Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

27

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем сначала, что из (4.2) и (4.3)'

следует плотность семейства

(см. определение 2.2). По

тео­

реме Асколи — Арцела подмножество

А <=Wtf

относительно

ком­

пактно в \Vd тогда и только тогда, когда оно

(I)

равномерно ограничено,

т. е. для каждого Г > 0

sup max |w(f)|<°o,

w s A

te [o ,T ]

(II)

равностепенно непрерывно, т. е. для каждого Т > О

lim sup VTh (w) =

О, где

Vl (w) =

max

w(s) — w(t) |.

h|ow=A

t,s S [0,T]

|f—s|

Согласно

(4.2) для каждого

e > 0 существует число а > 0 такое,

чт оРХп{и>: |w (0) |^

а } >

1 — е/2для

всех

п. К

тому же, согласно

(4.3),

для каждого

е > 0

и

й = 1,

2, ...

существует такое й*>0,

что к

1 0 и

РХп {w: Vik(w) >

1/ft} <

e/2'i+1

для всех п. Следователь-

\щ V\k(w) <

1/fc} j> 1 — е/2. Положим Ks = {w\ Щ0)

"’I V;,fc И

Мк\j

•Тогда,

очевидно, мпожество К» удов­

летворяет условиям

(1)

и (II), и поэтому оно

компактно. Далее,

неравенство

Р " (ЛГЕ) > 1

— е

показывает, что

семейство

п}

вательность (и*), что

Р 71,1 Р

для некоторой вероятности Р на

(W 1, ^ ( W d)). Чтобы

построить

ХПк и X с вышеприведенными

каждое конечномерное распределение закона

Р х"

сходится, то оче­

видно, что предельная точка {7,Хп) единственна,

и поэтому Р Хп

слабо сходится к Р при п

«>.

1, 2,

...,— последова­

Т е о р е м а 4.3. Пусть

Хп= (Хп (t)), п =

2?{|Х„(0) 1Т) < М для каждого п = 1, 2, ...;

(4.6)

существуют положительные постоянные а, (5, Mh, к — 1, 2,

...,

такие, что E{\Xn(t)— X„(s)l“}

Mh\t — s|1+p для каждых n

и f, « e

[0, fc],

к = 1, 2, . . .

(4.7)

Тогда (Xn) удовлетворяет условиям

(4.2)

и (4.3) из теоремы 4.2.

Д о к а з а т е л ь е т в о . Согласно неравенству Чебышева

P{\Xn{0)\>N}^M/N\

тг =

1 , 2 , . . . , .

рассматривая, без ограничения общности, Т целым. Согласно

(4.7)

Y(t) = Xn(t), /1 = 1, 2, ...,

удовлетворяет неравенству

£ ( | У ( 0 - Г ( 5 ) | а} < Л / т и

-

5 |1+р,

t , s e = [ 0 , n

По неравенству Чебышева

Р ( |Y ((i + l)/2m) -

Y (i/2m

|>

1/2™} <

M T2“ m(1+p)2maa =

= Л/7-2-т(1+р_аа),

i =

0, 1, 2, . . . ,

2mT -

1.

(4.8)

Выберем а так,

чтобы 0 <

а < р/ос. Согласно

(4.8)

Р

шах

|Y ((/ +

l)/2m) -

Y(i/2m |>

1/2та1 < М ТГ2-т(р- аа).

0 < K 2 m T - l

J

(4.9)

Пусть

заданы

е > 0

и

б > 0 .

Выберем

v = v(6,

г)

так,

чтобы

(1 + 2/ ( 2“ - 1) ) / 2" « £ в и

Р

U

(

шах

|У ((i +

1)/2т ) - У (i/2m) |>

1/2™1

m==V lo < i< 2mT - l

J

2

2_т(Р-а<х) < б.

(4.10)

m=v

Положим Qv =

U /

max

|у((г +

1)/2т ) — У (г/2т )1>1/'2то\- Тог-

w=vl о ^|^2т7,—1

)

да P(QV) < 6, и если © * Q V, то

|У ( U + 1)/2™)-У (i/2m) I < 1/2™ для

всех m

v

и i таких,

что ( i + l ) /2 m^ 2 ri.

Пусть

Dr — множество

всех двоично-рациональных чисел из интервала [о,

П

Если

s ^ Dr

находится

в

интервале

[i/2v,

(г + 1 ) /2V) ,

то

s запишется

в

видо

s =

г/2V +

3

«//2Vи ,

где а, суть нули или единицы, и, следователь-

2

/=1

но, если о)

Qv, то

У (.9)- У

(i/2v) |< 2 |у ( и2V+ 2 a//2v+/) -

у (Ц2\+

i=i

/

/i=i I

\

г=г

/

\

<

2

l/2(v+,t)a<

2 l/2(v+ft)a =

l/(2 a — l) 2va.

*=i

ft-i

Поэтому, если s , t e D T,

Is —1| <

1/2Vи a> 9^ Qv, TO

| y ( s ) - y ( t ) | < ( l

+ 2 / ( 2 ° - l ) ) / 2 vu< e .

(4.11)

Действительно,

если

f e [ ( i -

1)/2V,

il2V)

и

s e [i/2 v, ( i + l ) / 2 v), TO

|У (0 -

У (*) |<

|У (*) -

У (*/2V) |+

IУ (* )'- У ((* -

1)/2V) |+

+ |У (i/2v) -

У ((* -

m

l

I <

(1 +

2 /(2 “ -

l))/2 va»

§ 5. ВОЗРАСТАЮЩЕЕ СЕМЕЙСТВО ПОД-0-ПОЛЕЙ

29

п если

£, s е [i/2v, (i +

1)/2V), то

|Y (£) -

Y (s) |< | У (*) -

Y (i/2v)| + \Y (£) — Y (t/2v)|< 2/ ( 2 ° - l)2va.

Так как DT плотно в [О,

Г],

то (4.11)'

выполняется для каждых s,

£ <= [О, Г] с

Is — £| «S 1/2*. Следовательно, Р | max

|Y (£) — Y (s)|>

\ t ,sS[0»T]

> ej <1P (Qv) < б.

Так как

v = v(e, 6)

4<—e| «l/2v

от

n, то

полу­

не зависит

чаем условие

(4.3).

{Х (£ ))|е=[0. <»> — совокупность

таких

d-мер­

С л е д с т в и е .

Пусть

стант а, р, М4 в

i, s e [0, /с], k = 1,

2,

...,

выполняется следующее

условие:

Е ( |X (£) — X (s) \а) <

Мк|£ -

s |1+р.

(4.12)

Тогда существует d-мерный непрерывный процесс

Х = (Х(£)) та­

кой, что для каждого £ е

[О, оо]

Р[ Х( £ ) =Х ( £ )] =1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как и в приведенном выше доказатель­

стве,

(4.9) выполнено

для У(£) = Х(£), и поэтому, по лемме Ко­

роля — Коптелли,

для

почти

всех

to

имеем |Х((( +

1)/2т ) —

~ Х ( £ / 2 ' " ) | < 1 / 2 та, £ =

0, 1, 2,

..., 2"Т — 1, для всех m > v = v(to).

Это влечет за собой, как и в приведенном выше

доказательстве,

что

|X(£)-X(s)| ^ ( 1 + 2/(2°— l ) ) 2 mo,

если

только £,

s e D T,

U — s|«£l/2m и m > v .

Следовательно,

отображение

£ e D T^ X ( t )

продолжение функции X(t)

Тогда X = (Х(£))

— непрерывный

процесс, и легко доказать,

что Р[Х(£)=*Х(£)] =

1 для каждого

< е [ 0 , оо).

3Tt cz ЗГ„

если 0 < £ sS s.

(5.1)

Семейство (!Tt) называется

непрерывным справа,

если ЗГ(+0=

■я 11 :Г j+e =

t для каждого £<=[0, °°). В дальнейшем, если не ого-

¥ -О

.

30

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

сом *)

мы подразумеваем семейство d-мерных случайных векторов

X — (Xt). В этом параграфе d-мерпый случайный процесс

называ­

ется просто процессом.

О п р е д е л е н и е

5.1. Процесс Х = (Х ()(>0 называется

согласо-.

ванным с

() или

(^”() -согласованным,

если случайный вектор

(Xt) &г(-измерим при каждом t.

если отображение

Процесс X = (Xt)t>0 называется измеримым,

(t, <й)е [0, ooJXQ— X (( o ) ) sR <i

является ^([0, °°))X&'/3!(Ri) -измеримым.

относительно ко­

Пусть ^ — наименьшее

о-поле на [0, °°)ХЯ,

торого

измеримы все

непрерывные слева (@~t) -согласованные про­

цессы

Y : [0, оо) х Я э (t, со) I-»- Гг (со) е Rd.

Если выше

заменим

непрерывные слева процессы Y непрерывными справа процессами,

то соответствующее о-поле обозначается через .

О п р е д е л е н и е

5.2. Процесс Х = Х(<)

называется предсказуе­

мым**), если

отображение

{t, to)-*- Xt(со) ST/SS^R) -измеримо. Про­

цесс X = X(t)

называется

вполне измеримым***) или опциональ­

цессы являются измеримыми и согласованными с потоком

(&~i).

З а м е ч а н и е

5.1.

Любой предсказуемый процесс вполне из­

мерим.

Действительно,

если

X = X(t)

непрерывен

слева, т. е.

t *-*■Xi

непрерывно слева для каждого

о,

то

определенный посред­

ством

равенства

Х[п

=

Хн/2п

для

t е

[к/2п,

(к + 1)/2")

процесс

Хп =

(Х (/° )

непрерывен справа и

Х/п) (о>) ->• Xt(со) при п -*-<*>. Та­

ким

образом,

процесс X

^"-измерим. Отсюда

вытекает, что & <= W.

П р е д л о ж е н и е

5.1****). Пусть

Ф — линейное

пространство

действительных и ограниченных*****)

измеримых процессов, удов­

летворяющих следующим двум условиям:

(I)

Ф

содержит все ограниченные непрерывные слева (соответ­

ственно справа)

(&~t)-согласованные процессы-,

(И)

если

{Ф„) — монотонно возрастающая последовательность

процессов из

Ф,

для

которой Ф =

supФ„

ограничен,

то ф е ф .

П

Тогда Ф содержит все ограниченные предсказуемые (соответ­

ственно вполне измеримые) процессы.

предсказуемый

процесс,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ограниченный

т. е. ограниченная ^-измеримая функция, является пределом моно­

*)

Здесь мы рассматриваем d-мерный случай (т. е. пространство состоя­

ний R'1) , но обобщение па произвольные пространства состояний очевидно.

**) Точпее, предсказуемым относительно {У (). Будем также говорить

(ST()-предсказуемым.

***) Точпее (9~г)-вполпе измеримым.

1.

***•)

В атом предложении мы предполагаем d =

X Q в R.

****»)

То есть процесс ограничен как функция из [0, » )