Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

101

чечный процесс q на Z

с характеристической

мерой тп такой, что

t-b

Nр((0,

t] X

Е) =

j

f I E(0 (s, z, со)) Nq(ds dz) =

о

z

= # { s e

Dg;

0 ($, g(s),

со)e

/?}

для каждого

£ e J ,

(7.27)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Приведем

сначала

доказательства

пе-

скольких лемм.

Существует предсказуемое

вероятностное

ядро

Л е м м а

7.1.

Q(t,

х,

dz,

со)

на

[0, оо) X X X

X Q,

т. е. для фиксированного

А е

J?z

отображение

(t, х, со) *-*■ Q (t, ж, Л, со)

является

пред­

сказуемым,

а для фиксированных

(t, х,

со) ^

[0,

<») X X X Q

отоб­

ражение А е

9&Z <-*■Q (t, х, А, со)

является вероятностью на

38z,

так что для каждой неотрицательной

38%X,$z -измеримой функции

f(x,

z)

f {/[е«,г,<.»*.д] / ( 0

{t, z, w), z)}m{dz) =

z

f(x, z)Q(t, x, dz, co)j<7 (f, dx, со).

(7.28)

Доказательство леммы стандартное и предоставляется читателю

(см. главу I, § 3).

Л е м м а

7.2.

Па расширении

(й, SF, Р)

и

(STt) пространства

(Й,

ЗГ, Р)

с

потоком (&~t) существует

(STt)-точечный

процесс р

класса (QL)

на X X [О, 1J, для которого

(I)

D~ =

Dp

и

л (p(s)) = p(s) для s e

D~; где

п{х,

а) = х,

(х,

а)

е Х Х

[0 ,

1 ];

(П)

компенсатор Np{dt,dxda) процесса р задается равенством

(dt, dxda) =

q (t, dx, со) dt da,

(7.29)

Д о к n a п т о л ь с т в о. На вероятностном пространстве

(й', ЗГ', Р')

определим последовательность независимых равномерно

распреде­

ленных случайных величин

п, k = 1 , 2

, ...,

с 0

1 п. я.

Положим Й = ЙХ Й' ,

= ^

" Х Р = Р

X Р'.

Процесс р

можно

ведении пространств. Найдутся такие непересекающиеся Unе

J?x>

п = 1, 2, . . . , что U Un = X

п Е (Np((0,

f] X Un) ) < <х> для каж-

,

П

Упорядочим

дых t е= [0 , оо) и п. Пусть DPji = ( s e D p : ] ) ( s ) e U„}.

элементы множества DPnuo величине, т. е. пусть DPn =

|s" < ; s” <

—

• •* <« £ < • • • } .

Так как

(J DPn = Dp,

то для каждого s e D ,

§ 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

103

зом:

Dg = Dga U Dgs и

q(t) =

М О ,

t е

Dg2,

М О ,

t e= Dg

В силу независимости

и q2

Dg^ и Dg3

и. п. не

пересекаются и,

следовательно, q определен

корректно;

кроме

того,

q — стационар­

ный ( ^ ()-пуассоповский точечпый процесс па

Z

с

характеристиче­

ской мерой m(dz), что следует из (7.30) и (7.31)

(см. теорему 6.2).

Таким образом, остается доказать только, что

f+

Np ((0, f] X

Е) =

j

[ I E(Q(s, z, а> ) Nq(dsdz),

о

Z

Пусть

р — точечный

процесс

па

X,

считающая

мера которого

Л^~((0 , t] X £ )

совпадает

с

правой

частью

предыдущего равен­

ства. Тогда

<+

N„ ((0 ,11

X Е) — j

f TKXIO.I]

а)

(ds, dx da)

N- ((0,

f] X

E) =

J

j I E(0 (s, z, to)) Nq (ds dz) =

о

z

tH

== j

|

(0 (S, z, (O)) iVg2 (ds dz) =

0

2

Ы-

— J

j" I E (0 (s, / (s, ж, a, to), to)) i\T~(dsdx da).

0

XX[0,l]

Поэтому компенсатор

Np ((0, tJ X i?) задается формулой

<

[

N-((0,

t]X

E) =

§ ds

I E(Q (s, f (s, x, a, & , &))q(s, dx, v>)da =

t

0

X X[(U ]

=

j ds С j" I E(0 (s, z, ©)) Q (s, x, dz, со) q (s, dx, to) =

= *Jt

n

x z

q (s, E, со) ds = Np((0, t] X E).

ds j

I E(0(s, z, со))m (dz) = jt

о

z

n

104

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

Наконец,

E ({N P({0, t]

X

E )~N ~((0 , t] X £ )}2) =

=

Е ([Np((0, t] X Е) - N- ((0, t} X Д)}2) =

=

д

(

и

J

( ^ E X E O . ^I ]E^(, 9 «(S ), f(s,— х, а , со), со)) X

Но

xxt'o.i]

N- (ds, da; da) j =

X

= £ j j d s

f

[ /E(x) — 7E (0(S, / ( S, x, a, со), o))J2 r?(s, dx, со) da

lo

XX[0,1]

= д( f ds

f f [7K (ж) — I E(0 (s, z, co))]s Q (.<?, x, dz,e>)q {s, dx, to)} =

lo

z X

J

=

Д

[6(s,z,o>)-M] [IE (0 (s, z, со)) — I E (0 (s, z, (0))]*m (dz)