|
|
§ 6. МЛРТИНГАЛЬНЛЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ |
8 1 |
Jт |
F" (X n(s)) d <М> (s) -v J F" (X (s)) d <Л/> (s) |
п. н., |
|
о |
|
о |
|
J* I {F (Х „(s) + |
g<»> (*, X, •)) - F (Хп (s)) - |
|
|
о х |
|
|
|
-£<">(«,** |
|
+ |
-))-F (X (s ))~ |
|
|
о X |
|
i+ |
— g (s, X , •) F' (X (*))} Np (dsdx) |
|
J (F (Xn{s - ) + /(,,) (*, x , . ) ) - F (Xn (s - ) ) } JVP (dsdx) |
||
J |
||
0 |
X |
п . H . ,
|
- V |
i+j |
j {F (X (s — ) + / (s, X , •)) — F (X (s —))} JVp (<Ы*) |
п. H. |
и |
|
|
|
|
t+ |
f {F (Xn (s - ) |
|
|
|
f |
+ *<»> (*, x, •)) - F (X„ (* - ) ) } Яр(dsdx) |
|
||
O |
X |
|
|
|
|
<+ |
|
|
|
|
j |
J {F (X (s —) + g (s, x, •)) — F (X (s —))} Nv(dsdx) в |
Jlv |
|
оx
Таким образом, доказательство (5.2) для X(t) завершено.
§ 6 . Мартингальная характеризация броуновских движений и пуассоновских точечных процессов
Замечательно, что многие интересные случайные процессы ха рактеризуются как семимартишалы, характеристики которых (на пример, процесс квадратической вариации непрерывной мартингальиой части, компенсатор точечного процесса, описывающий разрывы имЛиричных траекторий) нилиютси заданными функционалами от иыЛнрочнмх траекторий*). Мартингалъные проблемы (введенные янсримо С.труком и Нараданом [157]) являются как раз такими способами определения случайных процессов. Они оспованы на том факте, что такие основные случайные процессы, как броуновские движения и пуассоновские точечные процессы, характеризуются в терминах семимартингальпых характеристик. Этот факт, сам по себе, можно рассматривать как типичную мартингальную проблему.
Т е о р е м а 6.1. |
Пусть |
X(t) = (Xl(t), X2 (i), ..., |
Xd(t)) — d-мер |
ный (@~1 )-семима.ртингал с |
X 1(t) - X 1 (0 )e= jr£ ',oc |
(6 .1 ) |
|
' |
М 1(t) = |
||
*) Григелионис |
[33]. |
|
|
ЛС. Ватанабэ, Н. Икэда
82 |
ГЛ. И. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО |
|
|
|
||||||||||
и |
|
<М\ Ms>(0 - 6 ut, |
i, / = |
1 , 2 , . . d. |
|
(6.2) |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
Тогда X(t)— d-мерное (3F^-броуновское движение*). |
|
|
|
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать, что |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Е |
|
|
|gr j |
= e- f m(,- s) п . „ . |
|
(6.3) |
|||||
для всяких |
|
|
и |
t > s '> 0. |
Пусть F(x) = |
ei<5'*>. Применяя |
фор |
|||||||
мулу Ито, находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е « 5 .х (0 ) _ |
e i<l,A'(s)> |
= |
|
|
|
|
|
- 6i) |
|
|
(6.4) |
|||
|
d |
с |
|
|
|
|
d |
с |
е ^ х(иМи. |
|||||
|
2 |
J |
Hhe ^ x^>dMk (и) +4- 2 |
J ( |
||||||||||
|
Ь=1 |
|
|
|
|
|
h = l |
s |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
(6.2) |
влечет за собой, что М 1е |
Ж\, и поэтому |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
•< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
J |
:(u»dMk (u)\&-s |
= 0 п. н. |
|
(6.5) |
||||||
Возьмем |
любое |
А е |
Тогда, |
умножая |
обе |
стороны |
(6.4) |
на |
||||||
е -« 5 , *<«»/А и б е р Я |
математическое ожидание, получаем |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Ё [eUl.xw- *(*»/А] _ |
р (Л) = — Ш ! j |
Е [вке.-г<и>-*(«»/А] du. |
|
|
||||||||||
Из этого интегрального уравнения сразу находим, что |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Е [е‘«.*(‘>-*(*)>: А] = Р (A) е“ 5|8,,(|-*\ |
|
|
|
||||||||
что и доказывает |
(6.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В частности, из этой теоремы вытекает, что непрерывный про |
||||||||||||||
цесс Х(1) |
является |
одномерпым |
броуновским движением |
тогда |
и |
|||||||||
только тогда, |
когда |
процессы |
t |
X (t) |
и t >-»• X (t)z — t |
являются |
||||||||
мартингалами. Этот результат известен как теорема Леви |
(см. Дуб |
|||||||||||||
[43J, глава VII, теорема 11.9). |
|
|
|
..., |
Xd(t))— d-мерпое |
|||||||||
П р и м е р |
6.1. Пусть X(t) = (Xi(t), X?(t), |
|||||||||||||
(lEt) -броуновское движение и р = |
{pi (£, ш)) — процесс, значениями |
|||||||||||||
которого |
являются ортогональные |
d X d-матрицы, |
и каждая компо |
|||||||||||
нента Pi {t, ft») |
является |
(ZEt) -предсказуемым процессом. Положим |
||||||||||||
M l (t) = |
|
(1 )- Х * (0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|
d |
.{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xh{t) = |
|
|
|
|
|
к = |
1, 2, . . . . |
d, |
|
|
||||
x b(0) + 2 |
I Pt (t, to) dMl (s), |
|
|
|||||||||||
______________ |
|
'=i о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
*) См. определение 1-7.2.
|
|
|
§ 6. МАРТИНГАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ |
|
|
83 |
||||
где |
Т?*(0)— ^"о-измеримая |
случайная |
|
величина. Тогда |
X(t) = |
|||||
— {X^t), X2(t), |
..., |
X?(t)} — d-мерное |
{SFt) -броуновское движение. |
|||||||
Действительно, если Mh(t) = Xh(t) — Хк(0), то получим |
|
|
|
|||||||
_ |
__ |
I d |
Pm (S, to) p‘n(s, (o) d <Mm, Ж ") (s) = |
|
|
|
||||
<Mk, М'} (t) = |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
W,n«l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
d |
Pm (S, (O) p'm («, W) |
= |
6ftzf . |
|
|
|
|
|
|
= ) |
2 |
||||
|
|
|
|
|
0 m=l |
|
|
|
||
|
Т е о р е м а |
6.2. Пусть p — точечный процесс класса |
(QL) |
огио- |
||||||
сителъно {N't) |
|
с некоторым |
пространством состояний |
(X, |
Т#(Х)) |
|||||
и пусть компенсатор процесса Np(dtdx)— неслучайная а-конечная мера на [0, °°)ХХ . Тогда р — {N't)-пуассоновский точечный про
цесс. Если, в частности, NP{dtdx) —dtn{dx), где n(dx)— неслучай ная а-конечная мера на X, то р — стационарный {N't)-пуассонов ский точечный процесс с характеристической мерой п.
Д о к а з а т е л ь |
с т в о . Идея доказательства, в |
сущности, та |
же, |
|||
что и в теореме |
6.1. Пусть |
O s ^ O |
и |
пусть |
U,, U2, ..., Umе |
|
е ^ ( Х ) — непересекающиеся |
множества |
с |
Np((0, |
t]X U k < °°, |
k = |
|
— 1, 2, ..., m. Достаточно доказать, что |
для X,, Хг, ..., А,т > 0 |
|
||||
|
|
охр - |
2 (e~Kh- 1) Np ({s, t) X |
Uh |
. |
(6 .6 ) |
|||||
|
|
|
|
h—l |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, из (6 .6 ) легко можно |
вывести, |
что |
TVP(F,), |
||||||||
Np(Ez), ... независимы, |
если |
Еи Ег, . |
|
((0, ° ° ) ) Х $ ( Х ) — не- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
m |
xhxk |
|
пересекающиеся. |
|
Пусть |
F (х1, хг, |
. . . , хт = |
охр |
2 |
|||||
/* (f, х, to) = I Uk (х), |
/ = (/1 , / 2, |
. . . , / т). |
Тогда |
|
|
fc=i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
J |
[ |
/h(s, ЛГ, |
•) TVP (dsdx) = |
TVP ((0, f] |
X £/*) |
|
|
|
|||
о |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и по формуле Ито |
(полагая N {t) = {Np{ (0, |
t]X U ,), ..., TV„((0, |
£]X |
||||||||
X Hffl) )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (TV (*)) — F (N (s)) = f j |
[F (TV (u - ) + |
/ (“ . *, |
*)) - |
|
|
|
|||||
— F (TV (u —))] Np (dudx) = мартипгал |
+ |
1 1 |F (TV (H) + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
X |
|
|
|
|
|
|
|
+ / (и, X, |
.)) — |
F (TV(M))],TVp (rfudr). |
|||||
6*
84 |
ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО |
Но
F ( N ( u ) + /(ы, х, •)) — F ( N ( u )) =
= exp |
KkN((0, u]XUk exp |
l hI Uh (x) |
Следовательно, как и в доказательстве теоремы 6.1, отсюда полу чаем, что
для любого А — 9",. Следовательно,
Этим доказано равенство (6 .6 ). Если, в частности, Np(dtdx) =
= dtn(dx), то
и тем самым р — стационарный пуассоновский точечпый процесс с характеристической мерой n(dx).
Теорему 6.1 п теорему 6.2 можно объединить в пижеследующую теорему 6.3. Интересно отметить, что независимость броуновского движения и пуассоновского точечного процесса получается авто матически.
Т е о р е м а 6.3. Пусть X(t) = (X'(t), X2(t), ..., Xd(t)) — d-мер- пый {ЗГг)-семимартингал и р„ рг, ..., рп— точечные процессы клас
са (QL) относительно (^*<) с пространствами |
состояний |
X,, Х2, . .. |
|||
..., Х„ соответственно. Предположим, что |
|
|
|
|
|
М х (t) = X 5 (t) - |
X х(0) s |
JTC2>I0C, |
|
(6.8) |
|
<М\ M}>(t) = 8fjt, |
i, / = |
1, 2, |
.... |
d, |
(6.9) |
|
|
|
|
§ 6. МАРТИНГАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ |
|
|
|
|
85 |
||||||||||||
компенсатор Np.(dtdx) процесса р является н е с л у ч а й н о й |
|
|
|||||||||||||||||||
и |
|
|
|
a-конечной мерой па [О, °°)ХХ,-, |
i = 1 , 2 , .. ,,п, |
(6 .1 0 ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с вероятностью единица области Dp. — попарно |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непересекающиеся. |
(6 .1 1 ) |
||||||||
Тогда |
X(t) — d-мерное |
{ЗГ,) -броуновское |
движение, |
а |
р( |
(г = |
|||||||||||||||
= 1 , |
2 , ..., п) — (^ t)-пуассоновский |
точечный процесс |
и они |
вза |
|||||||||||||||||
имно |
независимы . |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
|
|
|
|
|
и |
положим |
p(t) = |
||||||||||||
|
Dp = (J Dp., |
|
|||||||||||||||||||
• |
|
|
|
f е Dp.. Тогда |
мы |
|
|
i=l |
точечный процесс |
р на |
|||||||||||
■=рД£), если |
получаем |
||||||||||||||||||||
сумме*) |
П |
|
который, очевидно, |
является |
|
точечным |
процессом |
||||||||||||||
U |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
г ~ 1 |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
класса |
(QL) |
с компенсатором |
Np(dtdx) = |
2 |
lx, (х) |
‘ |
(dtdx). |
Сле- |
|||||||||||||
дователыю, р — (^*()-пуассоновский |
|
|
i= l |
|
4 |
' |
|
|
|
|
|||||||||||
|
точечный |
процесс. Отсюда оче |
|||||||||||||||||||
видным образом следует, что р(, |
г = |
1 , 2 , |
..., |
|
п,— взаимно |
незави |
|||||||||||||||
симые |
пуассоновские |
точечные |
|
процессы, |
так |
как |
X; |
предполага- |
|||||||||||||
ются пепересекающимися |
(по определению суммы |
П |
Х {). |
Поэтому |
|||||||||||||||||
U |
|||||||||||||||||||||
достаточно доказать |
независимость |
|
X(t) и р, |
а |
1= |
1 |
|
|
в |
свою |
|||||||||||
|
для этого |
||||||||||||||||||||
очередь достаточно показать, что для любых t > |
s ^ 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Е |
exp (г <|, X (t) — X (s)>) exp |
- |
2 |
M TP((S, ^]X^ft)|^*s |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й = 1 |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
||
|
= |
exp |
|
Y |
(|| 2 (t — s) exp |
|
|
|
(exP (— h) — 1) NP {(s, t] X Uh j , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6. 12) |
гдо |
I, |
X, ■" (кь) , W() имеют тот |
же |
смысл, |
что |
и в доказательствах |
|||||||||||||||
теорем 6.1 и 6.2. Пусть |
Е (х1, . . . , |
х*, у1, . . . , |
ym |
= |
exp (i <£, х>) X |
||||||||||||||||
X охр ^— 2 |
h y ’^j п |
применим |
формулу |
Ито к |
(d 4- m )-мерному |
||||||||||||||||
семимартингалу |
(Xi(t), |
Np((0, |
J]X ?7k) ) f=1 2 |
d : k = 1 2 |
|
m; |
|
(6.12) |
|||||||||||||
тогда получается, как в доказательстве предыдущих теорем. |
|
||||||||||||||||||||
|
*) |
Сумма |
Хь |
Хг, ..., Хп — такое |
множество Н, для которого существует |
||||||||||||||||
семейство |
подмножеств |
Hi, |
Н* . . Нп со следующим свойством: Hi взаимно |
||||||||||||||||||
не |
пересекаются, |
п |
Н. = |
Н |
и |
существует биекция |
между |
Xi |
и |
Н( для |
|||||||||||
U |
|||||||||||||||||||||
i=l
п
всякого U Отождествляя Ili с Xi, мы часто обозначаем сумму как U Х г i=i