Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ			21
случайная величина X квадратично интегрируема, то величина
])(Х) = Е(Х*) — Е(Х)г		( = Е ( ( Х — Е(Х))г)) называется		диспер
сией X.		под-о-полей	называется независимым
в	Семейство {У а}16д
	совокупности, если	для каждого	различного набора at,	a2, ...
,	. aAs А и любых	i — 1, 2, ..., &,

Р(А, ПЛ2П... ПАк = Р(А1 Р(Аг) .. .Р(Ак .

Семейство случайных величин {Xa}aeA называется независимым в совокупности*), если семейство {о[Ха]}аеЛ независимо в совокуп

ности. Семейство случайных величин (Xa, a s A )					называется			неза
висимым	от о-поля	%	если	o[Xa: a s Л]	и	$	независимы
в совокупности.			случайная величина			и Щ— под-о-по-
Пусть	X — интегрируемая
ле a-поля	ёГ. Тогда	формула		р (В) = Е(Х; В) == j X (со) Р (с?со),
						в	на $	с ко
f i s ? , определяет о-аддитивную функцию множества

нечной полной вариацией, которая, очевидно, является абсолютно

непрерывной относительно v = i, \|gr.				Производная	Радона — Нико
дима	dy/dv((>})	обозначается	через	Z?(XIS’) (<в);	таким	образом,
Е ( X I S ) — единственная (с точностью				до эквивалентности) ^-изме
римая интегрируемая случайная величина Y, для которой E{Y\ В) —
= £ (Х; В) для всех						математи
О п р е д е л е н и е 3.1. Е (XIS’) называется условным
ческим ожиданием X относительно S’.
Легко доказываются следующие свойства условных математиче
ских	ожиданий.	(Ниже через	X, У,	Х„ обозначаются интегрируе

мые действительные случайные величины, а через а, Ъ— действи

тельные числа.)
(Е.1)	Е(аХ+ bY\<3) = aE(X\'5)+ bE(Y\9) п.н.
(Е.2)	Если X > 0 п.н., ю Е { Х \ $ ) > 0 п.н.
(Е.З)	Е ( № ) = 1 п.н.		в общем случае,
(Е.4)	Если X S’-измерима, то Е(Х\'3) = Х п.н.;
если ХУ интегрируема и X ^-измерима, то
	E{XY\$) = XE(Y\$) п.н.
(Е.З)	Если Ж — под-о-поло a-поля S, то
	Е{Е(ХУ5) \Ж) = Е(Х{Ж) п.н.
(Е.6)	Если Х „ -* Х в S’i(Q),	то Е{Хп\ $)^ Е1ХЩ в S^Q ). г
(Е.7)	(Неравенство Иенсена.)	Если ф: R--R‘	выпукло и ф(Х)

интегрируема, то

ф (£(Х|£))<Я Н >(Х)|30 п. н.

*) Ото определение применимо и к общим случайным величинам со зна-

чмнямн п 5.

22	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

В частности, \Е(Х\3) |*S.E(|X||S?’), и если X квадратично инте

грируема, то |Д(Х|301г<£(|Х |2|30.

(Е.8) Случайная величина X независима от *3 тогда и только тогда, когда для каждой борелевской функции / с

Ef(X)< оо E(f(X)\3) = E(f(X)) п.н.

Пусть 1 — ST\.^-измеримое отображение £2 в измеримое про странство (S, М). Тогда \и(В = Е(Х\ {со: |(сй ) е Й ) — ст-аддитив-

ная функция множества на М, которая абсолютно непрерывна

относительно индуцированной

меры

v = Р1.

Плотность

Радона —

Никодима dp/dv(x)

обозначается

через

£(Х|| = ж)

называется

условным математическим ожиданием X

при

| = х. Оно

обладав?

свойствами, аналогичными вышеприведенным.

про

О п р е д е л е н и е

3.2.

Пусть

(й,

Р ) — вероятностное

странство и 3 — под-о-доле

Система {р (со, ^)}в>=а,Авдг

называ

ется

регулярной условной вероятностью

относительно 3,

если

она

удовлетворяет следующим условиям:

(й, &~);

(I) для фиксированного ю

А*+р (со, А) — вероятность на

(II)

для фиксированного

toi-»p(a), А)

^-измеримо;

(III)

для каждых

Р (А {] В) =

Jp(co,H)P(dcо).

Очевидно, это свойство (III) эквивалентно

величины

X и

(III)' для каждой неотрицательной

случайной

B e ?

Е (X; В ) = 1 |/в (со) j X (со') р (со, Ao')j Р

(Ло),

т. е.

^ X (со') р (со, dco')

совпадает

2?(Х|^)(со)

п.н.

условная

вероятность

единственна,

Говорят, что регулярная

если для (р((о, А )}

и {р'(со, А)},

удовлетворяющих вышеприведен

ным условиям, существует множество JVe ?

P-меры

нуль такое,

что если со Ф N, то д (оо, А) = р' (оо, А)

для всех А е

ST.

называ

О п р е д е л е н и е

3.3.

Измеримое

пространство

(й, SF)

ется стандартным измеримым пространством, если оно борелевски изоморфно*) одному из следующих пространств: (<1, га>, J?(<1, п>)),

(N, Jf(N)) или	(М, J?(M)), где <1, га> = {1, 2, ..., п} с дискретной
топологией, N =	(1, 2, ...} с дискретной топологией и М = {0, 1}N =

={оо == (oolt со2, .. .), оц = 0 или 1} с тихоновской топологией. Хорошо известно, что польское пространство (полное сепара

бельное метрическое пространство) с топологическим о-полем яв

*)	(Q, &~) и (£!', &~') борелевски изоморфны, если существует такая биек
ция /:	что / ^"\|^"'-измерима и / - ’*	^"-измерима, т. е. /(5~] =

§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ

ляется стаидартпым измеримым пространством и что каждое изме римое подмножество стандартного измеримого пространства с ин дуцированным о-полем также является стандартным измеримым

пространством (см. [102], [141]).

&~)— стандартное измеримое про

Т е о р е м а

3.1.

Пусть

(Я,

странство и Р — вероятность на

(Я, @~). Пусть S’ — под-о-поле ЗГ.

Тогда существует единственная

регулярная условная вероятность

{р((в, Л )} относительно 3?.

рассмотрим

случай, когда

(Я, 2Г)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы

изоморфно

(М, ЗЦМ)), и, следовательно, мы вправе допустить, что

Я = М и

= ,$ (М ). Пусть

я„: Я э

ю >->■(со1, (о2,

..., ю„) <= {0, 1}" —

проекция

и ^ п = я ^ [ { 0 , 1}"].

Очевидно,

что

{iF„} — возрастаю

щее

семейство

конечных

о-полей

V &~п = ^ •Если

Рп, п =

= 1,

...,— вероятности

на (Я, З Г и {Р„} согласованно в том

смысле,

4 ToPn+il&-n=

Рп, п =

1, 2,

•••>

то существует единственная

вероятность Р

на

(Я,

ЗГ)

такая,

что

Р \дгп = Рп- Действительно,

в силу согласованности, Р

корректно

оо

определена на U &~п, и если

оо

@~h, п = 1, 2,

...,

такова, что

71=1

> 0, то

Вп=> Bn+t и lim Р (Вп

k ~ l

П-* оо

[]ВПФ 0 , так как

{ВпУ— система замкнутых множеств в компакт-

ном пространстве Я. Затем Р продолжается наст[ U^"n] = V ^ n =&r.


no теореме Хопфа о «продолжении».							In	J	n
						A е	£Fn. Очевидно, найдется
Положим	рп((о,	А) = Е(1а\2?) (со),
множество	Nnе $	Р-меры		нуль	такое,		что	если	<а & Nn, то
рп((о, А) — вероятность на				и р„(а>, Л) = р„_1(и, А) для A ^3T n- lt
п = 1, 2, ... Если положим				ft *=UNn,			то для каждого			ca&ft
{ р„(а, •)) — согласованное					П	и поэтому		определяет		един
			семейство
ственную вероятность р(м,			•)	на	(Я,	#"). Пусть v — вероятность
на (Я, @~),	и положим р(а,			*) = v,		если		Тогда система

(р(<а, •)} является регулярной условной вероятностью относитель

но &. Действительно, свойства (И) и			(III) очевидны для
и распространяются па ЗГ по стандартной				П
				лемме о монотонных
классах. Если {р(ю, •)} и		{р'(о), •)) — две		регулярные условные*
вероятности,	то множество	N = {a: р(а, А)¥=р'((ц, А) для некото-
рого Л е и	5 0 имеет Р-меру нуль,		и если	a&N, то р(ы, А) =
п—1	J
«•**/>'(го, А) для всех i e f		опять по	лемме о монотонных классах.
!)тим доказана единственность регулярной условной вероятности.
О п р е д е л е н и е 3.4. Пусть (Я,			— измеримое пространство.

Мы скажем, что ЗГ счетно определено, если существует такое счет ное подмножество ЗГ, что любые две меры, совпадающие на ЗГ,, совпадают и на ЗГ.

24		ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Очевидпо,	если	(й, &~) — стандартное измеримое пространство,
то ЗГ счетно определено.
Т е о р е м а	3.2.	Пусть (Й, 9~) — стандартное измеримое про

странство и Р — вероятность на (Й, ЗГ) . Пусть & — под-а-поле ЗГ

и р(оо, da ') — регулярная условная				вероятность относительно 'S.
Если Ж — счетно определенное			под-о-поле 9, то существует такое
множество N ^ S	P-меры нуль, что из a &N следует, что р(ы, А) —
— Iа (со) для каждого А е		Ж.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть Ж0<= Ж — счетное множество из оп
ределения 3.4 для Ж. Яспо, что если А е Ж0, то существует мно
жество Na ^ S	P-меры	пуль,	для	которого из о Ф NА следует
Р(о),Я) = / а (<й).	Положил! N =		U NA\ тогда равенство р(со, А) —

= / а (ю) имеет место для всех А ^ Ж , если a&N.

С л е д с т в и е .

Пусть (й, ЗГ) — стандартное измеримое простран

ство

и Р — вероятность

на

(й, ЗГ). Пусть

*§ — под-о-поле

ЗГ и

р((в,

•)— регулярная условная вероятность относительно *§. Пусть

|(<в) — 'SШ-измеримое

отображение й

в измеримое

пространство

(S, 38). Далее предположим, что 38 счетно определено

и {х} ^38

для

каждого

х е S

(это верно, например, если (S,

38) — стандарт

ное измеримое пространство). Тогда

р(а,

{(D': | (( D') =

| (( D ) } ) = 1 для п.в.

а.

(3.1}

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как 38 счетно

определено,

то

суще

ствует счетное подмножество 98<,<^38 со свойством

из

определе

ния

3.4. Поэтому

Ж в {| -‘ (В): В ^38)

является счетно

определен

ным

под-о-полем

Жо=

{£"' (В): 5 е ^ ) .

Согласно

теореме 3.2

существует множество N е

Р-моры нуль такое, что

если <о Ф N,

то p(<D, А) — 1А(а)

для каждого А ^ Ж . Полагая -4а =

{<э': |(<й') =

= |(<D)} <=Ж, получаем (3.1)

для <о ФП.

результат.

Аналогично теореме 3.1 можно доказать следующий

Т е о р е м а

3.3.

Пусть

(Й, ЗГ) — стандартное

измеримое

про

странство и Р — вероятность на (й, ЗГ). Пусть |(<в)— ЗГШ-изме римое отображение й в измеримое пространство (S, 38), а Ръ— ин

дуцированная		отображением \|	мера	на (S, 38). Тогда существует
такая система {р (х, A)}xsS>A(=g-,			что
(I)	для	фиксированного	x& S	А '~*р(х,	А) — вероятность
на (й, @~);				х<-+ р (х, А)	38-измеримо;
(II)	для фиксированного А ^ЗГ
(III)	для каждого i e # - и В&38
		Р (ЛП {со; I (ю) е 5 } ) =		\ р (х, А) Р1 (dx).
			в

К тому же, если {р'(х, А)} — другая такая система, то найдется множество N <= 98 Рг-меры нуль такое, что из хФ И следует, что.

р(х, А) — р'(х, А) для всех A&3F.

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Таким

образом, для каждой

случайной величины X

интеграл

( X (со) р (х, da>

совпадает

с Е(Х\% = х)

для

Р1-п.в. х. Функция

А) называется регулярной условной

вероятностью при

%= х.

,р(х,

Подобно теореме 3.2 и ее следствию доказывается следующее

С л е д с т в и е .

Предположим

дополнительно в

теореме

3.3, что

■98 счетно определено и {х}

для каждого x<=S.

Тогда существу

ет такое

множество

N ^38 Р1-меры

нуль,

что

если хФ-N, то

р(х,

{(о:

|(<а)^В}) = 1в(х)

для

всех В^38.

частности,

если

.X&N, то

р(х,

{<а: |(ю) =

ж} ) = 1 .

(3.2)'

§ 4. Непрерывные случайные процессы

Пусть

W d = C([0,

00)

Rd) — множество

всех

непрерывных

■функций нч [0, o o ) 3 f i - * u ) ( i ) e R <i. Определим на

W d метрику р

следующим образом:

p(ip1,a>>)-= 2 2

” 17 max !«?!(*) — и>#(0П Д 1].

wt, w2 <= W d.

(4.1)

п—1

I \0£t<n

)

, Нетрудно

пидоть, что

W d

полно

сепарабельно

этой

метрике.

|Очевидно,

ч'п сходится к и; в метрике р тогда и только тогда, когда

сходится к w(t)

равпомерно по t на каждом конечном интер

вале. Пусть ^ (W d) — топологическое

о-поле. Борелевским

цилинд

рическим множеством мы называем множество

W d вида

B = {w; (w(ti), w(tz), ..., w(tn) ) e E )


с 0 <	ti < t2 < . . . < tn и		Е<=31(Rnd).	Обозначим	через 5 совокуп
ность	всех борелевских цилиндрических множеств. Так как отобра
жение и? е		W d >-* (ш (tj,	w(tz), ...,	w(tn))e£Rni	непрерывно, то,
очевидно,		<= 38(Wd) .

Пр е д л о ж е н и е 4.1. o[^] = ^ (W d).

До к а з а т е л ь с т в о . Нужно только показать, что of®’] ^ 38(W 4)’.

Совокупность			множеств	вида/и?: max \|w (t) — w0 (t) ^ е\,и?ве Wd,
e >	0, n =	1,			l	I
			2, ..., образует базу окрестностей в			W d. Имеем
lw; max		\|w (t) — w0 (t) \| < el =			f\| {«>; w(r)(=U (w0(r), e)},
l	K U n			J	rSQ.o <йг^п
где	U(а, е) =		{ г е Rd: \x— a\ <		e). Таким образом,	такое множество
представимо в виде счетного пересечения множеств из W. Следо-
иителыю, $ (Wd) <= а[Щ.						на (Wd, (W d) )’
	('.л е д с т в и е . Каждая вероятностная мера
единственным образом определяется по ее значениям на
	О п р е д е л е н и е 4.1.			Под	непрерывным d-мерным процессом,
виданным		на	(Q, ЗГ, Р),	мы подразумеваем случайный элемент со

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных