Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

С. ВАТАНАБЭ, Н. ИКЭДА

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

И ДИФФУЗИОННЫЕ

ПРОЦЕССЫ

Перевод с английского

Г. Н. КИНКЛАДЗЕ

Под редакцией

А. Н. ШИРЯЕВА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1986

ББК 22.171	STOCHASTIC DIFFERENTIAL
В21	EQUATIONS
УДК 519.21	AND DIFFUSION PROCESSES
	BY
	NOBUYUKI IKEDA, SHINZO WATANABE
	NORTH-HOLLAND PUBLISHING	KODANSHA
	COMPANY	LTD.
	AMSTERDAM •OXFORD •NEW YORK	TOKYO
	1981

В а т а н а б э С., И к э д а H. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы: Пер. с англ./Под ред. А. Н. Ширяева.— М.: Наука. Гл. ред. фи8.-мат. лит,— 1986.— 448 с.

Дается систематическое изложение современного состояния стохастическо го дифференциального исчисления, являющегося одним из мощных средств ис следования случайных процессов. На основе этого исчисления авторы — изве стные японские ученые — дают исчерпывающее изложение теории стохастиче ских дифференциальных уравнений с множеством применений к диффузион ным процессам, уравнениям с частными производными, стохастической диф ференциальной геометрии.

Для специалистов в области теории вероятностей, теории случайных про цессов и их приложений (теории оптимального управления, фильтрации и т. д.), анализа и современной геометрии, а также для преподавателей, студентов и аспирантов.

Библиогр. 189 назв.

р702060000— 151 КБ-16-64—86	1981 by Kodansha Ltd.
р702060000— 151 КБ-16-64—86	1Издательство «Наука».
053(02)-86	Главная редакция
053(02)-86	физико-математической литературы,
	Перевод на русский язык.

1986

ОГЛАВЛЕНИЕ

П р е д и сл о в и е .............................................................................................................											5
Основные обозначения			......................................................................................................								10
Г л а в а I. В в е д е н и е .......................................................................................................											11
§ 1. Основные		понятия		и	обозначения..............................................................					. .	11
§ 2. Вероятностные			меры		на	метрическомпространстве . .					12
§ 3. Математические ожидания, условпые математические ожидания и											20
регулярные условные в е р о я т н о ст и ..............................................................
\| 4.	Непрерывные случайные п р оц ессы .............................................................									семейст	25
§ 5. Случайные		процессы,			согласованные с возрастающим						29
	вом п о д -о -п о л е й ................................................................................................							' . ....................................... 34
§ 6. М артингалы....................................................											47
§ 7.	Броуновские движения.......................................................................................
§ 8.	Пуассоновские		случайные м ер ы ....................................................................							. . .	50
§ 9.	Точечные процессы и пуассоновские точечныепроцессы										51
Г л а в а	II. Стохастические интегралы и формула И т о ..........................................										53
§ 1.	Итовское	определение			стохастического интеграла..................................						53
§ 2.	Стохастические		интегралы				по	м а р ти п гал ам .........................................		. . .	60
§ 3.	Стохастические		интегралы				по точечным процессам .				66
§ 4.	С ем имартингалы ...............................................................................................										71
§ 5.	Формула И т о .....................................................................................................							броуповских движепий		и пуас	73
§ 6. Мартингальпая характеризация											81
§ 7.	соновских	точечных			п роц ессов ....................................................................
	Теорема представления для семимартингалов.........................................										91
Г л а в а	ИГ. Стохастическое исчисление...................................................................										105
§ 1.	Пространство стохастических дифференциалов......................................										105
§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения но квазимартинга											НО
§ 3.	лам ..........................................................................................................................			моментов м а р ти п га л ов
	Неравенства для								к	броунов	117
§ 4. Некоторые приложения						стохастического исчисления					120
	скому д в и ж е н и ю			..............................................................................................
	4.1. Броуновское		локальное			время		(120). 4.2. Отраженное	броуновское
	движение и уравнение Скорохода (126). 4.3. Экскурсии броуновского дви
	жения (130). 4.4. Некоторые					предельные теоремы для «времен пребыва
	ния» броуновского движения (143).
§ 5.	Экспоненциальные			мартипгалы ..................................................................							146
Г л а в а	IV. Стохастические дифференциальные уравнения .									. . .	150
§ 1.	Определение		р е ш е н и й ................................................................................								150
§ 2.	Теорема	сущ ествования...............................................................................									158
§ 3.	Теорема еди н ствен н ости ...............................................................................									времени	169
§ 4.	Решение посредством преобразования сноса и замены										180
§ 5.	Диффузионные п роц ессы ...............................................................................										192
§ 6.	Диффузяоппые процессы, порожденные дифференциальными опе										202
	раторами,	и	стохастические					дифференциальные	уравнения

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Стохастические дифференциальные уравнения с граничными ус
	ловиями ....................................		206
§ 8. П р и м е р ы ...........................................................................................................			221
§ 9. Стохастические дифференциальные уравнения по пуассоновским
	точечным п р о ц е с с а м .......................................................................................		232
Г л а в а	У. Диффузионные процессы на м н огообр а зи я х ..................................		235
§ 1. Стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях			235
§ 2. Поток диффеоморфизмов.................................................................................			241
§ 3. Уравнение теплопроводности на многообразии........................................			254
§ 4. Невырожденные диффузии на многообразии и		их горизонталь
ные лифты............................................................................................................			260
§ 5. Стохастический параллельный перенос и уравнение теплопровод
	ности для тензорных п о л е й ..........................................................................		279
§ 6. Случай с граничными у с л о в и я м и .............................................................			285
\| 7. Стохастическое вариационное исчисление Малливэпа для вине-
ровских ф ун к ц и он ал ов .................................................................................			316
§ 8. Случай стохастических дифференциальных уравнений и пробле
	ма гипоэллиптичности уравнений теплопроводности. . . .		327
Г л а в а	VI. Теоремы сравнения и аппроксимации и	их приложения	343
§ 1. Теорема сравнения для одномерных процессов		Ито. . . .	343
§ 2. Применение к задаче оптимального у п р а в л е н и я ..................................			346
§ 3. Некоторые результаты относительно одномерных диффузионных
	п р о ц е с с о в ............................................................................................................		351
§ 4. Теорема сравнения для одномерной проекции диффузионных про
	цессов ..................................................................................................................		355
§ 5. Приложения к диффузиям на римановых многообразиях . . .			362
§ 6. Стохастические криволинейные интегралы вдоль траекторий диф
	фузионных процессов......................................................................................		367
§ 7. Теоремы аппроксимации для стохастических интегралов и стоха
стических дифференциальных у р а в н е н и й ................................................			376
§ 8. Носитель диффузионных проц ессов.............................................................			412
§ 9. Асимптотическое вычисление диффузионной меры для трубчатой
	области вокруг гладкой к р и в о й ...................................................................		425
Список	л и т е р а ту р ы ................................................................................	.	434
Предметный у к а з а т е л ь ..................................................................................			442

С глубочайшей благодарностью н с сер дечнейшей любовью мы посвящаем эту книгу нашему учителю

киоси ито

— постоянному источнику знаний и вдох новения

ПРЕДИСЛОВИЕ

Возникновение и развитие теории стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений восходит к К. Ито. В 1942 году ([60]; см. также [65]) эта теория была впервые при менена к следующей проблеме Колмогорова о существовании мар ковских процессов с заданным свойством [88]. Пусть yt — марков ский процесс на действительной прямой и пусть для каждого мо мента to F(0,г == / V (У*0) — условное распределение вероятностей yt при заданпом yt0- Почти во всех интересных случаях мы можем

предположить, что при 11 10

^ сходится к некоторому рас

пределению на R1, которое мы будем обозначать Dyio (здесь [а] есть целая часть числа а, а *к обозначает Ахкратную свертку). Сле довательно, Dyt() представляет собой безгранично делимое распре

деление. Проблема, поставленная Колмогоровым, формулируется следующим образом: для заданного семейства безгранично делимых распределений L{t, у) найти процесс yt с заданным начальным рас пределением, для которого

Dyt = L(t, у,).

(0.1)

Колмогоров [88] и Феллер [168] успешно получали марковские процессы путем решения дифференциальных уравнений Колмогорова (уравнения для переходных вероятностей, которые эквивалентны (0.1)), введя тем самым аналитический метод в теорию вероятно стей. Этот метод получил дальнейшее развитие в связи с теорией полугрупп Хилле — Иосида.

В отличие от этого аналитического метода, вероятностный под ход, предложенный Леви и строго обоснованный Ито, дает возмож ность непосредственного построения траекторий процесса yt. Рас

смотрим	случай с
		L{t, у) = G(a(t, у), b{t, у)),
гдо G(а,	р) — гауссовское распределение		со средним а	и	стандарт
ным отклонением		р. Интуитивный смысл (0.1) состоит		в	том, что
бесконечно малое		изменение условного	распределения	при задан-

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных