Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ПО МАРТИНГАЛАМ

6 1

О п р е д е л е н и е

2.1. (I)

A = { A t) в предложении

2.1

(I) обо-

иничается через

(МУ =(<Л/>,)(>0.

2.1 (II)

обозначается

(II) Процесс

A = ( A t)

в предложении

через (М, N>=((M, N'>t)i>0-

Процесс (МУ =

(М, МУ

называется квадратической вариацией

М, а процесс

<М,

N) — квадратической

ковариацией

процессов

М в N.

(I) Поток

о не имеет

моментов разрыва,

т.

е. если

о„ —

возрастающая

последовательность

(@~t)-моментов

остановки

и

о = lim ап, то 9~a = \l&~Qn.

(II) M ,N e = J ( 2 .

(I), тоЛ/(ЛОп =

5

Действительно,

если выполнено

-+■ Е [Mt |^ 1д0] =

MtAo при

o „ t o

и,

следовательно, процесс

M(t)2

регулярен.

B(t) = (Bl(t),

Bz(t), ...,

Bd(t))— d-мерпое

П р и м е р 2.1. Пусть

(STt) -броуновское движение

с

5 (0 ) = 0 п. н. Тогда

для всякого

i

В1е М\ и (В‘,

BJ}(t) =

bijt,

i,

/ =

1, 2, ..., d. Известная теорема

•Нави утверждает,

что d-мерпое

(^",)-броуновское

движение

пол­

ностью характеризуется

этим свойством (см. теорему 6.1).

Пусть М е / г, а <МУ — квадратическая вариация М.

О п р е д е л е н и е 2.2.

Пусть & г(М) = {Ф = (Ф(£,

(о))(>0: Ф —

действительный

(&~t) -предсказуемый

процесс

и

для

всякого

Т > О

( IIФ «2!т 2 =

Е

Ф* (s, ы) d <М> (s)j

<

ооj .

(2.1)

Для Ф &3?г(М)

положим

| ф | " -

2

2“ " (||Ф||” ,А 1 ).

(2.2)

тегралы так же,

как и в случае с броуновским движением. Пусть

ОО

сначала Ф е

Тогда Ф (t) = /0 (ы) /«=0>(0 + 2 fi (ю)

(0>

1-0

§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ПО МАРТИНГАЛАМ

63

и

Е [(7м (Ф) (* Д т ) - I м(Ф) (^ Да)) (7м (9) (t Дт) -

Iм (9)(t Да)) |^а] =

(Лт

= Е

J(Ф'Р) (в)й<Л/> (в)|0*о 7?. н.

(2.8)

_ (Лег

(IV) £Ъщ

а является

()-моментом остановки, то

7Л1(Ф)(«Дст) =

7М(Ф')(Д для

* > 0 ,

(2.9)

#0е*) Ф '(*)“

Л«>|)Ф(0-

Доказательство то же, что и в предложении 1.1.

7М(Ф) и 7"(ЧГ)

Если М,

ф е г 2(М)

и 4 e & t(N), то

являются элементами пространства М г.

П р е д л о ж е н и е 2.3. Для t >

0

Е [(7м (Ф) (0 -

Iм (Ф) (я)) (IN (9) (t) -

Tym s ) ) l ^ s ]

=

t

= Е

f (Ф«Г) (в)й<А7, N}(u) \Tt .

(2. 10)

или, более символически,

<К7М(Ф ), Г ( У ) >, = Ф (t) 9

(t) d<M, N>,.

(2.11)'

З а м е ч а н и е 2.1. Из

(2.10) легко следует следующий резуль­

тат: если М, N е Ж Ф е 2 ДМ) и Ч' е 2«{N), то

Е I j\4>'V\(n)d\(M, Л >|(м)1<оо,

1.0

J

гди |</I/, V)|(/) обозначает полную вариацию функции s e [ 0 ,

*-• <Л/, W) (я). П самом деле, справедливо неравенство

(

Г<

-|l/2( t

j I Ф'1ГI (и) <*|<М,’V ) \(в) <

[ Ф (и)2 d <М> (в)

If ¥ (uf d <V> (в)

o

lo

J

to

( 2. 12)

которое легко доказывается, когда .Ф,

Ч* ^ S ’ а общий

случай

64

ГЛ. И. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

получается

предельным

переходом. Заметим, что

если

функция

t !->- At

имеет ограниченную вариацию на конечных интервалах и

непрерывна,

то найдется

такой предсказуемый

процесс

Ф(, что

t

]Ф*1 =

1 п. н. и |.4|, = j Ф(м) dAu.

видным

образом

обобщается

на случай

локальных

мартингалов.

Пусть

*). Тогда найдется такая последовательность

{SFt) -моментов

остаповки

о„,

что

апt 00

п. н.

иМ"п =

(MtMn)

№ п = (NtMn) принадлежат

Л г. Из единственности

квадратической

вариации следует,

что если т < п, то

< A f° m

(t)

=

< M ° n , 7V°“ > ( t / \ a m).

Следовательно,

найдется

единственный

предсказуемый

процесс

(М, АО

с

<М, N} (t ДсгГ1) =

<M°n, Аг°п) (t)

для

всех

га

и t > 0.

Вместо (М, МУ пишем (МУ.

О п р е д е л е н и е

2.4. Пусть

i l / e

J f1/ 0 и

S ’l00(А/) =

{Ф == (Ф (t)):

Ф — действительный

(/F ))-предсказуемый процесс

на

Q,

для кото­

рого найдется

такая

последовательность

t)-момептов

остановки

<т„, что ст„ t 00 II. II.

и

Thon

Е

f Ф*(«, a)d(M}(t)

<

00

(2.13)

для любых Т >

0 и га — 1, 2, ...) **).

Пусть

М е

Л1Г>Си Ф е

З?1.!4 (М).

Тогда,

очевидно,

мы можем

впt 00 п. н.,

М°п= {М (t f\on ) е Л 2 и

выполнено

(2.13). Поэтому

для процессов Ф„ (t, со) =

/( 0г1(щ)Х}Ф (С ®)

и М = М°п мы можем

определить

Iм" (Ф„),

и

нетрудно

видеть,

что

/ м™(Фт) (£) =

= 7м" (ФГ1) (t Дстт )

для m < га. Таким

образом,

существует един­

ственный процесс / М(Ф) (£), для которого

1Мп(Фn (t)

=

Iм (Ф)(t /\

У\п„), га = 1, 2, . . . .

Ясно,

что Iм (Ф) е

Л ^с.

О п р е д е л е н и е

2.5. Процесс Iм(Ф)

называется стохастическим

интегралом

от Ф

е ^ ос (М) по М ^ Л ^1 .

Величина

/ М(Ф)(£)

i

обозначается также через

] Ф (s)dM{s).

о

*)

См. определение

1.8.

непрерывен,

то

(2.13)

эквивалентно условию

**)

Если

процесс

<Л/>(

т