Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

g 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

97

стандартным расширением вероятностного пространства (Q,

iF", Р)

с потоком

(&"|).

Легко видеть, что стапдартпое расширение является расширени­

ем в смысле определения 7.1.

Пусть (й, У , Р) с потоком {&~t) является расширением вероят­

ностного пространства

(S3,

Р)

с потоком

,). Если

от­

носительно

(й,

Р)

и

то

тогда Ж =

(Mt(a))), где Ж((о)) =

= Л/, (ясо)

принадлежит Жг,

т. е.

пространству Жг относительно

(Й, ST, Р)^и (^"<). Кроме того, если М, iV е

то справедливо ра­

венство (М, N>t{a>)= (.М, ЛГ>,(яю).

Это является простым

следст­

вием свойства

(III) из определения 7.1. Следовательно, пространст­

во

Ж.2 (</#2, Ж1°° П Т- П.) естественно погружается в пространство

Ж. 2

( ^ 2» ^ 2°С

и т. п.), а Л/ е

Жъ можно рассматривать как мар­

Т е о р е м а

7.1'. Пусть (й,

3~, Р) — вероятностное пространство

с потоком

а ЛРе=Ж 2,loc,

i = 1,

2,

..., d. Пусть Ф<}, i, j =

— 1 , 2 , .... d,

и ЧЧ, i = 1 , 2 ,

...,

d, k =

1 ,

2 , ..., г, являются

f

t

n. н. для всех t > О,

1)

^

О

<Л/\ Л/;> (0 = [ фу (s) ds

(7.16)

и

О

фу ( * ) -

2

*«*(*) **(«)•

(7.17)

fe=i

Тогда

на

расширении

(Й,

Р) и (&~()

пространства

(Й, /т, Р)

с

(@~t)

существует

такое

r-мерное

(&~t)~броуновское

движение

B(t) = (B'(t),B*(t) , .... Я-ЧО),

что

г

с

1, 2,

d.

(7.18)

Л/‘(*) = 2 i 44(s)dPft(s),

1

■о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

можем предположить,

что

d = г,

по­

Ф=(Ф„(«))

для каждой пары (s, со)

является симметричной неот­

лагая,

при

необходимости,

ЛР(3)=0

или

xV,h(t) —0.

Поскольку

рицательной

d X d-матрицей,

то

однозначно

определяется

матрица

творяющая равенству Ф1/2Ф1/2 =

ф; цроме того, $ <-*Ф1/2 (s)

являет-

Ф1/2

— как d X d-матрица симметричная

неотрицательная,

удовле­

t

ся

(^F() -предсказуемым отображением и

^ |Ф1/2 (s) |2 ds <С оо

п. щ

о

р 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

99

и,

следовательно, {£*(£)} — d-мерное

(F t)-броуновское

движение.

Кроме

того,

заметив, что

(u)EN(u) —Ен(и)л¥ (и) = 0,

находим

d

с

I Ч'ik(u )d & {u ) =

2

Ь=1 о

- 2

г

~

d

/

(И) Ш ы (и) dB’x (и) =

J

(и) V (u)«dM* (И) +

2

h,l=lQ

М —1 Q

-= M l (t) -

d

t

d

^

2

f<ЯА-)н(и)

1(u) + 2

f (Y(u) Рд- (u))«dB''(и) =M l (t),

l—l n

l—l n

где мы воспользовались также тем, что

2 J (Е„)и (и) dMl(и )\ =

J (Рл- (и) Ф (и) Ея («))«du =

0 .

I-1

п

/ л

Т е о р е м а

7.2'.

Пусть

(й,

Р )— вероятностное пространство

с потоком (@~t) u M

^ J t 2,1ос- Положим

( inf {и; <Л/> (ы) >

f>,

т« = j 0 0 ,

если

t ^ <Л/> (оо) =

lim <M> (f),

(7.20)

I

Поо ^

^

____

М

V

т«л«-

Тогда на расширении

(Й,

Р) и

(^",) прост-

я>0

Р) и ( F ,)

ранства

(Й,

существует такое ( F t) -броуновское дви­

жение B(t),

что B (t)= М (Т(), t е [0,

<М>(оо)).

Следовательно, мы

новского движения В (t)

и (F \)-момента остановки <Л/> (t) следую­

щим образом*):

M{t) = B(<M>(t)).

(7.21)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

теореме

о преобразовании

сво­

бодного

выбора (теорема

1 -6 .1 1 )

7?(MXUAS[^"TVAS') = MXv/\s' и

Е ((^х„Дя — МХч!\н> 2|ЗЧл*') = ^

— <Л#>Л, |^”TVAS')для

киждмх s > s' я и >v. Поэтому п. н. существует

Р (и) =

lim М Тидв и

8 f ОО

Р(Р(к) !■?%) = P(v),

(7.22)

Р ((2 (и) -

В (v))21#%) =

РК М )*, А и -

<М>«, Л v |#*v)

(7-23)

для каждых

и ^ \ . На

вероятностном пространстве

(й\

Р')

с потоком (@~\) рассмотрим

(^"^-броуновское движение B'(t). По­

строим

стандартное расширение (й, SF, Р)

и

( F ()

пространства

*) Как

и в теореме 7.2, <if>{() является {S’ <)-моментом остановки для

каждого t ^

0.

100

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ II ФОРМУЛА ИТО

(£2, S', Р)

с

потоком

(S"t),

положив £2 = £2 X £2', S' — 3~ X S"',

Р = Р Х Р '

и

W t =

S~t X S~’t. На этом расширении положим

в

(t) = В' (г)- B

’ (t А <м> (0 0 )) +в

(t),

Тогда B (t) — непрерывный (^,)-мартингал с

<B>(t) = t и, следова­

тельно, B(t)

является (^,)-броуновским движением. Остальная

часть доказательства является очевидной.

Т е о р е м а

7.3'.

Пусть (£2, S', Р) — вероятностное пространство

с потоком

(S',).

Пусть

Ml s Ж\'1ос(S'(),

J — 1,

2, ..., d,

и <М‘, Ж0(2) =

0, i=£ j. Тогда на расширении

(£2, 3~, Р)

простран­

ства (£2, S', Р)

существует такое d-мерное

броуновское

движение

B(t) = (Bl(t),

B2(t),

...,

B*(t)),

что

где

В1(1)~М'(т\),

*е=[0,<А/‘ >(оо)),

(7.24)

, _ finf |м; (М 1} (и) > <),

(7.25)

1 °°,

t

> < М ‘> (оо).

нечная мера тп на стандартном

измеримом пространстве (Z,

и такой предсказуемый процесс

0(2, z, со): £0, °°)Х Z X £2

X*

со значениями в **) X* = X U{А}, для которых

m ({z; Q (t, z, а>) е Е}) — q(t,E,a>)

для каждого Е е

(7.26)

Тогда на расширении (£2, S', Р)

и

(S',)

пространства

(£2, S’, Р)

с потоком (S't) существует стационарный

(S',)-пуассоновский то­

*) См. Григелионис [32], Карой-Лепелтье [83] и Танака [161]. Даннов

здесь доказательство подсказано [161].

— о-поле,

порожденное

**) Д— особая точка, добавленная к X, a