Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

38

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

неравенству

Иепсена

У = ( У „ )

с у п = (Хп —« ) +> » = 0,

1, 2, . . тоже является субмартингалом и

U% (а, Ъ =

(О, Ъ- а). Пусть т,,

т2, ... определены,

как

в

(6.8),

с замепой X, а и b на У, 0 и Ь — а соответственно. Положим

т„ =

= т „ДХ .

Тогда, если 2к> N, то

2/t

г * - Y . - a (F t, - i v

) -

П—I \ П

П—1/

- У

/1 - 1

) +

2 ( ]

2W + 1

- y

x' V

(6Л1)

-1/

и—о V

2п /

или равеп

(6 — а)

(О, b — а). Так как

У — субмартипгал, то и

E(Y '

\Xss Е (Y>

Поэтому,

беря математические ожидания

\ W l l

V 2п)

в (6.11), получаем (6.10).

Т е о р е м а

6.4. Если

X ■= (Х„)„е т — субмартингал с

s u p £ ( X + ) < ° o ,

(6.12)

то почти наверное существует Х х = lira Х п и случайная

величина

Хсс интегрируема*).

П-*оо

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку Е ( |Хп|) =

2E(X„ ) — Е (Хп) ^

<1 2Е (Х',1) — Е(Х0 ,

то,

согласно

(6.12), sup Е{ |Х „\) < оо. Поэто-

му, если

существует

«

X«, = lira Х„, то случайная величина Х^ ип-

тегрируема

по

лемме

ц -*оо

что

если мы

положим

Фату. Очевидно,

U* (a, b) =

lira UN (а, b),

то

N -* оо

(и;

lim (Хп (со)< lim Хп(to)] =

(J

{со; U^, (г, г') =

оо).

I

п - > ° °

J

r , r 'e Q , r < r '

Согласно теореме 6.3

Е (ий (г, г')) =

Ига Е (U% (г, г')) <

N~*oo

lira Е {(X JV — r)+ — (Х 0 — r )H

< —

JY->oo

Согласно (6.12) это выражение копечпо. Следовательно, Р

lim Хпс

< lim Хг

=

0, что и доказывает существование п.н. Н т Хп.

П~*ос

§ 6. МАРТИНГАЛЫ

39

Т е о р е м а

6.5.

Пусть X = (Хп)пет— субмартингал,

удовлетво­

ряющий

условию

(6.12),

и

пусть Х х =

lim Хп. Для

того

чтобы

71-»

ос

= (Хп)п<=т являлся субмартингалом,

т. е. Хп^ Е ( Х „1^”»)', и =

■= 0, 1,

2, ...,

необходимо

и

достаточно,

чтобы семейство |Xn }nsT

было равномерно интегрируемо*).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если Хп^ Е (X » \3Г„), п — 0, 1, 2, . . ., то по

неравенству

Иенсена Х£ ^

Е (Х^ |

п)

и,

следовательно,

Е(х£ ;

Х^ >■ К) ^

Е (Х<£; X t >• % . Кроме того,

Р (Х „ > % ) ^ . Е (Х„ )Д

^ £ ( Х » ) Д , и поэтому

очевидпо,

что

семейство

|X,|]nsT

равно­

мерно интегрируемо.

Обратно, если семейство

{Хп}п=т равномерно

интегрируемо,

то

сходимость почти наверное lim

X j = X ^

совпадает со сходимостью

в S’liQ). Аналогично, lim

71—»00

Хпу ( — а) = X co\J(— a) в смысле 2\(£2).

Так как

П-^оо

(X„\J(— а))„=Т — субмартипгал, то

7?(Х«,\/(— а)\ЗГ„)= lim Е (XmV (— а) I ^п) > X n\J(- а).

т-* оо

Устремляя a t ер, получаем Е{Хт\&"п) > Х п.

Т порам А

6.(1,

Для y « i ? 1(Q,

Р)

положим Xn —E(Y

и

п ta Т,

Тогда

X - ( .V„)

равномерно

интегрируемый

мартингал

lim Хп — х х

существует почти наверное и в 2 ’,(Q ). Более того,г

I» *И»1

Хоо =

Е {Y \9~oo),

(6.13)

где

ос =• У

п.

71

Так

как |Х„| ^

Е ( |Y 11 &~п), в е Т ,

то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

равномерная

интегрируемость

семейства

(Хп) получается,

как

и

в доказательстве теоремы 6.5. Кроме того,

(Х„) — мартингал, по­

скольку

E { X j T „ ) = E{E(Y\&'m Г^'„) = £Д7|5Г„) = Х„

для

тп>п.

Поэтому Хоо =

Н т Х „ в Й’ДЙ)

и процесс X = (X„)„^j- — мартингал.

Чтобы

7(—*О

(6.13),

рассмотрим

совокупность

<Р множеств

доказать

S s r

с Е (Х „ ;

B) = E(Y;

В).

Если

то

Я(У; В) =

— Е (Х„;

В) = Е(Х„\ В)

и,

следовательно,

Очевидно,

40

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим сейчас

мартингал с

«обратным» временем. Пусть

(Q, 2Г, Р ) — вероятностпое

пространство

и (&~„)п=о, -i, - 2__ — се­

мейство под-о-полей из

с

0 => ^ '_ 1

=5 & ~ -2

.. .X = (Хп) п- о, -i. - 2, •■•

ли

Х„ — интегрируемая,

^„-измеримая

случайная

величина

с Е(Хп\дгт = Хт (соответственно

S*) для », т е

(0, —1, —2, ...}

с п > т.

6.7. Пусть

X =

(Х„) „=0, - 1, - 2.... — субмартингал

с

Т е о р е м а

inf Я (X,, ) > - < » .

(0.14)

It

Тогда процессXравномерно интегрируем и Н т Х „ =

Х _ 00

существу-

ег почти наверное и в 2 ’i(Q).

П-* —зо

убывает

при

п 1 —°°, то

из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как Е(Хп)

(6.14) следует, что

при

п 1 —°°

существует

и

конечен предел

lim Е(Хц).

Пусть е > 0 и к таково, что

Е (Хп)—

lim

Е (Х „)< е .

П -*— оо

то

—оо

Тогда, если п ^ к ,

Д(|Х„|: |Х„|>Х) = Я(Х„: Х п> * )

+ Д ( Х „ : Х п >

-

X) -

Е (Х „)<

< Е ( Х к: Хп> Ц

+ Е ( Х к: Хп^ - к ) - Е ( Х к

+ е <

^ Е ( \ Х к\:\Хп\>%) + г.

Кроме того,

/»(| Х „| > Х )<

< 4 - ^ ( 1 Х » 1 ) = 4 - ( 2 ^ ( ^ ! ) - ^ ( Х „ ) ) < ^ - ( 2 £ ; ( Х 0+) -

lim Е(Хп ).

А

А

А

—оо

Отсюда легко следует равномерная интегрируемость семейства

(Х „).

Существование

Н т Хп н. н. доказывается, как

и в

теореме

6.4.

Рассмотрим

П-*—оо

случай

непрерывного

времени Т = [0,

°°).

теперь

Пусть X =

(Х()(е т — субмартингал.

отображение t е

Т f)

Т е о р е м а

6.8. С

вероятностью единица

f) Q *-*• Х{

ограничено

и пределы

Н т

Хя и

lim

Xs

существу-

ют для каждого t^O .

QOT3s.(

QITssTf

Пусть

задано число

Т > 0

и (г4, г2, ... } —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

нумерация

множества

Q П[О, Г].

Если

для

каждого

п

[si,

s2, ...

...,

s„] — естественное

упорядочение множества

[rt,

г2,

. .

г„], то

равенства

У j = У*., i =

1,

2, ..., п, определяют

субмартингал

Y —

=

(Уi)i=i-

Кроме

того,

Y = (У;)"±(}

с У„ = Х„ и

У„+, = Хг является

субмартингалом.

Поэтому,

согласно теореме 6.2 и теореме 6.3,