Г Л А В А I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Основные понятия и обозначения
Предполагается, что читатель знаком с некоторыми основными понятиями теории меры (см. [174] и [133]), в частности с поня тиями a-поля (называемого также а-алгеброй или борелевским по лем), измеримого пространства (пары, состоящей из абстрактного
пространства и о-поля на нем) |
и |
измеримого отображения. |
Если |
||||||||||
S — топологическое пространство, |
то минимальное |
о-поле $ (S) на |
|||||||||||
S, которое содержит все открытые множества, называется тополо |
|||||||||||||
гическим о-полем, а элемент |
/ |
J (S) |
называется |
борелевским |
|||||||||
множеством |
в S. Отображение |
топологического |
пространства S |
||||||||||
в |
другое |
топологическое |
пространство |
S', |
которое является |
||||||||
&&(S)/$(S')-измеримым (т. |
е. |
f~l(B) = |
{x: /( i ) G f i ) e J ( S ) ) |
для |
|||||||||
всех В е '© (S'), называется |
измеримым по Борелю. Любая |
о-адди- |
|||||||||||
тивпая неотрицательная мера Р на измеримом пространстве |
(Q, SF) |
||||||||||||
такая, что Р(£2)=1, называется |
вероятностью на |
(£2, &"), а тройка |
|||||||||||
(£2, |
Ф~, |
Р) — вероятностным |
пространством. Если |
Р — вероятность |
|||||||||
на |
(£2, |
9Г), |
то ^ f = W e Q : |
3 Bv Bz^ ^ ~ |
такие, |
что |
В ^ А ^ В г |
||||||
и Р(В1 = Р(Вг)} является о-полем на £2, содержащим |
ST. Вероят |
||||||||||||
ность Р можно естественным образом продолжить на @~р, и про
странство |
(£2, $FP, Р) |
называется |
пополнением |
пространства |
|||||||
(£2, |
Р). Вероятность Р на |
(£2, &~), для которой |
|
|
назы |
||||||
вается полной, |
а пространство |
(£2, |
Р) в этом случае называется |
||||||||
полным |
вероятностным |
пространством. Если |
S — топологическое |
||||||||
пространство, то мы полагаем |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
<r(S) = n ^ W \ |
|
|
|
(l.i) |
|||
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
где р пробегает все вероятности на |
(S, &(S)). |
Элемент из |
& (S) |
||||||||
называется универсально измеримым множеством в S, а отображе |
|||||||||||
ние |
/ из |
S в |
другое топологическое |
пространство |
|
S' называется |
|||||
универсально |
измеримым, |
если оно |
& (S) /$ (S') -измеримо. |
Пусть |
|||||||
|
— семейство с-полей |
на |
£2. Обозначим через |
V |
а наимень- |
||||||
шее |
о-поле, содержащее |
все |
&~а. Если % — класс |
а |
|
|
|||||
подмножеств £2, |
|||||||||||
то через offi] обозначаем наименьшее |
о-поле на £2, содержащее 9 . |
||||
Кроме того, если |
{Ха}оел — семейство |
отображений |
£2 |
в |
измеримое |
Пространство (£2', |
& "), то наименьшее о-поле |
на |
£2 |
такое, что |
|
12 |
|
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
каждое |
Х„ |
является f F /^ '-измеримым, |
обозначается |
через |
о [ Х а: a e i ] , |
В частности, о[Х ] = Х _1(^"') для каж дого X: Q-*-£2'. |
|||
Пусть |
(Q, |
&r, Р) — вероятностное пространство и (S, $l(S)) — |
||
топологическое пространство с топологическим |
a-полем |
Ото |
||
бражение X из Q в S называется случайной величиной*) со зна чениями в S, если оно &~/3!(S) -измеримо. Если, в частности, 5 = R, S = С, S — Rd, то X соответственно называется действительной случайной величиной, комплексной случайной величиной, d-мерной случайной величиной. Если X — случайная величина со значения ми в S, то равенство **)
PI (fi) = P [X -1(B )] = P [o );X (a )s B ] = P [X e B ], B^38(S), (1.2J
определяет вероятность на (S, $I(S)). Мера Рх называется вероят ностным законом (или распределением вероятностей) случайной величины X. Ясно, что Рх — не что иное, как мера, индуцирован ная измеримым отображением X, или же мера-образ при отобра жении X.
§ 2. Вероятностные меры на метрическом пространстве
Пусть |
S — сепарабельное метрическое |
пространство |
с метрикой |
||||||||||||
р, a 38{S) — топологическое о-поле. |
|
|
|
|
на |
(S, |
38(S)). |
||||||||
П ре д л о ж е н и е |
2.1. |
Пусть Р — вероятность |
|||||||||||||
Тогда для каждого B^38(S) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Р(В) |
= |
|
sup |
P(F) = |
|
inf |
|
P{G). |
|
(2.1) |
||||
|
|
|
{F c B .F |
замкнуто) |
{B cG ,G открыто) |
|
|
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
|
|
|
|
и |
выполнено |
||||||||
(2.1)). Если B e ? 1, то, очевидно, и В° (дополнение В) |
принадле |
||||||||||||||
жит <ё>. Если Впе 'g>, |
|
в = |
1, 2, ..., |
то и 0 В„ е |
<&. |
Действительно, |
|||||||||
для заданного е > О мы можем выбрать открытое множество |
Gn и |
||||||||||||||
замкнутое |
множество Fnтак, что Fnс: Д, с |
|
в P (6r„\F„)<е/2п+‘, |
||||||||||||
я — 1, 2, ... Положим G = |
оо |
»'* |
Р„,где |
л0 выбрано так, |
|||||||||||
(J Gn и F = |
(J |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
71=1 |
П~1. |
|
|
|
|
|
||
ч т о р ( |
(J |
F \ [j |
Fn j < е/2. Тогда |
G открыто, |
F |
замкнуто, |
В с |
||||||||
\ и = 1 |
\Т7=1 |
/ |
|
|
* |
|
|
{ |
°° |
|
\ |
|
|
||
°° |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
< е / 2 + |
|||||
d U Bna G |
P ( G \ F ) < S P(Gn\ F n |
+ Р |
U |
Fn\ F |
|||||||||||
71=1 |
|
|
|
сю |
|
71=1 |
|
|
\ Л—1 |
|
/ |
|
|
||
+ е/2 = |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
является о-полем, |
||||||
Поэтому U Впе с€ . Следовательно, |
|||||||||||||||
Если G открыто, |
71= |
1 |
Fn = {x: р(х, С?с) > |
1/п) замкнуто, Fnс: Fn+1 |
|||||||||||
то***) |
|||||||||||||||
*) Вообще, |
случайная величина — измеримое |
отображение |
из |
(Q, |
SF) в |
||||||||||
измеримое нространство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
**) |
В дальнейшем мы часто опускаем аргумент се. |
|
|
|
|
|
|||||||||
***) |
р {х, А) = inf р (х, у). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
USA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ |
13 |
|
|
|
В U F„ = G. |
Так как Р (G) = lim Р (Fn , получаем G s g 5, Следо- |
|
П |
П-*оо |
|
пательно, Ф = |
98(S) . |
|
Обозначим через С*(5) множество всех ограниченных непрерыв ных действительных функций на S. Множество Cb(S) является ба
наховым пространством с обычной нормой |/|| = sup |/ (ж) I *eS
/е С 4(5).
Пр е д л о ж е н и е 2.2. Пусть Р и Q — вероятности на (S, 98(S) ).
Если |
J / (ж) Р (dx) = | / (х) Q (dx) для |
всех функций / е С ь(5)', |
|||
|
s |
s |
|
|
|
то Р = Q. |
|
Согласно предложению 2.1 |
достаточно по |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||
казать, |
что |
P(F) = Q(F) |
для каждого |
замкнутого |
множества F. |
Если мы положим /п(ж) = ф(яр(ж, F)), где
(1, |
i < 0 , |
чр(г) = 1 — *, |
|
1о, |
* > 1 , |
to lim fn(х) = I F(ж) для каждого ж<=S. Следовательно, по теореме П-»00
омажорируемой сходимости,
Р {F) = lim [ fn(ж) Р (dx) = lim [ /„ (ж) Q (dx) = Q (F).
71—*COQ |
П-*00 Q |
П р е д л о ж е н и е |
2.3. Предположим, что S полно относительно |
метрики р, т. е. каждая р-фундаменталъная последовательность схо
дится. Тогда каждая вероятность Р на |
(S, 98(S) ) является |
внут |
||||||||
р е н н е р е г у л я р н о й в том смысле, |
что для каждого В е |
38(S) |
||||||||
|
|
|
Р ( В ) = |
|
sup |
|
Р(К). |
|
(2.2) |
|
|
|
|
|
{КсВ.К компактно) |
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Сначала докажем для каждого |
е > 0 су |
||||||||
ществование |
компактного |
множества |
K<=S такого, что |
Р (К) > |
||||||
> 1 — е. Так |
как S сепарабельно, то для |
заданного 6 > 0 |
S можно |
|||||||
покрыть счетным числом шаров радиуса б. Пусть б , ! 0 |
е |
пусть |
||||||||
дли каждого я |
0/tn), /с = |
1, |
2, ...,— последовательность замкнутых |
|||||||
шаров радиуса б„, покрывающих S. Тогда |
|
|
|
|||||||
|
|
|
i = P(S) = lim Р ( |
U |
о(А |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1-*оо |
\ k=l |
I |
|
|
|
и, следовательно, мы можем найти такое 1п, для которого |
|
|
||||||||
|
|
|
Р ( ;;У1^ П)) > |
1 - |
е/2П- |
|
(2-3) |
|||
ПОЛОЖИМ К = |
оо |
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
U Ол . Очевидно, что для каждого б > О К можно |
|||||||||
|
|
п=1 й=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЙ |
|
|
покрыть конечным |
числом шаров радиуса |
6, и, |
следовательно, |
К вполне ограничено. Поэтому полнота S влечет за собой компакт |
|||
ность множества К. Из (2.3) мы заключаем, что Р{ К) > 1 — е. |
|||
Далее, пусть B^3S{S). Согласно предложению 2.1 мы можем |
|||
выбрать замкнутое |
множество F<=B такое, |
что |
P{B)^P{F) + г. |
Теперь F' = F ПК |
компактно и Р (F) — Р (F') < Р{Ке) < е. Поэтому |
||||||
P(B)<;P(F') + 2е, |
из |
чего |
следует |
справедливость (2.2). |
{Рп |
||
|
О п р е д е л е н и е |
2.1. |
Последовательность вероятностей |
||||
на (S, &I{S)) называется |
слабо сходящейся к вероятности Р на |
||||||
{S, |
<%{S)), если для каждой функции /<= Cb(S) |
|
|||||
|
lim |
j" / (х) Рп(dx) = |
j' / |
(х) Р {dx). |
|
||
|
n -»o o |
g |
|
g |
|
|
|
|
Согласно предложению 2.2 P однозначно определяется последо |
||||||
вательностью {Р„}, |
и мы |
пишем |
Р = |
ц ;-Н тР п илиРп-*-.Р |
при |
||
п |
°о. |
|
|
|
|
71- » СО |
|
|
2.4. |
Следующие пять условий эквивалентны: |
|||||
|
П р е д л о ж е н и е |
||||||
|
(I) Рп^Р . |
|
|
|
|
|
|
|
(И) Н т j / (х) Рп {dx) = |
( / (х) Р {dx) |
для каждой равномер- |
||||
|
g |
|
|
g |
|
|
|
но |
н е п р е р ывно й |
ф у н к ци и / е С Д З ) . |
|
||||
|
(III) lim Рп {F) ^ Р {F) |
для каждого замкнутого множества F. |
|||||
|
П-*оо |
|
|
|
|
|
|
(IV) lim Рп(G) ^ Р (G) ft-»00
(V) lim Рп(Л) = Р (Л)
п~*оо
для каждого открытого множества G.
для каждого А е <#(£) с Р{дА) = 0 *).
Д о к а з а т е л ь с т в о . (1)=*-(Н) очевидно. Чтобы показать (II) =*- ( Ш ) , заметим, что использованные в доказательстве предло
жения 2.2 функции fk{x) |
равномерно непрерывны. Тогда из (II) |
||
следует, что |
|
|
|
lim Рп {F) < |
lim |
[ fk{х) Рп {dx) = |
[ fk {х) Р {dx), |
П -»оо |
71—*00 Q |
g |
|
и, устремляя к к бесконечности, получаем (III). Беря дополнения, получаем (III)■<=►(IV). Далее покажем (Ш)=^(1). Пусть / е С 4(5). Применяя линейное преобразование, мы можем предположить беа потери общности, что 0 < / < 1 . Тогда
h |
|
2J {i — 1)/к-Р {x\ {i — 1)/k< |
/ {x) < i/к} < |
i=l |
|
< f / (*) P (<&)< |
s j/* •P (ж; (i - 1 ) /* < /( * ) < i/fc). (2.4) |
*) ЗЛ = Л\Л — граница множества А, А — замыкание А ж А — внутревность А.
|
|
|
|
|
|
§ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ |
|
|
|
|
15 |
||||||||
Если |
положим |
Fi = {z: i/k ^ |
f(x ) }, |
то |
правая |
сторона |
(2.4) будет |
||||||||||||
|
|
ft—1 |
|
|
|
А—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равна |
|
S |
Р (Pi)/&, а левая |
2 |
Р (Рд/к — 1/к. |
Из |
(III)' |
следует, |
|||||||||||
ЧТО |
|
i—О |
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П т J / (х) Рп (dx) < |
lim 2 |
Рп (F^/k < |
2 |
Р (Р%)!к < |
|
|
|
|
|||||||||||
n-юо g |
|
|
|
n->oo i=*0 |
|
|
|
|
i=Q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< l/f t |
+ |
f |
f(x)P(dx). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
Так как к произвольно, заключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
П“ |
\f(x)Pn(dx)< |
f f(x)P(dx). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n->“ s |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заменяя в предыдущем рассуждении / на 1 — /, получаем |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
И т |
]*/ (х) Рп (dx) > |
j |
f(x) Р (dx). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
?г-»оо S |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
Нш |
[ / (х) Рп (dx) = |
f / (х) Р (dx). |
|
|
|
|
||||||||||||
Наконец, покажем, что |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
то в пред |
||||||||
(III)- « - (V ). Если Р(дА) = 0, |
|||||||||||||||||||
положении (III) (-« -(IV )) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Р (Л) = Р (Л) < |
Iim Рп(А) < |
iim Рп(Л) < |
Р (Л) = |
Р (Л), |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
П-юо |
|
|
|
П-*оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
видно, |
что |
lim Рп(А) = Р(А). |
Обратно, предположим (V ). |
|||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
п->00 |
|
|
|
и |
положим |
Ft = |
(я: р(х, F )< б). |
||||||||
F — замкнутое |
множество, |
||||||||||||||||||
Тогда |
dFi<={x: р(ж, |
F) = б) |
Л«, |
и так как Л* не пересекаются |
|||||||||||||||
при различных б, то множество тех б, для |
которых Р(Лв) > 0, не |
||||||||||||||||||
более |
чем |
счетно. Следовательно, |
можно |
выбрать 6i 1 0 |
так, чтобы |
||||||||||||||
Р (^Sj) = |
0 и поэтому P(c?F6;) = 0. Отсюда получаем |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Р (F) = lim Р (F0 ) = lim lim Рп(Р(,Л^ .lim |
JP„(F). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2—>00 |
|
|
1->оо п-*оо |
|
|
|
П —»оо |
|
|
|
|
||||
П р и м е р |
2Л. Если 5 = R, |
то существует взаимно |
|
однозначное |
|||||||||||||||
соответствие между |
вероятностью |
Р |
на |
(S, 98(S)) |
и |
ее |
функцией |
||||||||||||
распределения |
F(x) —Р ((—<*>, |
ж]). Тогда |
_ |
го |
|
эквивалентно |
|||||||||||||
«Рп~^Р» |
|||||||||||||||||||
<tFn(x) -*■ F(x) |
в каждой точке |
непрерывности х функций F». Вто |
|||||||||||||||||
рое |
предложение |
следует |
из |
первого |
согласно |
(V) |
|
предложе |
|||||||||||
ния |
2.4, а обратная |
импликация |
легко |
доказывается |
|
посредством |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 9 |
|
|
|
|
|
|
9 0 |
|
|
|
|
аппроксимации интегралов |
J / (х) dFп (х) |
и |
J f(x)dF(x) |
суммами |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— 0 9 |
|
|
|
|
|
— 00 |
|
|
|
|
|
Гммава.