|
|
|
§ 9. ТОЧЕЧНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
|
|
|
|
51 |
||||
§ 9. Точечные процессы и пуассоновские точечные процессы |
|
|||||||||||
Пусть (X, Л?х) — |
измеримое пространство. Под точечной функ |
|||||||||||
цией р |
на X |
подразумевается отображение р: Dp <= (0, °°) |
X, |
где |
||||||||
область |
Dp — счетное |
подмножество |
из (0, |
°°). |
Точечная |
функ |
||||||
ция р определяет на*) |
(О, ° ° ) Х Х считающую меру Np(dtdx) |
по |
||||||||||
средством соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Np((0, t]xU) = # { s e |
Dp; s < i , |
p(s) e U}, |
f > 0 , |
|
(9.1) |
|||||||
Точечный процесс получается рандомизацией понятия точечных |
||||||||||||
функций. Пусть Пх — |
совокупность |
точечных функций на X |
и |
|||||||||
Ив(11х) — наименьшее |
о-поле па Их. |
относительно которого |
изме |
|||||||||
римы все отображения |
p<-*Np((0. t] X U), i > 0 . |
U ^ $x- |
(1IX, |
|||||||||
О п р е д е л е н и е |
9.1. |
Точечный |
процесс |
p |
на X |
есть |
||||||
$ (Пх))-измеримая случайная велнчипа, т. |
е. 2F / & (Пх) -измери |
|||||||||||
мое отображение Р- |
О — Пх, определенное на вероятностпом прост |
|||||||||||
ранстве |
(Q, |
Р). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точечный процесс р называется стационарным, если для вся |
||||||||||||
кого t > 0 р |
и 0,р имеют один и тот же вероятностный |
закон, |
где |
|||||||||
l>otp = {s е (0, оо): s + |
i е |
Dp} |
и |
(0(р) (s) = p(s + t). |
Точечный |
|||||||
процесс р называется пуассоновским., если NP(dtdx)— нуассоповская случайная мера на (0, °°)Х Х . Пуассоновский точечный про цесс стационарен тогда и только тогда, когда мера интенсивности
пР(dt dx) = Е (Nр (dt dx)) имеет вид
|
|
np(dt dx) = dtn(dx) |
|
(9.2) |
|
для некоторой |
меры n(dx) |
па (X, $х)- |
Мера n(dx) |
называется |
|
характеристической мерой для р. Если |
задана мера |
n(dx) па |
|||
(X, ЗИ\). |
то |
р является |
стационарным |
пуассоновским |
точечным |
процессом с характеристической мерой п в том и только в том
случае, если |
для всяких |
0, |
непересекающихся 2/х, U2, ... |
||||
..., Uше |
$ х |
и Ki > |
0 |
|
|
|
|
К (o x Р | - |
£ |
Х,ЛГ,, ( (в ,«] х ( /,) |
| |«Т I у,, ((0, *' I х U); s' < в, U е= # х ] |
|
|||
|
|
|
|
[ |
т |
|
|
|
|
|
|
|
(t — s) 2 (e~Xi — l) n (Ui) |
H . |
H . |
Т е о р о м а |
9.1. |
Для заданной |
i=l |
(X, $ х) |
|||
a-конечной меры п па |
|||||||
найдется стационарный пуассоновский точечный процесс |
на X |
с |
|||||
характеристической мерой п. |
|
|
|
|
|||
Следующая конструкция, в сущности, совпадает с той, которая дина в теореме 8.1. Действительно, р можно идентифицировать с пуассоновской случайной мерой на (0, °°)Х X с мерой интен сивности dln(dx).
•) Мы наделяем (0, оо) X X произведением о-полей & ((0, оо))Х^х -
4*
52 |
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть Uk |
/г=1, |
2, . . нс пересекаются, |
n(Uh <°o и |
||||
х = иг/». Пусть г |
к, г = |
1,2, . . — случайные |
величины со зпа- |
||||
чениями в Uk с Р |
dx) |
= |
„00 |
А, г = |
1, 2, |
|
|
п {dx)jn (Uh), а т1/ |
|
||||||
такие неотрицательные случайные величипы, что |
Р |
> |
t) = |
||||
= exp [— tn (£/;,)|для |
0. |
Потребуем, чтобы |(/ !\ |
т-Ь) |
|
были |
неза |
|
висимы в совокупности. После построения таких случайных вели
чии на вероятностном пространстве (£2, У, Р) |
мы полагаем*) |
||||||
Dp = U |
т<"> + |
т<"\ . . . , |
т(/° + |
т?> + |
. .. + |
. .. ) |
|
И |
|
|
00 |
|
|
|
|
Р{ Т(/° + |
т!/>+ .. . |
+ т (« ) = |
к, т = 1, |
2, . |
|||
|'m 9 |
|||||||
Легко видеть, что так определенный точечный процесс удовлетво ряет условиям теоремы.
*) Легко видеть, что это — объединение п. н. непересекающихся множеств.
Г Л А В А II
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО
§ 1. Итонское определение стохастического интеграла
Пусть (Q, ЗГ, Р) — полное вероятностное пространство с непре рывным справа возрастающим семейством ( S t ) ^ под-о-полей из
У, каждое из которых содержит все P-нулевые множества. Пусть
В= (B(t))i>0 — одномерное (Si) -броуновское движение (см. опре
деление 1-7.2). Так как |
функция f <-*•B(t) |
нигде не дифферен |
цируема с вероятностью |
единица, то интеграл |
^ f(s)dB(s) нельзя |
определить обычным путем. Однако, используя стохастическую природу броуновского движения, мы можем определить интеграл для обширного класса функций. Такое определение интеграла впервые дал К. Ито [62], и теперь он носит назвапие стохастиче ского интеграла Ито.
О п р е д е л е н и е |
1.1. |
Пусть |
|
S 2— пространство |
всех |
действи |
||||||||||
тельных |
измеримых |
процессов |
|
Ф = |
{Ф(£, |
(o)}iSs0 |
па Q, |
которое |
||||||||
согласовано*) с |
( S t), |
и для всякого 7’ > 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1Ф!3,Т |
= Е |
[ Ф2 (s, со) ds |
< |
°о. |
|
|
(1.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.о |
|
|
J |
|
|
|
|
|
Мы отождествляем Ф и Ф' в Si, |
если 11ф —Ф'И2 г = 0 для всякого |
|||||||||||||||
Т > 0, и в |
этом |
|
случае |
пишем |
Ф = Ф'. Для |
Ф s S ’j мы полагаем |
||||||||||
|
|
|
|
|
\\Ф1> = |
£ |
2~п(1!Ф1|,,„Д1). |
|
|
|
(1.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
11ф —Ф'И2 |
определяет |
метрику |
в |
S 2, |
более |
того, S 2 |
|||||||||
полно в этой метрике. |
|
|
всякого |
Ф <=S2 найдется такой |
пред |
|||||||||||
З а м е ч а н и е |
1.1. Для |
|||||||||||||||
сказуемый**) |
процесс |
Ф' ^ S 2, что Ф = Ф'. Например, |
можно |
|||||||||||||
паять***) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф' (f, to) = |
lim 4 - |
\ Ф (s, со) ds. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
";о |
п , |
|
|
|
|
|
|
|
*) |
См. главу |
I, |
§ 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•*) См. определение 1-5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
4.6 в [121], |
||||||||
••*) Чтобы доказать это строго, нужно обратиться к теореме |
||||||||||||||||
Г. IM, гяримтируи |
существование у Ф |
прогрессивно |
измеримой (относительно |
|||||||||||||
(^i)) модификации.
54 |
|
ГЛ. XI. СТОХАСТИЧЕСКИ Г. ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО |
|
||||||||
Таким |
образом, без |
ограничения |
общности |
можпо |
считать, |
что |
|||||
Ф е |
— предсказуемый процесс. |
|
|
|
|
||||||
О п р е д е л е н и е |
1.2. Пусть i ? 0 — подмножество действительных |
||||||||||
процессов |
Ф = {Ф(£, |
с |
о |
с |
о |
следующим |
свойством: существу |
||||
ют последовательность |
действительных чисел |
0 = t0 < |
< ... < tn< |
||||||||
< . . . - * |
°° и такая последовательность случайных величин {Д (о>)}?10, |
||||||||||
что fi |
iF,. -измерима, |
sop ||/; |
< |
оо и |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|/о (©), |
если |
t = |
О, |
|
|
|
|||
|
f,tt> ~ 1 / i N , |
если |
t<=(th ti+l], |
i = 0, |
1, . . . |
|
|||||
Очевидно, |
что такой процесс |
Ф может быть |
записан в виде |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
Ф({, со) = |
/ 0 (со) |
|
{i) + |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
г—О |
|
|
|
Л е м м а |
1.1. i ? 0 |
плотно в 3?г относительно метрики II-Иг. |
со) = |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
Ф е З ’г положим |
Фг1Г(^, |
||||||||
= Ф(£, |
© )/[-*, м](Ф(*, |
со)). |
Тогда |
|
и 11Ф — Ф^На -► 0 |
при |
|||||
М -*- оо. Поэтому достаточно показать, что для любого ограничен
ного |
процесса |
|
Ф е ^ |
можно найти |
Ф ^ е ^ , |
н = |
1, |
2, ..., такие, |
|||||||
что |
IIФ — Фп12 -*■ 0 при |
п -*■ оо. Пусть |
Ф = (Ф е i? 2: Ф — ограничен |
||||||||||||
ный |
процесс |
и |
существуют |
Ф „ е ^ 0 |
с 1,Ф—Фи112->0 при |
п |
°°), |
||||||||
Ф — линейное |
|
пространство, |
и |
легко |
видеть, |
что |
если |
Ф „s |
Ф, |
||||||
|ф„|<М |
для |
некоторой |
константы |
М > 0 и |
Ф„ IФ , |
то |
Ф s ф. |
||||||||
Предположим, |
что Ф — непрерывный слева ограниченный |
(F"i)-со |
|||||||||||||
гласованный процесс. Тогда, если мы положим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|Ф(0, со), |
|
* = |
<), |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ф » (*, ®) = ( ф(к/2“, со), |
i е |
(*/2п, (к + 1)/2п], |
А = |
0, 1, .. |
|
||||||||||
то яспо, |
что |
Ф . е й ’ц и |
ИФ„ — ф112-*• 0 при |
|
по |
теореме |
об |
||||||||
ограпиченпой сходимости. Теперь, но предложению 1-5.1, можно заключить, что Ф содержит все (STt)-предсказуемые ограниченные процессы. Согласно замечанию 1.1 Ф содержит все ограниченные процессы Ф ^ 3 ’2-
З а м е ч а н и е 1.2. Прямое доказательство этой теоремы можно
панти в [43], с. 440—441. |
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е |
1.3. Пусть Л 2= (X = (Х,)1>0: X — квадратич |
||||||
но интегрируемый мартингал*) на (О, ^F, |
Р) |
относительно |
|||||
(^”i)i>o |
и Х 0 = 0 п. нЛ, |
Ж\ = {Х^Л<р. t^ *X |
непрерывно п. нЛ. |
||||
Мы |
отождествляем |
процессы |
X, |
X' е Л, |
если |
отображения |
|
t >-*•X t |
и t ^ X t совпадают п. н. |
|
|
|
|
||
О п р е д е л е н и е |
1.4. Для X е Л г обозначим |
|
|
||||
|
|
1Х|т = д [ * Н |
1/2, |
Г > 0 , |
|
(1.3) |
|
*) Всегда предполагается, что функция t |
непрерывна справа п. н. |
|
|
|
|
|
|
§ 1. ИТОВСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ |
|
|
|
|
55 |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Х\= 2 |
2~,! (|Х|„Д1). |
|
|
|
|
(1.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г?—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что так как X — мартингал, то |
|*|< |
не убывает по t. |
|
|||||||||||||||||
Л е м м а |
|
1.2. Пространство |
|
— полное |
метрическое |
простран |
||||||||||||||
ство относительно метрики |
|
— Y | |
X, |
У |
е |
/ 2, а Мг — замкну |
||||||||||||||
тое подпространство пространства М г. |
|
|
|
если |
|X — Y \— О, |
|||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Заметим |
сначала, что |
||||||||||||||||||
то X = |
Y. Действительно, |
\ X - Y \ = 0 |
влечет за собой, что Х„ — У„ |
|||||||||||||||||
и. н., |
п = 1, |
2, |
..., и |
поэтому |
X, = |
Е[ХЖ<] = Д[У„|^(] = У, |
для |
|||||||||||||
i ^ п. Так как отображения |
t *-+ X t |
и t >-*■У< |
непрерывны справа, |
|||||||||||||||||
то мы заключаем, что X = У. |
|
|
Колмогорова — Дуба |
д.ля мартин |
||||||||||||||||
Далее, |
согласно неравенству |
|||||||||||||||||||
галов *), для всяких Т > 0 и С > 0 будем иметь |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
если |
только |
|
Х ("\ п — 1, |
2, |
...,— последовательность |
Коши. Следо |
||||||||||||||
вательно, найдется процесс X = (Xt) такой, что |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|Х$Я) — Х,|->-0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
О«КГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПО вероятности при Я |
ООдля всякого Т > |
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Очевидно, |
для всякого t > |
0 |
Е [ |Х[п |
— X t|2] ->■ 0 |
при |
п -*■ |
||||||||||||||
и отсюда мы заключаем, что |
Х ^ Л 2 и |
|Х(,,)— X j-v O |
при |
п-*- 0. |
||||||||||||||||
Наконец, |
из |
этого |
доказательства |
также |
очевидно, |
что |
|
если |
||||||||||||
Х{п\ е Л1, |
то |
X е ^#2 - |
|
|
|
|
стохастического |
интеграла по |
||||||||||||
Займемся |
теперь |
определением |
||||||||||||||||||
(,Ф“|)-броуновскому движепию, как некоторого отображения |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ф € |
|
|
^ (Ф) £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(’ нтоЙ |
целью |
предположим, |
что |
задано |
(.'¥'1 ) -броуновское |
движе |
||||||||||||||
ние 1Ц1) lie |
|
(U, йГ, Р), Коли |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(1, (а) — /0(<о) l(i^0}(t) + |
2 |
/t(®)^(i1,ii+1] (*)> |
|
|
|
|||||||||||
то мы полагаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
/ (Ф)(С со) - |
|
2 |
А И |
(# (*1+1 , со) — B(ti, со)) + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 -0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-г /п («>)(# (А со) — B(tn, со)) |
(1.5) |
||||||||
ДЛЯ I» |
t *Ztn+i, п = 0, 1, 2, ... Очевидно, что 7(Ф) можно записать |
|||||||||||||||||||
*) Теорема 1-6.10.