Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

46

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

ограниченный мартингал, то

2п - 1

— 1

* 1тЛ")] - Л

£ Ь

Г

« , -

Щ

-

,1. Т

Ш

ч г Щ

2?г—1

2 п - 1

— 2

Е \mxn) (Y <„)

У

;J

2

Е\тхп) (А ы)

— Л („Л!.

h= о

L

‘ft

\

*й +1

(ft

й=о

L

\

*ft+l

*ft /]

Устремляя n

oo, получаем

£ [тиаЛа] =

£

7И.

о

Заменяя т = ( т в

на

m = {inIAs)

для каждого

£ е[0 ,

а],

нетрудно

заключить, что

Е [mtAt] = Е

ms_dAf

о

Таким образом, процесс А =(Л,) натурален.

О п р е д е л е н и е

6.5.

Субмартингал

Х = (Х() называется регу­

лярным, если для всякого я > 0

и o „ e S ,

с олто

имеем

Т е о р е м а

6.13.

Пусть

X = (Х<) — субмартингал

класса

(DL)

и A —{At) — натуральный

интегрируемый

возрастающий

процесс

в разложении

(6.21).

Тогда процесс А непрерывен в том и только

в том случае, когда X — регулярный субмартингал.

очевид­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если процесс А непрерывен, то,

но, субмартипгал X регулярен. Действительно, любой мартингал X

регулярен, так

как

Е (Ха = Е (Ха)

для

всякого

a e S „

Обратно,

предположим, что субмартингал X = (Х()

регулярен. Тогда

процесс

А={ЛЛ

регулярен, и нетрудно видеть,

что

если

a„ t a, о„ е

S„, то

тогда А0п| Аа.

Определим

последовательность разбиений Д„

отрез­

ка [0, а], как и в доказательстве теоремы 6.12. Положим для

с > 0

Ant =

Е

с|^«|,

t = (#\

Так как

А1} — мартингал

па интервале

(f(hn), ffc+i],

то легко ви-

деть, что

' t

'

t

Е

J А?М,

=

Е

fA^dAs

для

всякого

£ е= [О, а].

(6.22)

-0

0

§ 7. БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

47

в >

0 определим

inf U

s [0, я]; Л " — Л(Д с > е } ,

0>,,е ~

я,

если

{

} =

0 .

Так как

Л’(; =

Л0Д с

для

любого

п,

то из

с п

г = а

следует,

что

Л? — Л , Д с < е

для

всех

t е= [0,

я].

П усть

<p„(f)

определяется

п о­

средством

равенства

Ф„ U) =

Для

t s

Тогда

a„. e и

<р„(о„. „)

принадлежат

S„. Т ак как

Л,

убы вает

по

п,

то

о„. е возра­

стает

по

п. П усть

о £ = lim

о п е. Тогда

o Ee S 0

и

П т <р„ (о „,е) == аг.

п->лс

41*оо

Согласно

теореме

о

преобразовании

свободного

выбора *)’

Е [ А с.гё]

= ^ [Л д -^ ^ .^ Д с ]

и, следовательно,

7? [A >n(Hn,e) А с

^ ап,е А с ]

=

Е [ Л0)1 е

^ a;iiE А с] >

e/J (°>ье <

Е).

Л егко

видеть, что,

в

силу

регулярности

Л ,,

выраж ение

в левой

стороне

стремится

к

нулю

при

П оэтому

П т Р (a „ie< ; я) = О

Ь-*ЭО

и

отсюда

lim Р I sup

|А " — Л, Д с |>

е\ =

0.

Отсюда следует, что

п - * х

U S lO .n ]

/

найдется такая

подпоследовательность nt, что

sup IЛ и — Л ,Д с | - * - 0

при

I —*■оо

ц. н.

i s t o . o ] 1

1

П оэтому,

согласно

(6 .2 2 ),

1

|(Л ; Д Д d A „

=

Е

f (Л5_ Д с) dAs

и, таким

образом.

0 — £

f (Л „Д с — A ,-/ \ c)d A t

> Е

-S {(Л.,дс) - ( Л 5_ д с)}*

u&<t

Отсюда, очевидно, следует, что функция

t

Л(Дс

непрерывна

11,11,1 елмдонателыт, в силу произвольности

с

функция

t

Л,

не-

tlpepwiiiiH

п, п

| 7. Броуновские движения

П усть

ф ункция

p (t, х ) ,

t > 0, х

е

Rii

определяется

равенством

p (t, x ) =

(2 n t)~ dn exp [— \xV/2t\

(7 .1)

в

X =

( X ,) js[0i и, — й-мерпый

непрерывный

процесс

такой,

что

для

*)

Поскольку

Д"

— мартингал на

(Д'Д

4 + \ ]’

то применение

теоремы о

преобразовании свободного выбора законно, если

стп е е ( Д " \

Затем

Явдо провести суммирование по всем к.

48

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

всяких 0 <

£i <

... <

tmи Е(е

(Rd) , i — 1, 2,

т,

Р [Xti ^

Ец Xt2^

Е2, • •., X tmе

£'m)|=

=

J р (dx)

j p (tx, xx— x) dxy

j p (f2 — tx, x2— xx) dx2 ...

Rd

E 1

E 2

••• J P (tm

tm—u Xm

l )^mi

(7.2)

Em

где fx — вероятность на (Rd, $ ( R d ).

что Х — (Х,) — d-мерный не­

Свойство (7.2)

равносильно

тому,

прерывный

процесс

такой, что

для

всяких

0 =

f„ <

i, < ... <

tm ве­

личины Xf

, Х[

t , X t — X t ,

. . . , Х , т

— .Х^

независимы в

сово-

купности,

Р (° =

р,

а

Р **

*‘- 1 — гауссовское

распределение с

плотностью p(ti — ti-1, х),

г =1 ,

2, .... т.

с

вышеприведенным

О п р е д е л е н и е

7.1.

Процесс

Х = (Х,)

р. Вероятностный закон Рх на

(Wd, $ (W d)) называется d-мерной

мерой Винера с начальным распределением

(или законом)

|х.

Таким образом, d-мерпая мера Винера Р с начальным

законом

|х — это вероятность на (Wd, &(Wd ), характеризуюхцаяся

тем,

что

P{w: w(ti)^Ei, W (U)^ E2, ...,

w(tm ^ E m}

задается

выражением

в правой части

(7.2).

вероятности

р на (Rd,

3}(W))

су­

Т е о р е м а

7.1. Для любой

Д о к а з а т е л ь с т в о . Единственность

меры очевидна. Докажем

ее существование. Рассмотрим сначала

случай с d = 1 и р = б0.

El

^2

Е{ | Z (0 -X (s )| 4} = 3 | t - s | 2, f > s > 0.

(7.3)

процесс X = (Х(£)), что для всякого

f e [ 0 , °°) X(t) = X(t) н. н.

Вероятностный закоп Р0 процесса X па

(W 1, ^ ( W 1)) является ме­

§ 7. БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

49

“■a: + X(f)

является мерой

Випера

с начальным закопом б*. Пусть

«■-(ж 1,

хг,

...,

i ') s R l\

Рассмотрим

одномерные

меры

Винера

Рхи i =

1, 2, .

. а. Произведение

мер

Рхi ® Pxt <8> •.. <8>Pxd на

W 1X W 1X . . . X W ‘ = W d обозначим

через

Рх. Нетрудно

проверяет­

ся, что

Рх— d-мерпая

мера

Винера

с

начальным законом

б*. Для

Всякой

вероятности

р на

(R ,

№

0 )

равенство

Рц (#) =

-= J Рх (В) р (dx)

определяет

d-мерную

меру Винера с

начальным

Rd

аакопом р.

пространстве

(Wd,

^ (W d),

Р„),

где Р„ —

На

вероятностном

Предположим теперь,

что

задано

вероятностное

пространство

( Q , ^ , Р ) С ПОТОКОМ

( Т ( ) l s [0, оо).

непрерывный

процесс

X =

О п р е д е л е н и е

7.2.

d-мерный

■=(X(/))fe[o, с») называется d-мерным

{&~t)-броуновским движением,

если он

(&~j)-согласован и удовлетворяет условию

Л’[ехр [t<|, Х ( — X e>]i£T,] =

exp [— (t — s) It 172]

п. н.

(7.4)

дли всякого

и

t.

не

зависит от

(и,

следова­

Из (7.4)

вытекает, что X, — X s

тельно, не зависит от о[Хи: и

s]) и что вероятностный закон раз­

ности X, ~ X s

является гауссовским

распределением

p(t — s,

x)dx.

'Гак что X удовлетворяет

(7.2) и поэтому является d-мерным броу­

новским

движением

в смысле

определения 7.1.

Обратно,

любое

d-мермое броуновское движение Х = (Х,)

является d-мерным

STt =

броуневским

движением

относительно

естественного

потока

— П <7|^ч:

+ е|.

с -«

Логин проверяйте»» справедливость следующего результата.

Т е о р е м

й

7.2.

Если

X •- |Х ,

( X j ,

Xf, . . . , Х ? ) | —

d-мерное

(9*t) броуновское движение, то при t > s >

О

Д ( Х ; - Х ] | ^ )

=

0

п. и.

(7.5)

и

Д ( ( Х { - Х * ) ( Х * - Х 0 | ^ . )

=

( * - * ) 6 у

и. к.

(7.6)

Таким образом,

если

i?(| Х„ |) <

оо,

то (X ))

для всякого г =

■= 1, 2,

...,

d

является

квадратично

интегрируемым

мартингалом

относительно

(@~t)

и

Х }Х ]— б

— мартингал относительно

i, 7 = 1,

2, ...,

d.

Мы увидим

в теореме

II-6.1,

что

эти

свойства