§ 4. СЕМИМАРТИНГАЛЫ |
71 |
в 4. Семимартингалы
Эволюция во времени физической системы обычпо описывается дифференциальными уравнениями. Кроме такого детерминистиче ского движения иногда необходимо рассматривать случайное дви жение, математической моделью которого является случайный про цесс. Многие важные случайные процессы имеют следующую общую характерную черту: их можно выразить как сумму среднего движения и флуктуации*) около этого среднего движения. Типич ным примером является случайный процесс X(t) следующего вида:
|
|
|
X (t) = X |
t |
i |
|
|
|
|
(0) + _f/ (s) ds + Jg (s) dB (,), |
|||
|
|
|
|
о |
о |
|
где f(s) |
и |
g(s) — процессы с соответствующими свойствами изме |
||||
римости, a |
\-dB — стохастический интеграл по броуновскому дви- |
|||||
|
|
|
|
* |
|
|
жепию |
B(t). |
Здесь |
процесс j f(s)ds — |
среднее движение, |
||
< |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а | ц {s) |
dB (s) |
— флуктуация. Такие |
процессы |
называются процес- |
||
п |
|
|
|
|
|
|
сами Ито, и они составляют очень важный класс случайных про цессов. Существенно]! структурной особенностью такого процесса нилпется то, что он представляет собой сумму процесса, траекто рии которого имеют ограниченную вариацию, и мартингала.
Вообще, |
случайный процесс X (/), определенный |
на (Q, |
3r, Р) |
|||||
с возрастающим семейством |
под-о-полей |
называется |
семи- |
|||||
мартингалом, если |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X(t)- X{Q) \- M(l) + A(t), |
|
|
|
||
ГДР |
— |
0) —0 |
ii.li,) локальный |
(&~t)-мартингал, a |
A (t) — |
|||
(Й(О)-И) И, И.) шщрпрыипый |
справа (&~t) -согласованный процесс, |
|||||||
Т|)йРИТО|1ИИ которого |
t — A(t) |
имеют |
ограниченную |
вариацию на |
||||
ИйЖДом |
коночном интервале |
и. п. Мы |
ограничимся |
рассмотрением |
||||
одного подкласса сомимартиигалов, с которым легче обращаться и который достаточен для рассматриваемых в этой книге приложе ний**). Говоря точнее, дадим следующее
О п р е д е л е н и е 4.1. Пусть, |
как обычно, заданы (Q, 9r, Р) |
|
и ((?~t) (>о- Определенный на этом вероятпостпом пространстве |
слу |
|
чайный процесс Х = (Х(£)) о |
называется семимартингалом, |
если |
*) Флуктуации можпо рассматривать как шум.
**) За подробным изложением общей теории семимартингалов мы отсыла ем читателя к книгам Мейера [124| и Жакода [4Я].
7 2 |
|
ГЛ. п - СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО |
|
|
|||||||
справедливо представление |
|
|
|
|
|
|
|
||||
X(t) = X(0) + M(t) + A(t) + |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t-t- |
*iЛ (s, |
|
|
|
t+ |
|
|
|
|
|
|
+ j |
x, •) Np(dsdx) + |
j [ / 2 (s, x, |
*) |
(dsdx), (4.1) |
|||||
|
|
0 |
x |
|
|
|
o x |
|
|
|
|
где |
X ( 0 ) — ^ ”о-измеримая случайная величина; |
|
|
|
|||||||
(I) |
|
|
|
||||||||
(I I ) |
M е ^ |
2,1ос (так что, |
в частности, Л/(0 ) = |
0 п. н.); |
|
|
|||||
(III) |
A = ( A ( t ) ) — непрерывный |
(SBt) -согласованный процесс с |
|||||||||
Л (0 ) = 0 |
п. н., и t^-*A(t) |
имеет ограниченную |
вариацию |
на каж |
|||||||
дом интервале п. н.; |
|
|
|
|
|
|
(QL) |
на |
|||
(IV) |
р — (&~t)-согласованный точечный процесс класса |
||||||||||
некотором пространстве состояний |
(X, Л( Х) ) >/1 |
s Fр, |
/г |
f р |
и |
||||||
|
|
|
|
|
/./*“ |
0. |
|
|
(4.2) |
||
Нетрудно видеть, |
что в |
представлении (4.1) |
процесс |
M(t) |
оп |
||||||
ределяется единственным образом; он называется непрерывной
мартипгалъной частью |
X(t). |
Разрывы X(t) |
определяются |
двумя |
|
последними членами в |
(4.1); |
согласно |
(4.2) |
эти два члена не име |
|
ют общих разрывов. |
|
Леви.) |
Пусть |
X (t)— d-мерный |
одно |
П р и м е р 4.1. (Процессы |
|||||
родный во времени процесс Леви (т. е. непрерывный справа про
цесс со стационарными независимыми приращениями), |
а (В~ ,) , ^ 0 |
|||||
порожден траекториями |
X(t). Пусть |
Dp = { l > 0 : |
X(t)¥=X(t—)) |
|||
и для JeDp пусть |
p(t) = X(t) — X (t - ) . |
Тогда |
p |
определяет ста |
||
ционарным (&~t) -пуассоновский процесс |
на X = R'\{0} |
(см. опре |
||||
деление 3.1). Знаменитая |
теорема Леви— Ито*) |
утверждает, что |
||||
найдутся d'-мерное |
,)-броуновское движение |
В (t) = |
(Bh(<))^=l, |
|||
0 s £ d ' < d , d X d'-матрица A = (a'h) B = (b*), для которых Х (1 ) = (Х‘ (1 ), ставить в виде
ранга d' и d-мерный вектор Xz(t), ..., Xe(t)) можно пред
|
dr |
1+ |
f |
|
X* (t) = Х { (0) + |
2 |
а\В" (f) + blt + l |
x4 {M>l}Np (dsdx) + |
|
|
h_I |
0 |
Rrf\(o> |
|
|
t+ |
|
|
|
+ |
i |
I ^ f (M<:i}Np(dsdx), |
1 = 1 ,2 .........d. (4.3) |
|
0Rd\{0}
Вэтом случае компенсатор Np(dsdx) процесса р имеет вид
N(dsdx) = dsn(dx), где n(dx) — характеристическая мера р; n(dx) также называется мерой Леви процесса X. Она является о-конечной
*) См. Леви [103] и Ито [61], [72].
|
|
|
§ 5. ФОРМУЛА НТО |
|
|
|
|
73 |
|||
мерой на |
R' \ {0 } со |
свойством |
|
|
|
эо. |
|
|
|
||
|
j |
{|z|2,(l+ |
\x\2) } n { d x ) < |
|
|
|
|||||
|
R'*Mo> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В вышсприведснном представлении броуновское движение |
|||||||||||
(#*(/)} и р автоматически независимы (см. § 6 ). Согласно |
|
(4.3) |
|||||||||
получаем следующую формулу Леви — Хипчина: |
|
|
|
||||||||
Е [ei<E.A-«)-*«>| |
= е«-*жы |
п н |
t > s > 0 ' |
I е Rd, |
(4.4) |
||||||
»Д0*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (6 ) -------- J <A A *I , g> + £ <я, I) |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
J |
(ек*’*> — 1 — |
|
<1> •г» п №)• |
|
(4.5) |
|||
|
|
|
И,г\{0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
X (£) — заданный |
семимартингал |
относительно |
|
t) и |
||||||
пусть ноток {&"t) порожден траекториями X (£). Очевидно, |
3~\ cz |
||||||||||
cz У | дли всякого |
1^0. Нетривиальным |
является |
то, что |
X (t) — |
|||||||
Также семимартингал относительно **) (@~?)- |
Непрерывная мартин- |
||||||||||
гальнаи часть X(I) |
относительно |
i ) отличается от непрерывной |
|||||||||
Маргинальной части относительно |
(/Г,), и вообще исследование во |
||||||||||
просе 0 ТИМ, насиольио иамепиеп н |
мартиосальпая |
часть при |
заме |
||||||||
на МСКП/ИШГО семейство, инляотси важной проблемой***). |
|
|
|||||||||
| П. Формула Кто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула Ито |
•важнейшее орудие в изучении семимартипгалов. |
||||||||||
Она Дает нам дифференциально-интегральное исчисление для тра екторий случайных процессов.
Пусть (U, 3F, Р) с ()|>* заданы, как и выше. Предположим, что не атом вероятностном пространстве заданы:
(I)М'(1)< -.Л1Ш ( / - 1 . 3 .......... dy
(II)И'(/) (< ""1 , 2 , .... г/)— непрерывный (^F,)-согласованный
Процесс, почти все траектории которого имеют ограниченную ва риацию не каждом конечном интервале, и Л‘ (0 ) = 0 ;
(Ш ) р - - точечный процесс класса (QL) относительно |
(&~t) |
на * |
|||||
некотором |
пространстве состояний |
(X, 31 |
(X) ), |
и f |
(t, х, |
o ) e F „ |
|
g*(t, х, e>)e F p 100 (t = 1 , 2 , . . . , d ) c |
f(t, x, |
|
x, |
ю) = |
0 , i, |
j =■ |
|
- 1 , 2 , ..., |
d; |
|
|
|
|
|
|
*) А* обозначает транспонированную матрицу A. **) См. Стрикер [155].
***) Общую теорию и приложения см., например, Джолин [40]. В теории 1ильтрации этот вопрос связан с понятием «обновления»; см. Фуджисаки, !аллианпур, Купита [171].
74 |
ГД. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО |
|
||||||
(IV) |
Х!(0) |
(1 = |
1, 2, |
d) — ^"о-измеримая |
случайная |
ве |
||
личина. |
|
d-мерпый |
семимартингал |
X(t) = (Xl(t) , X2(t) , ... |
||||
Определим |
||||||||
..., X“(t)) посредством равенства |
|
|
|
|
||||
X* it) = |
X 1(0) + М1{t) + A1it) + |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
1, 2 , |
(5.1) |
Обозначим также / = (/*, /\ |
..., f ) |
и g = (g\ g\ |
gi). |
|
||||
Т е о р е м а |
5.1. |
(Формула Ито.)*) Пусть F — функция класса |
||||||
С2 на R", а Х(1) — определенный |
выше |
d-мерный семимартингал. |
||||||
Тогда случайный процесс F (X (t))— также семимартингал (относи тельно (£Г|)‘><>) и справедлива следующая формула**):
+ |
4~ 2 ^F"i}(X{s))d(M l,M iy(s) + |
||
+ |
J |
f {F (X(s - ) + f ( s, x , . ) ) - F |
(X (s - ) ) } Np {dsdx) + |
|
о |
X |
|
+ |
J |
f {F (X ( s - ) + g (*, X , . ) ) - |
F (X is - ) ) } Np {dsdx) + |
|
0 |
X |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Чтобы |
избежать осложнений |
в обозначе |
ниях, будем предполагать, что |
d = 1 ; в многомерном |
случае дока |
зательство, в сущности, то же.
Сначала докажем результат в случае непрерывных семимартин
галов:)* |
(5.3) |
X(t) = X(0) + M{t) + A(t). |
*) См. Ито [6G], Купите, Ватапабэ [101) и Долеанс-Даде, Мейер [41].
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. ФОРМУЛА НТО |
|
|
|
|
|
75 |
||
li этом случае формула |
(5.2) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F ( X ( t ) ) - F { X { 0)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- |
j |
F' (X («)) dM (s) + |
[ F' (X {$)) dA (s) + ± |
j F" (X (s)) d <M> (s). (5.4) |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
О, |
если |
| Х (0)| > п , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
inf {£; |Л /(01 > » , |
или |
|Л|(£)>ге, |
или |
|
( <Л/> (t) \> п}, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |X (0 ) |^ п. |
|||
Очевидно, |
t °o |
п. п. Следовательно, |
если |
мы |
докажем |
(5.4) для |
||||||||||
X(t/\т„) |
па |
множестве |
( т „ > 0 }, то, |
устремляя |
потом |
п t °о, |
сразу |
|||||||||
получим (5.4). Поэтому мы |
можем |
допустить, что |
Х (0), |
M(t), |
||||||||||||
И |
(I), |
<A/>(i) |
ограничены |
по (t, |
<о), и F(x) — функция |
из С2 |
||||||||||
с компактным носителем. |
А — разбиение |
отрезка |
[0, f], |
зада |
||||||||||||
|
Фиксируем |
t > О, |
и |
пусть |
||||||||||||
ваемое |
посредством |
0 = |
< ... < tn= |
t. |
Согласно |
теореме о |
||||||||||
среднем значении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F (X (0) ~ F ( X (0)) = |
Ц |
{F (X (**)) - F (X (tft-O)) = |
|
|
|
|||||||||||
|
п |
|
|
|
|
А—1 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- |
2 |
F' |
(**-0) iX (h) - х (**_,)} + 4 - 2 |
F" (6ft) {x (*ft) - |
x |
|
||||||||||
гдо %kудовлетворяет условию |
X ПА Д Х (th- j) < |
|
h < X (th \/X (th-i). |
|||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нвио, что при |A \- |
max 1 tk — tk- 1 (-»- 0 i t -► J (X (s)) |
(s) |
II, II, Исли ПОЛОЖИТЬ |
0 |
|
|
|
|
ФА (.V, о) * / (s = 0>(») Г |
(X (0)) + is /(<*_!.f*I (*) ^ (х |
|
A=I
■
Ф(а,са) = Г ( Х ( а ) ) ,
ТО и