичная безраспорная арочная ферма исследована и в [40], но здесь решѐтка в

горизонтальной средней части – крестообразная с центральной стойкой; ферма равномерно нагружена по верхнему поясу (рис. 15).

23

Рис. 15. Ферма [40]: n = 3, m = 4

Найденное двухпараметрической индукцией общее решение для прогиба имеет вид:

+ 5m4 + m2 – 3m + 3 (1 – (–1)n ) /2 + 3 (–1)n m) / 12 .

При увеличении n относительный прогиб в данной задаче сначала убывает, а затем монотонно растѐт по линейному закону. При увеличении же m относительный прогиб растѐт по кубическому закону.

Ферма похожего вида (но уже арочная в собственном значении этого слова) была исследована в работе [41]. Первоначально был рассмотрен случай, когда ферма нагружена одной силой P, приложенной в центральном узле нижнего пояса (рис. 16).

Рис. 16. Ферма [41]: n = 3, m = 2

Общее решение для прогиба, найденное двухпараметрической индукцией, в этой задаче также даѐтся формулой (10), но коэффициенты получились такими:

Примечательно, что в этой задаче при стремлении n к бесконечности значение относительного прогиба стремится к конечному пределу; к конечному пределу (уже другому) оно стремится также, если, зафиксировав n, устремить к бесконечности параметр m.

Был рассмотрен также случай, когда данная ферма равномерно нагружена по верхнему поясу; однако в этом случае анализ удалось провести лишь для случая m = n. Коэффициенты в формуле (10) при этом оказались следующими:

В работе [42] был проведѐн анализ раскосной фермы арочного типа с равномерной нагрузкой по верхнему поясу. У данной фермы в верхней части каждой полуарки число па-

24