|
|
§ 6. МАРТИНГАЛЫ |
41 |
|
Я |
|
|
|
|
Е (Ul (а, Ъ ) < |
^ |
Е ((У„ - |
а)+) < ^ |
Е ((Хг - а)+]. |
Так как это неравенство выполняется для каждого п, то |
||||
Р ( sup |
\Xt\ > X ) ^ ± { E { \ X 0\ |
+ Е (\хт\)} |
||
llSQOlO.T] |
|
) |
К |
|
Е (f/* IQP'[0-T] (а, Ъ ))^ ^ - аЕ {(Хт - |
а)+). |
|||
Беря X и а<Ъ, пробегающие соответственно натуральные числа и пары рациопальных чисел, получаем утверждение теоремы.
Согласно теореме 6.8, если X = (X ,);GT — субмартингал относи
тельно потока |
|
|
то Х ( = |
lim Х г, { е Т , существует п.п., и не- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
rlt.r^Q |
^ |
|
|
|
|
|
|
трудно видеть, |
что |
отображение t -► Xt |
непрерывно |
справа |
и име |
||||||||
ет пределы слева. Кроме того, |
Х = (Х,) — субмартингал |
относитель |
|||||||||||
но |
Действительно, |
величина |
Xt |
согласована |
с |
|
= |
||||||
и так как для всякой |
последовательности е„ I 0 семейство |
{Х<+|!(1} |
|||||||||||
равномерно интегрируемо согласно теореме 6.7, то |
|
|
|
|
|||||||||
Е (Xt : В) = |
lira Е (Х ,+в|1 : В) < lira Е (Х ,+е„: В) = |
Е ( Х 5: В) |
|||||||||||
|
|
П~*эс |
|
|
|
Л—*оо |
|
|
|
|
|
||
для s > t |
и B^&~i. Аналогично, Е(Х г, |
В)^Е(Х,\ |
В) |
для |
всякого |
||||||||
B<^@~t и, следовательно, |
Х,£?Х, н. н. Резюмируем |
эти |
результаты |
||||||||||
в следующей теореме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
6.9. Пусть X = |
(X(),sT — субмартингал. Тогда |
X t = |
||||||||||
—■ lim |
Х г существует п.н. и X = |
(Х ,)*= т— субмартингал |
такой, |
||||||||||
rif.rS Q |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что отображение |
t |
X t непрерывно справа и имеет пределы слева |
|||||||||||
п. н, Кроме того, X, < |
Xt п. н. для всякого ( е Т . |
|
|
|
|
||||||||
Процесс Х - * ( Х () из этой теоремы называется непрерывной |
|||||||||||||
справа модификацией |
процесса Х — (Х,). Очевидно, |
Р[Х4= Х 4] = 1 |
|||||||||||
ДЛИ каждого I <"•Т |
тогда и только тогда, когда функция t ь* Е (Xt) |
||||||||||||
непрерывна справа. |
|
части этого параграфа мы рассматриваем только |
|||||||||||
II |
оставшейся |
||||||||||||
непрерывные справа мартингалы. Первая теорема легко вытекает |
|||||||||||||
из теоремы 6.2 и ее следствия. |
|
— непрерывный справа мар |
|||||||||||
Т е о р е м а |
6.10. Если |
Х = (Х() |
|||||||||||
тингал с Я(|Х(|Р)< ° ° , |
то для всякого Т > О |
|
|
|
|
||||||||
Р\ |
sup |
| Х ,| » Л < Я [| Х 7.|,’]Л Р |
|
(Р > И- |
(6.15) |
||||||||
[то,г] |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е Г sup |
|ХДг,| < ( р /( р - 1 ))" £ [| Х т |Р] |
(Р > 1 )- |
(6.16) |
|||||||||
|
ме[о,Л |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
42 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Следующая теорема является следствием теоремы 6.1. Для дока зательства надо приблизить момент остановки о моментами оста новки о„, как и в доказательстве предложения 5.4, затем применить теорему 6.1 к о„ и перейти к пределу при п -*■°° с использованием
теоремы 6.7. |
6.11. |
(Теорема |
о |
преобразовании свободного выбо |
|||
Т е о р е м а |
|||||||
ра.) Пусть Х = |
(Х,)(=Т— непрерывный справа субмартингал отно- |
||||||
сительнЪ |
(@~t) |
и |
(о()(е[о. о») — семейство ограниченных |
моментов |
|||
остановки |
со |
свойством Р[о< |
о,] = 1, если t < s. Пусть |
Xt ~Ха |
|||
= |
для |
/ е Т . Тогда |
X = (Xt) — субмартингал |
относи |
|||
тельно
Наконец, мы рассмотрим теорему Дуба — Мейера о разложении субмартингалов. В случае дискретного времени любой субмартин
гал X = (Х„) относительно (&~п |
может быть представлен в виде |
|||||||||
|
|
Хп- М „ + Ая, |
п = 0, |
1, 2, .... |
|
(6.17) |
||||
где М = (Мп) — мартингал относительно |
|
а Л = ( Л „ ) — возра |
||||||||
стающий |
процесс, согласованный |
с (^ „ ), |
т. е. Л„5£Л„+1 п. п., п = |
|||||||
= 0, 1, 2, . .. Процесс |
А = (Л„) |
можно |
выбрать предсказуемым |
|||||||
(т. е. А„ |
^ „ - i -измеримы, п = |
1, |
2, ...) |
с |
Л0 = 0 |
п. н., и при этих |
||||
условиях |
разложение |
(6.17) |
единственно. |
Действительно, процесс |
||||||
Л =(Л„) |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А0= |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
(6.18) |
|
Лп = |
Ап |
+ |
Е (Х„ — Х„_, | |
,,-]), п = |
1,2, . . |
||||
|
|
|||||||||
является предсказуемым возрастающим процессом и, очевидно, про цесс М —{Мп), где Мп—Х„ — А„, является мартингалом. Если име
ем два разложения Х„ = Мп + АИ= М„ + Ап, |
то |
разность |
Мп— |
||
— М п = Ап— Ап измерима относительно ^ „ - 1 |
и, |
следовательно, |
|||
Мп — Мя = |
h [Мп—■Мп| |
)i_ij = Mn-i — Мп—\. |
Гак как |
Мй— |
|
— М0 — Х 0 |
— Х 0 = 0, то имеем Мп— Мп = 0 для всех п, и тем са |
||||
мым доказана единственность такого разложения. |
|
|
|||
В случае непрерывного времени положение более сложное*). |
|||||
О п р е д е л е н и е 6.2. |
Интегрируемым возрастающим процессом |
||||
пазовом процесс А = (Л,) |
со следующими свойствами: |
|
|||
(I)Л (&~t) -согласован;
(II)Л0 = 0, отображение t — Л, непрерывно справа и возра
стающее**) п. н. (следовательно, Л , > 0 п. н.);
*) |
В последующем изложении мы фиксируем иоренл |
постное пространство |
(£2, :Т, |
Р) с потоком (В~t). Мартингалы, субмартингалы, |
согласованность, мо |
менты, остановки и т. п. рассматриваются относительно этого потока {B~t).
**) Говоря «возрастающий», мы имеем и виду возрастающий в широком смысле, т. е. «неубывающий». В противном случао пишем «строго возраста ющий».
|
|
g 6. МАРТИНГАЛЫ |
43 |
|
(III) |
E(At) < ° ° для всякого f e [0, °°). |
процесс |
||
О п р е д е л е н и е |
6.3. Интегрируемый возрастающий |
|||
A B=(At) |
пазывается натуральным, |
если для всякого ограниченного |
||
мартингала М = (М,) |
и каждого t е |
[0, оо) |
|
|
|
Е |
j м м * |
|
(6.19) |
|
|
.о |
|
|
Известно, что интегрируемый возрастающий процесс натурален тогда и только тогда, когда он предсказуем; см. [37]. Если инте
грируемый |
возрастающий процесс непрерывен |
(т. |
е. отображение |
|||||||||||||
t -*• At |
непрерывно |
п.н.), |
|
то |
он |
натурален. |
Действительно, |
|||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
i |
|
JI{м^ФМs_\dAs = |
0 п.я. и, |
следовательно, |
JМ<ААЛ= j Ms-dAs |
п.н. |
||||||||||||
о |
|
также, |
что |
соотношение |
(6.19) |
о |
|
о |
|
|
|
|||||
Заметим |
эквивалентно равенству |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Е (MtAt) = Е ^j Мш-dA,j |
|
|
(6.20) |
||||||||
для |
всякого |
ограниченного |
мартингала |
М = (Mt) . |
Действительно, |
|||||||||||
для |
разбиения |
А: 0 = t0 < tt < ... < tn = t |
|
мы |
определим Мл — |
|||||||||||
{M t) посредством |
равенства |
Mt = |
М ik+v t е |
(f.,, г,;.и ]. Тогда |
||||||||||||
|
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
к [ М М |
= |
S E [ M t(Ath - |
Л ;г_,)] = |
Z |
Е |
[ М |
^ - А , ^ ) ] ^ |
|||||||||
|
|
|
U—1 |
|
|
|
|
|
к^-л |
|
|
|
|
|
||
— Е |
MtdA, |
и, устремляя |
|Д| |
max Ни - |
|
О, получаем |
||||||||||
|
^о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е\ММ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
а > 0 обозначим |
через |
S„ |
множество |
всех |
моментов |
оста- |
|||||||||
иоаии Л 0 0 < Я П.Н. |
0.4. |
Будем |
говорить, |
что |
субмартингал |
X =» |
||||||||||
|
О и р о д е л о н к о |
|||||||||||||||
*-(А'|) принадлежит классу (DL), |
если для каждого а > 0 семейство |
|||||||||||||||
случайных величин (Х0: o e S ,) |
равномерно интегрируемо. |
|
||||||||||||||
по |
Киждый мартингал М — (Mt) принадлежит классу (DL), так как |
|||||||||||||||
тооремо |
о преобразовании |
свободного |
выбора |
(теорема 6.11) |
||||||||||||
|
|
|
f |
|M0|dP < |
|
j |
\Ma\dP, |
|
ffes„, |
|
||||||
|
|
(I<\>c) |
|
|
(lMo|>c) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sup P(|Af0| > c ) < |
sup E{\Ma\)/c^E (\Ma\)/c. |
|
||||||||||||
|
|
oeSa |
|
|
|
ossa |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, если субмартингал X = (Xt) |
представим в виде |
|
||||||||||||||
Xt = Mt + A„ |
(6.21) |
44 |
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
где М = (М,)— мартингал и А = (Л,) — интегрируемый возрастаю щий процесс, то X принадлежит классу (DL). Справедливо и об ратное утверждение.
Т е о р е м а 6.12. Если X = (Х () — субмартингал класса (DL), то он представим как сумма мартингала M = (Mt) и интегрируемого возрастающего процесса Л = ( Л , ) . Кроме того, А можно выбрать натуральным; при этом условии разложение субмартингала един ственно.
|
Эта теорема известна |
как |
теорема |
разложения |
Дуба — Мейера |
|||||||||
для субмартингалов. |
|
|
Сначала |
докажем, |
что |
разложение |
||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о * ) . |
|||||||||||||
(6.21) |
с натуральным |
А единственно. Действительно, если имеем |
||||||||||||
два |
|
таких |
разложения |
Х ( = Mt + At = Mt + |
At, |
то, |
так |
как |
||||||
At — Al = Mi — Mi — мартингал, для |
любого |
ограниченного |
мар |
|||||||||||
тингала mt будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Е |
|ms_d (As — А'я |
= |
lim Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
о |
|
|
|
141-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— (А‘ц — "Ч))| = °> |
||||
где |
А — разбиение |
0 = |
t0< t 1.< t 2< |
.. , < t n — t. |
Следовательно, |
сог |
||||||||
ласно |
(6.20) |
Е [то(Л(] == Е [н1 (Л(]. |
Если | — ограниченная случай |
|||||||||||
ная величина, то |
mt = E\\\i?'t] — ограниченный |
мартипгал, и по |
||||||||||||
этому |
Е [|Л,] = |
Е [т.(Л,| = |
Е [яг,Л,] = Е [£Л,]. |
|
Следовательно, |
|||||||||
a t = Л, п. н. и, таким |
образом, в силу непрерывности справа про |
|||||||||||||
цессов Л и Л', Л, = |
А, |
для всех t п. н. |
|
|
|
из класса |
(DL) |
|||||||
|
Далее мы |
покажем, |
что субмартипгал X = (Xf) |
|||||||||||
имеет разложение |
(6.21) |
с |
патуральпым Л. |
Учитывая результат |
||||||||||
о единственности, достаточно доказать существование разложения
(6.21) |
на интервале f0, а] для всякого а > 0. Положим Yf — Xf — |
|||||||||
— E[Xa\&~t\ |
t е [0, |
|
а]. Тогда Yt — неположительный |
субмартингал |
||||||
на [0, |
а] с |
Ya —0 п. н. Для всякого |
п = 1, 2, |
... пусть |
Д„ — разбие- |
|||||
пие 0 = t<M) < |
t[n |
< |
. ■■< « $ = а |
отрезка |
[0, а], задаваемое |
по |
||||
средством <;П> = |
jal2” . |
Определим возрастающий процесс с дискрет |
||||||||
ным временем Л(/">, |
i s |
Д„, следующим образом: |
|
|
||||||
|
|
|
ft—1 |
|
|
|
|
|
||
Л е м м а |
6.1. |
Семейство {Л(ап), |
п = 1, 2, |
. ..) равномерно |
инте |
|||||
грируемо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) Здесь мы следуем доказательству Рио [147] в той форме, как это изло жено в работе Куниты [98].
§ 6. МАРТИНГАЛЫ |
45 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть число с > 0 фиксировано и
|
|
|
|
|
<т<"> |
I |
inf jf!- ,; |
|
> с|, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
la, |
if{ } = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда o4n) <= S „. Так |
как |
Y, = |
— Е [Л ^0 1 |
t] + А\п\ |
t е |
Д„, |
то по |
||||||||||||||
теореме |
о |
|
преобразовании |
свободного |
выбора |
F a(»i>= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
= |
— Е |Л(„П>| |
|
|
-i- Л^>. |
Следовательно, |
заметив, |
что |
А{^1,) ^ |
с, |
||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е [Л(в”>: А(„и) > |
с] = |
- |
|
Е [F a<n): o(cn> < а ] |
+ |
Е [Л^>,: а'"> < |
а] |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
- |
Е [Уа<н): Ос0 < |
а] + |
сР [ст^() < |
а]. |
|||||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- |
Е [У0<„>: о $ < |
aj = |
Е [Л'7'» - |
А |
: <#> < а | > |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
> Е \А‘Г |
- |
Л$,>: а''0 < а | > (с/2) Р [о(сп) < |
а]. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
С / 2 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Е [Л<Г>: А™ > |
|
с] < |
- |
Е |
|
: о('° < |
aj - |
2Е |У ^ ,: а{%< |
aj. |
' |
||||||||||
Согласно |
предположению |
семейство {Х0, о е S„) |
равномерно |
инте |
|||||||||||||||||
грируемо, |
и поэтому семейство |
{У„, |
|
|
также равномерно инте |
||||||||||||||||
грируемо. |
|
Так |
|
|
как |
^ (ас1’ < a) = |
Р (Л1,п) > |
с) ^ |
£ (Л^'^/с ^ |
||||||||||||
*£. — E(Y0 /c-+- 0 |
|
при |
c t 00, то |
можно |
заключить, |
|
что |
семейство |
|||||||||||||
|Л<„") : п -• 1, 2, . . . } |
равномерно интегрируемо. |
|
Из |
равномерпой |
|||||||||||||||||
|
Теперь вернемся к исходному доказательству. |
||||||||||||||||||||
интегрируемости |
|
семейства |
|
|
о = |
1, 2, ...I следует, |
что опо |
от |
|||||||||||||
носительно компактно в слабой топологии a(2\, |
5?J) |
пространства |
|||||||||||||||||||
2*, (У). Так |
что |
найдется подпоследовательность |
nh |
I = |
1, 2, ..., и |
||||||||||||||||
Лаы1£ i(fl) |
с |
Л^'й -*~Аа |
в |
a (2 ’i, |
S’co). |
Определим Л, равен-' |
|||||||||||||||
с/гном*) |
At = Yt+ Е[Ла|2"(], |
<<г[0, |
а]. |
Так как и ЛО')->Л, |
|||||||||||||||||
в |
0(2*1, |
2*„) |
для |
всякого |
( е |
U Д», |
то |
очевидно, |
что |
t |
— Л, — |
||||||||||
возрастающая |
функция. |
|
|
|
П |
X, = Е\Ха— Aa\&~t] + A,, то |
|||||||||||||||
Поскольку |
|||||||||||||||||||||
остается |
только |
доказать |
натуральность |
Л=(Л<). |
Если |
mf — |
|||||||||||||||
*) Порется непрерывная справа модификация процесса Е[Аа\Т(].