6 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
|
пом yt = y совпадает с G(a(t, y)dt, b{t, y)idt). С другой стороны, если xt — броуновскоо движение*) (винеровский процесс), то рас пределение «стохастического дифференциала **) dxt = xt+it — xt
при условии {ж5, s < |
t) есть G(0, |
Idt). Эти соображения дают осно |
||||
вания записать, что |
|
|
|
|
|
|
dyt — a{t, yt)dl + |
b(t, y,)dxt; |
|
(0.2) |
|||
следовательно, yt можно |
было |
бы |
определять |
как решение |
инте |
|
грального уравнения |
|
< |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
||
yt = |
У0 + |
j а (s>У*) ds + \b (s, ys |
dxs. |
(0.3) |
||
о0
Однако Винер и Леви уже давно показали, что почти все траекто рии хI нигде не дифференцируемы, так что интеграл по dxt нельзя определить в обычном смысле. Чтобы обойти эту трудность, Ито ввел понятие «стохастических интегралов». Используя это понятие,
он получил возможность строить yt как единственное решение |
(0.3) |
||||||||
при |
заданном начальном значении |
у<>, |
если только |
a(t, |
у) |
и |
|||
b(t, |
у) |
удовлетворяют |
условию Липшица; |
более |
того, |
он показал, |
|||
что |
так |
построенный |
процесс yt на |
самом деле |
удовлетворяет |
и |
|||
исходному уравнению (0.1). |
([4] и [5]) |
независимо ввел |
|||||||
|
В Советском Союзе С. Бернштейн |
||||||||
стохастическое разностное уравнение и показал, что предельное рас пределение случайной величины, которая определяется этим урав нением, совпадает с фундаментальным решением уравнения Кол могорова. Гихман ([27], [28] и [29]) осуществил программу Берн штейна независимо от Ито и успешно построил теорию стохасти ческих дифференциальных уравнений.
Сегодня теория Ито применена пе только к марковским про цессам (диффузиопным процессам), но и к большему классу слу чайных процессов. Этот подход дает нам мощное орудие для опи сания и анализа случайных процессов. Так как теорию Ито можно рассматривать как интегродифференциальное исчисление для слу чайных процессов, то часто эта теория называется случайным анализом Ито или стохастическим исчислением.
Основной целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории стохастических интегралов и стоха стических дифференциальных уравнений. Как общепринято в на стоящее время, мы разовьем эту теорию в мартингальном обрамле-
*) Броуновское движение представляет собой случайное движение мик роскопических частиц, открытое английским ботаником Р. Броуном. Физиче скую теорию этого движения исследовал Эйнштейн [183]. Развитие математи ческой теории начинали Випер [20] и Леви [103].
**) Понятие стохастических дифференциалов рассматривал Леви [103],
[104], [105]; он использовал паводящее обозначение |\dt для dxt, где | • случайная величина с распределением G(0, 1).
ПРЕДИСЛОВИЕ |
7 |
пии. Первоначально введенная и развитая Дж. Л. Дубом теория миртингалов играет незаменимую роль в современной теории сто хастического апализа. Класс случайных процессов, к которым при менима теория Ито (обычно называемых процессами Ито или ло кально безгранично делимыми процессами), теперь расширен до класса случайных процессов, называемых семимартингалами. Попидимому, такие процессы являются наиболее общими, для которых может быть развита единая теория стохастического исчисления*). Стохастическое исчисление несколько отличного типа введено Струком и Вараданом под названием мартингалъные проблемы (этот элегантпый и мощный подход изложен в [160]). В этой кни ге мы, однако, предпочитаем следовать первоначальному подходу Ито, хотя влияпие Струка и Варадана будет проявляться во многих местах.
Глава I содержит некоторый предварительный материал, кото рый необходим для изложения и понимания нашей книги. В част ности, мы даем обзор теории мартингалов.
Понятие стохастического интеграла и формула Ито обсужда ются в главе II. Они составляют сердцевину стохастического анализа.
В главе III результаты главы II переформулированы более под ходящим для дальнейших приложений образом. В частности, сто хастический интеграл, введенный Стратоновичем [153] и Фиском [169], будет рассматриваться в рамках развиваемой теории и будет играть важную роль в главах V и VI.
Общая теория стохастических дифференциальных уравнений об суждается в главе IV. Решения этих уравнений не обязательно являются неупреждающими функционалами от соответствующих броуновских траекторий; решения с этим свойством мы выделяем как сильные решения. Далее, посредством стохастических диффе ренциальных уравнений строятся диффузионные процессы для за данных дифференциальных операторов, а в случае пространства состояний с границей — при заданных граничных условиях. Рас смотрение стохастических дифференциальных уравнений с гранич ными условиями естественно приводит нас к стохастическим диф ференциальным уравнениям по семимартингалам (более общего вида, чем броуновские движения) и по пуассоновским случай ным мерам.
В главе V главным образом изучаются потоки диффеоморфиз мов, определенные па дифференцируемых многообразиях, которые согласованы с заданной системой векторных полей. Стохастическое исчисление дает нам возможность перенесения множества важных операций из апализа и дифференциальной геометрии, определяемых
*) Современная теория семимартингалов и основанное на них стохасти ческое исчисление широко развиты французскими учеными Мейером, Деллашори, Жакодом и другими (см. Жакод [49]).
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
для класса гладких кривых посредством обыкновенного дифферен циально-интегрального исчисления, на класс стохастических кри вых. Потоки диффеоморфизмов — один из таких примеров. Вос пользовавшись аффинной связностью или римаповой связностью, мы в состоянии строить потоки диффеоморфизмов на пространстве расслоений реперов. Наиболее общую несингулярную диффузию можно тогда получить путем проектирования. Этим методом мы можем также осуществить стохастический параллельный перенос Ито тензорных полей. Эти идеи принадлежат Иилсу, Елворту и Малливену. Обсуждая подобную задачу в случае многообразия с краем, мы приводим вероятностное условие, которое отличает от раженные по нормальному направлению диффузионные процессы среди всех диффузионных процессов, отраженных по косым на правлениям.
Множество математических объектов, появляющихся в стохасти ческом анализе, например сильные решения стохастических диф ференциальных уравнений, представляют собой функционалы от соответствующих броуновских траекторий, т. е. броуновские функ ционалы или винеровские функционалы. В §§ 7 и 8 главы V мы знакомимся с недавней работой Малливена, в которой решения стохастических дифференциальных уравнений исследуются как винеровские функционалы. В этой работе он получает замечательный результат о том, что вопрос гладкости для решений уравнения теплопроводности может решаться этим вероятностным путем.
Несколько разнообразный материал изложен в главе VI. В пер вой половине мы обсуждаем некоторые вопросы, связанные с тео ремой сравнения. Хотя получаемые результаты обычно несколько слабее результатов, получающихся в теории уравнений с частными производными, применяемый вероятностный метод проще и иногда приводит к более точным результатам. Обсуждаемые во второй части вопросы более или менее связаны с понятием стохастической области, впедеппым Леви. Рассматриваемые в § 7 теоремы аппрок симации относятся к переносу понятий, определяемых для гладких кривых, на стохастические кривые.
Множество тем из области стохастических дифференциальных уравнений не рассмотрены в этой книге: например, теория стоха стического оптимального управления, фильтрация и устойчивость, приложения к предельным теоремам, приложения к уравнениям с частными производными, включая нелинейные уравнения и др. Мы особенно сожалеем, что не смогли включить важные результа ты Н. В. Крылова об оценках для распределений стохастических интегралов и их приложений (см., например, [95] и [96]).
Мы хотим выразить благодарность Г. Маруямэ за его постоян ный интерес и поддержку в продолжении работы над этой книгой. Мы в долгу также перед X. Кунитой за его критические замечания и конструктивные предложения и перед Ш. Накао, который очень помог нам в доказательстве теорем VI-7.1 и VI-7.2. Среди многих
ПРЕДИСЛОВИЕ |
9 |
других, которые внесли свой вклад, нам хотелось бы особенно по благодарить X. Асано, С. Котани, С. Кусуоку, С. Мапабэ, Ю. Ока- б:>, X. Окуру, И. Шигекаву за ряд полезных замечаний и исправ лений. В заключение мы также выражаем пашу признательность Т. X. Савитсу, который прочел рукопись и предложил грамматиче ские улучшения, и редакционной коллегии Коданша Сайнтифик за большую помощь в публикации этой книги.
Осака и Киото, |
Синдзо Вагапабэ, Нобуюки Икэда |
февраль 1980 |
|
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Теорема 1V-3.2, например, |
означает теорему 3.2 (вторая |
теорема из § 3) |
|||||
гл. IV. При ссылке па эту теорему в той же гл. IV пишется просто теорема 3.2. |
|||||||
Часто используются следующие обозначения: |
|
|
|
||||
А: — В означает, |
что А |
определяется через В или А обозпачается В. |
|||||
Л(х) =sB(x)\ А (х) |
и В(х) |
равпы тождественно, |
т. е. |
А(х) = В(х) для |
|||
всех х. |
|
(функции |
/) па подмножестве А области |
определения /. |
|||
/ [ а — сужение |
|||||||
А А В — симметрическая разность множеств А и |
В, т. е. (А\В) (J (Й\Л). |
||||||
U — ипдикаторпая функция множества А, т. е. IA (X ) = |
1 или 0 в зависи |
||||||
мости ОТ ТОГО, I E / 1 |
или х ф. А. |
|
|
|
|||
я V Ь\ шах (я, Ъ). |
|
|
|
|
|
||
a[\b\ |
min (я, Ъ . |
|
|
ожидание случайной величины |
X на событии |
||
Е {Х\ |
В) — математическое |
||||||
в
6;j, 6iJ, 8j: S Кронекера.
6,„) — едипичпая мера (Дирака) в точке а.
1.i..p.— предел по вероятности,
п.п.— почти наверное.
11- |
X (t), \t 1- X (i)l — отображеппе t >— X (/). |
R = |
R 1— действительная прямая. |
С — комплексная плоскость.
R<* — d-мерное евклидово пространство.
N — множество всех целых положительных чисел. Z — множество всех целых чисел.
7Л — множество всех целых неотрицательных чисел. Q — множество всех рациональных чисел.
[ж] — наибольшее целое число, не превосходящее х.
«Гладкий» обычпо означает С“ (т. е. бесконечно дифференцируемый), «до статочно гладкий» — то жо самое, что и «достаточно дифференцируемый».
Остальные обозначения будут поясняться там, где они впервые появятся.