Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

86 ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО

Отметим, наконец, что строго марковское свойство броуновских движений и пуассоновских точечных процессов является простым следствием теорем 6 . 1 и 6 .2 .

Т е о р е м а	6.4. Пусть X(t) = {Xl(t),		X2(t), ..., X ’(t)) — d-мер-
пое (&",)-броуновское		движение, а а — (@~t)-момент		остановки с
о < ° ° п.н.*).	Пусть	X*(t) = X(t + a)	и	е [О, °°).

Тогда X* = (Х*(<)} — d-мерное (^*)-броуновское движение. В част ности, B*(t) = X(t + а) —Х(а) — d-мерное броуновское движение, ко


торое не зависит от	0 = 3го.			теореме	о преобразовании	сво
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Согласно
бодного выбора M*‘(t) = X‘ {t + a)~ Х‘(а) является локальным						мар
тингалом относительно		(/iF*)	и,	кроме	того, <Л/', MJ> (£) =
= 8u(t + а — о) = 8,}t,	i, / = 1, 2,		...,	d. Тогда утверждение теоремы
следует из теоремы 6 .1 .

Аналогично, справедлива следующая Т е о р е м а 6.5 **). Пусть р — стационарный {&~,)-пуассоновский

точечный процесс на пространстве X с характеристической мерой n{dx), а а — (#"\)-момент остановки с а < ° ° п.н. Пусть точечный процесс р* на X определен посредством

D p * = { С t - ( - o s D p }

и p*(t) = p(t + a), f e Dp*. Пусть @~*= @~t+a. Тогда p*— стацио нарный (£Г*\пуассоновский процесс с характеристической мерой п.


Пусть	X(l) = (X'{t),		X2(t),	...,	X''(t))— d-мерное броуновское
движение	на полном вероятностном				пространстве и пусть			( £ ■ ? ) -
семейство а-полен, порожденное выборочными							траекториями		X(t):
= о {X (.<?): si^.t} у Ж. Здесь				JP	обозначает		совокупность		Р-пу-
левых множеств.
Л о м м а 6.1.		н-о =	.	p(t,	х) задан		посредством	(1-7.1),
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть
и положим ***)
	(Н,1)(х)= $ p ( t , x - y ) j ( y ) d y ,					/<= C0 (R ").

Тогда (//<} образует сильно непрерывную полугруппу операторов

*)	Если предположить всего лишь Р(а <		оо) > 0, то вывод остается вер
ным на сужении Q до Й П { а < о о ) и с заменой Р на Р(») «= Р(«П {о < ° ° })/
/Р(о <	оо).
**) См. Ито [73], где эта теорема называется свойством силысого восста
новления.		всех	непрерывных функций на Rd с
***)	C0(R'i) — банахово пространство
lim \|/	(х) \|= 0, а норма И/ 1\|■= шах \|/	(х) \|.

1x1-»оо

xeRd

		§ 6. МАРТИНГАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ				87
па С0(Н'!). Перепишем			(1 -7 .2 ) в следующем виде:
Е [ / l { X	[tl>) /2 ( X (^2)) ' ‘ ' f n ( X (C l))] =
			= J р (dx) IIп (t^, i2, •. •, tm /17 f2i			•••, / n) (®)*
			Rd
где	/ „)s C 0(Rrf)		/„ /2)	/ ne C 0(Rd), а	tf„(f„	<2, ....
/ 1, /2,	/ „)s C 0(Rrf)		определяется	по индукции	следующим об
разом:
\|Я П(^, t2>••4		С«> /ц /г? ••ч /п) =
	=	Н п —1 (С> ^2* •••» tn —li		/1) /г> •••1 /п —2) /п —1 ^ ( „ —(n_]/n)t

Я х(г; /) = //,/.

Следовательно, если 4 -i ^ t < tk, то

Е l/i(X (*х))/2 (X (*,))... /„(X(<„))1я-f] = п П(*(h)) X

						i= l
	X H	fc+i {tk		£,		* * *»	//i? /й+i? •* •t fn) (-X* (0)>
п поэтому			(t2)) ...in (X (f„))l <rf40]=
E [/1 (X (tx)) /2 (x			(t2)) ...in (X (f„))l <rf40]=
	— ПшE [/j(X (C))/2 (X (t2)) ••• in {X (Ci)) I ИГ;+л] =
		ft 1 0			= E [/, (X (tj) f2 (X (t2)) ■••/„ (X («»)) 1 r f ] .
					= E [/, (X (tj) f2 (X (t2)) ■••/„ (X («»)) 1 r f ] .
Этим доказано, что				^"/+o =		возрастающей		последовательности
	Л е м м а	G.2.	Для		любой	возрастающей		последовательности
{@~f) - моментов остановки а„ имеем
					v n	n= n
					п
где	о = lim ст„,
	71--* СО				В силу	строго марковского			свойства
	Д о к а з а т е л ь с т в о .				В силу	строго марковского			свойства
Е l/x (X (t,)) f2 {X (t2 ) . . . f n{X (Ci)) 1&-?] =
	n			h - i
“	2			И / i	(■^ (^i))	ft+ i (^/t		4-1	• * * > tn T,
	h=l		rt—1
					/», /ft+i. •••. /».) (x		(*))	+ П	U (x (*«))
								i=l

для любого ( i F f ) -момента остановки т. С использованием этого соотношения лемма доказывается так же, как и лемма 6 .1 .

8 8	ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО
8 8
	Пусть В‘ (О = Х !У )-Х \ 0 ), г = 1, 2,	d. Тогда*)

е Л\ {дг?). Следующая теорема, впервые доказанная Ито как при ложение кратных интегралов Винера — Ито (см. [67]), очень по лезна и часто будет использоваться в этой книге. Данное нами доказательство основано на теореме 6.1 и принадлежит Доллашери [38].

Т е о р е м а 6 .6 . Пусть М =	{Mt) е	Л г{@~*)	(л1°с (P'j1)). Тогда
найдутся такие Ф; е	(И?™0	=	1 , 2 , ..., d, что
d	r		(6.13)
М (t) = S	J Ф« (s) dBl (s).		(6.13)

i = 1 о

то есть каждый мартингал относительно естественного потока (^ " f)

представим в виде суммы стохастических	интегралов по о с н о в
ным (базо вым ) мартингалам В\ i — i, 2,	..., d.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предполагаем, что	Х ( 0 ) — константа. До

казательство легко сводится к этому случаю с применением стан дартного рассуждения. Для простоты обозначений предположил!,

что d = 1, т. е.	X (t )~ одномерное броуновское	движение	и B(t)=*
= X(t)—Х(0).	Достаточно доказать (6.13) на	каждом	конечном

интервале [О, Г], поскольку легко видеть, что процесс Ф на раз личных интервалах определен согласованно и поэтому определяет выражение (6.13) на [0, °°). Поэтому пространства Л г. Л^, 3?г и т. д. будем считать определенными относительно естественного

потока (&~t ) с t е		[О, Г].	Пусть
	Л * =	\|л/ (i) =	j Ф (*) dB (5) : Ф е		S ’, J<= Л\.
Теорема утверждает, что			Л г = Л*. Чтобы		доказать это, мы		сна
чала покажем, что каждый мартипгал М е Л г можно						представить
в виде		М (t) = Л/, (t) + M2(t),					(6.14)

где JV/j е	Л*, Мге Л 2 и		удовлетворяет условию <Л/2,			N) = 0 для
всех N ^ Л г. Очевидно, что если такое разложение существует, то
оно единственно.
Пусть	Ж = {Л/х (Т): М1е			Л*\. Нетрудно видеть,		что	Ж —
замкнутое	подпространство			пространства S ’liQ, Р). Пусть			Жх —

ортогональное дополнение пространства Ж. Тогда, в силу того, что М ( Г ) е i ? 2 (Q, Р), имеем ортогональное разложение

М (Г) = # , + //,,

*) Ж\ (& "?) — пространство Жс% относительно

§ 6. МАРТИНГАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ

где

II2^ Ж1-.

По

определению, IIi (е>) =

J Ф (s)dB(s),

где

Ф е ^ , , Пусть

M2(t) — непрерывная справа модификация про

цесса Е\Н2\ЗГ*\. Тогда, очевидно,

M(f) =

M ,(f) + M2 (0

t е

[О, Г],

где

M1(t ) = [ Ф (s) dB (s).

Остается

показать,

что

<М2,

N>(t) = О

Л 2,

т. е. что отображение

t -»■ М 2 (t) TV (f)

на [О, Г] для любого N е

является( f )-мартипгалом

на [О, Г]. Для

этого достаточно пока

зать*),

что для л ю б о г о м о м е н т а

остановки а с а ^ Т

E[Mz(o)N(a)] —0.

Но

если TV (t) =

f ¥ (*) dB (s), TO **) TV"(t) =

J ^ (s) I{.^a}dB (*) e=

и. следовательно,

E[N(a)M,(a)J = E[N(a)E[M2(T) I^„]] =

что доказывает

(6.14).

= £[TV(a) M2(T)] = E[N°(T) H2] = 0,

Чтобы доказать теорему, достаточно показать, что в разложе

нии

(6.14)

процессов

М ^ Ж

исчезает

члеп М2 для плотного под

пространства Ж <= J(2.

Действительно,

тогда Ж с . Л 2,

и так

как

пространство Л 2 замкнуто, то

Л 2=

Л 2.

Пусть Ж = Ш s Л 2‘. М — ограниченный процесс). Легко видеть,

что

множество Ж

плотно

в Л 2 потому,

что

в пространстве***)

Ж - {М (t): М s Л 2 = % 2(Q, F f , Р)

множество

Жа= {Р<= Ж:

V — ограниченная

случайная

величина) плотно, а

норма |-|т

про

странства

Л г (суженная

па интервале

[0 , Г])

была определена по

средством

У'г нормы

пространства Ж.

Пусть

М ^ Ж

и М = М ,+

+ Л/,

разложение вида

(6.14). Так

как

М{ — непрерывный

мар

тингал, то найдется последовательность (£Ff)- моментов

остановки

<т„

(“ ■о.ДЛ/,))

такая,

что а „ е [ 0 , Г],

а„ t Т и

М\п=

(Мг (t/\ап )

является

ограниченным

мартингалом,

п = 1,

2, ...

Как мы

уже

знаем, М°пе Л 2, а М°п=

+ М°2п является разложением

вида

(6.14)

для Л/а", поскольку (N, М°пу =

(№ п, М°лу =

<iV, М2У°п= 0

См. следствие теоремы 1-6.1 и его вариант для непрерывного времени.

Х®(|)=Х(1Ла).

(X(t))

Х° =

(X°(t) ) определяется

посредством равенства

**)

Для Х =

***) 3>2(Q,

f ) =

{ f

Я?2 (Q, Р): F—

-измеримая случайная ве

личина).

90	ГЛ. ГГ. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ II ФОРМУЛА НТО
для	каждого N е Л\. Положим
	{Л/°"; » = 1, 2, .	А/<=дР).

Тогда, согласно лемме 6.2, нетрудно видеть, что множество Ж

плотно в Л г, и если M = M t+ Mz— разложение						вида (6.14)			для
М ^Ж , то	оба мартингала М, и М2 ограничены. Достаточно							пока
зать, что Мг= 0. Это вытекает из следующей леммы.								такой,
Л е м м а	6.3. Пусть	М ^ Л 2— ограниченный				мартингал		такой,
что <Л/, N} = 0 для каждого N е			Л *. Тогда М =			0.
З а м е ч а н и е 6.1. Условие			<Л/, N> — 0		для	каждого	N ^		Л.г
							t
эквивалентно условию (.М, ВУ = 0 , поскольку					<М, N) (t) =		[ Ф (s)x
		t					о
		t
X d <Л/, Я> (s), если N (t) = \| Ф (s) dB (s).
Д о к а з а т е л ь с т в о .		О		что	1Л/(<)\|*£а,		где		а —
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Предположим,		что	1Л/(<)\|*£а,		где		а —
положительная константа, и положим D (to) =					1 + М(Т, ш)/2а. Тогда
П ( ю ) > 1/2	и £'[D((i))] = 1 . Определим новую вероятностную меру Р
на	Т>(В) =	E[D(a)IB(<A 1,		B ^ T h
	Т>(В) =	E[D(a)IB(<A 1,		B ^ T h
Тогда для каждого @~t - момента остановки oefO,						71]
Е [В (о)] =	Е [D (и) В (а)] = E[E\D (и) \|			В (а)] =
	=	Е [В (а)] + ± Е [М (а) В (о)] = Е [В(а)] = О,
потому что	<Л/, ВУ = 0.
Аналогично, Е[В(а)2— а] = 0, поскольку					B(t)2— t = 2 § B ( s ) X
							о

X dB (s) е Л*2 и, оба отображения

следовательно, <,B(t)2 — t,	М(1)У = 0.	Тем самым
t -► В (t) и t-B(t)2 — t	являются	непрерыв

ными	-мартингалами			относительно			вероятности Р.		Согласно
теореме 6 . 1	функция		t<-~B(t) —			-броуновское		движение от
носительно	Р. Отсюда,		очевидно,			вытекает, что Р — Р			на т и,
следовательно, должно выполняться равенство 0 = 1								п. н., а значит,
М = 0 п. н.
С л е д с т в и е		1. Л.2		?) =	Л\ {&"*)■
С л е д с т в и е		2 . Пусть		F е	3?г (О, ЯГт, Р) для			положительной
константы Т > 0.		Тогда найдется				такой	{@~t)-предсказуемый про
цесс f{s) ( O ^ s ^ T ) , что				Г т
			Е
				j / 2 (s) ds <			оо
				.о

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных