Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ё 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ		111
Наша задача эквивалентна нахождению	такого, что
t	t	(2.4)
У (t) = у + J в! (У («)) dMs +	j а2 (У (*)) dAs.	(2.4)

Оо

Положим	<р(£) = t + <Л/>( +		\|у1 \|(,	где \|Л\|(	обозначает	полную	ва
риацию функции		[0, t] э	s <-* As.	Тогда	ср — процесс	замены	вре
мени. Применяя замену времени Гфк (2.4), получаем
		t		t
	У (t) =	У + J « 1 (у (s)) dMs + J «2 (У (*)) dAs,				(2.5)
«М	<V	О		о
«М	<V

где У = ГФУ, = ГФД/ и А — ГМ. Достаточно показать существова

ние и единственность процесса У, удовлетворяющего	(2.5). Так как
<М>г = <М>ф_ 1(4) и 2 , = Лф_! j, то легко видеть,	что t*-+t —

- < M } t -\A\f является возрастающей функцией. В частности, име

ем d(M>, < ds и л и к		ds как меры Стилтьеса п. н. Построим ре
шение посредством последовательных приближений:
Y w (t) =	y,
Y W (t) -	У I ,f я, (У (,'~1> (*)) йМя-I- j' (F (n" ,) (a)) d l„ n = 1 , 2 , . . .
	i>	0

Пусть задано Г > 0, и опо фиксировано. Положим Кт= 2К*(1 + Т),

гдо К — константа Липшица		в	(2.2). Тогда,	если t е [О, Г],	то
Е{ I У“ >(t) -	У(0) (t) \|*>	=	£ {[«, {у)М< + а2 (у) Я,]*) < С»,
где Cl = 2(al(y)zT + а2(у)гТ2)		. Предположим теперь, что
Е [ I У(п) (*) -			(f) I2) <	1
для некоторого п 5* 1 . Тогда
					+
+ 2Д	j' [a, (У<> ()) - a2 ( y (n-1) (,))] d \| Л \| ] ):=				h +

112		ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
< 2КаЕ ( J I F (n) (*) -			F (n-1) (s) \|2) ds =				2 Z 2 u	{I F (n)(в)- Y (n~v (s)\|2)ds
	lo				J		0
h < 2E \|\|JT\|e\| к		(F (n) (*)) -			a2 (F (" - 1) (S) ) ] 2 d\Л(, <
	< 2E {t j [a2(F ("> (.)) -					a2(F (n- 1) (s) ) ] 2 ds} <
							t
					< 2F£		2 j £ 11 F (n) (s) -		F (n_1) (s) \|2} ds.
							О
Следовательно,
£ l\|F(n+1 )( t ) - F (n)(0 l4) < ( 2 ^					+ 2ГЯг) j E [\|F(n)(s) — F (n_1 ) (s)\|2 )d s<
							О
							t
							0
Поэтому неравенство
	E ( \|F (n+1) (t) -			F (n) (*) \|2} <			CXK%	t s	[О* Г1,	(2.6)
получается по индукции. Согласно теореме 1-6.10
E { sup	\|F (n+1) (t) -		F (ri) (i) И		<
<	2 E \| sup		j‘ [ « 1	k (n) to) -		« 1 ( r (n_1) to)]			to	+
+	2E \ sup		,f[a2 ( F (ll)( s ) ) - a 2 ( ^ n_1 ) (s))]dI(s)
	[o <t <T
	/ ( T	[a1( F (n)( s ) ) - a 1( F (n- 1)(s))]dM(s)J							j +
	; 8 £ ^ \| f	[a1( F (n)( s ) ) - a 1( F (n- 1)(s))]dM(s)J							j +
			+ 2E ( ! f		1a, (F (n) (s)) -			a2 ( Y ^	(S)) \|d $\(s)} l

и вычислениями, подобными вышеприведенным, получаем, что

			§ 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ						113
Последняя сумма мажорируется выражением
г
8 К* j Е { \|Y (n) (s) -				Y (n_1) (s) \|2] ds +
0
		T
+ 2TK2- § £			(\| Y (n)(s) -		Y (n_1) (s)I2) ds< ( 8 К2+ 2TK2 CxKnT~l ^
Следовательно,
p ( sup			1F (ra+1) (t) -		F (ri) (О I >		-^r) < const x
и стандартным			применением			леммы	Бореля — Кантелли получаем*
что У*п)	сходится равномерно на [0,						У] п. н. Предел Y(t) — непре
рывный	(#"\|)-согласованный					процесс,		и согласно (2 .6 )	£ ( 1 У„(г)—
— У(£)\|2)->-0			при га-*- оо,			t е [О, Т\		Теперь легко	видеть, что*
Y — (Y(t))		удовлетворяет			(2.5). Чтобы доказать единственность, до
пустим, что		У, и У2 удовлетворяют (2.5). Тогда, применив выклад
ки, аналогичные вышеприведенным, получим
						t
	E U Y ^ - Y A W X K T ^ E i l Y M - Y . m d s .
						О
Усокая,	при необходимости,					7i и У2		моментами остановок, можем
предположить,			что	функция		s >-*£{( Y x(s) — У 2 (s) \|2}			ограничена*

В 10, Т]. Тогда из приведенного выше неравенства легко заключить* что У, = У2.

С л е д с т в и е . Пусть о}(х), i = 1 , 2, ...,	d, у = 1,	2, ..., г,—
действительные непрерывные функции на Rd,	дважды	непрерывна

дифференцируемые с ограниченными производными первого и вто

рого порядков. Тогда			для заданных dX\ dXz, ..., dXr ^dQ					и у =
= (у\ Уг, •••> y<i) e	R<J существует единственный набор квазимартин
галов У1, У2, ...,	Ydе		Q таких, что
[ Г 1(0) =		у\
{ d Y * (t) =		£	<Jj( F (t)) о d X	* (t),	1=	2 ’ ' ‘ ‘ '’	d '	( 2 ‘ ? >
v		j=i
Д о к а з а т е л ь с т в о . Система				(2.7)	эквивалентна		системе

d г

Л*W= 2а](У(*)ИХ’>) +4-2 2(г5®Я(У

	i=i	й= 1		7
	г	г	d
=	2 a } ( Y ( i ) H	X j ( f2) + 4 -		/
	j=l	j,Z=l ft=i		/

(2.7)- х 7

(*) -

8 С. Ватанабэ, H. Икэда

114	ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Эта система уравнений является частным случаем		(2.1). Коэффици
енты а) и	удовлетворяют условию Липшица		согласно
/i=iдх	следствия.
предположению		теорема	сущест
Таким образом, установлена достаточно общая

вования и единственности решения уравнений для семимартингалов. Ниже приводятся примеры, для которых решения могут быть вы

писаны явно.				d = 1, и	рассмотрим	для заданного
П р и м е р * ) 2.1. Пусть				d = 1, и	рассмотрим	для заданного
X ^ Q	с Х№— 0 следующее уравнение:
		dYt =	a (Y t) ° d X t +		b(Y t)-dt,
		Г 0 =	У,
где о е	С2 (R1 -*■R)	с ограниченными а'			и а", а Ъ является лишпи-
цевой	функцией.	Согласно		следствию	к теореме	2.1 существует,

и притом единственное, решение. Находится оно следующим обра зом. Пусть и(х, z) — решение уравнения

z)= a(u(x, z)),

и(х, 0 ) = х.

Пусть D, — решение уравнения

Гx t

^ = exp — j а' (и (Dt, s)) ds b(u(Dt, Xt)),

Р 0= У-

Тогда решение У задается равенством

Yt = u(Dt, Xt).

Действительно, согласно правилу дифференцирования сложной функции (1.14)

dYt =	а(и(Dt, Xi))adXt +					(	x t
						(	x t
		+			(Dt, X t) exp I — j			a' (u (Du s)) dsJ b ( u ( A , X () ) . * .
„	d du	=	a	i i i	w du	ди	,	n\	A
Но из		=	a	(u (x, z))		и —	{x, 0) =		1 следует, что
				du	i .				*
				—	(X, z) = exp				*

и поэтому dYt — a(Yt)° dXt + b ( Y t)'dt.

*) Досс [42].

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ

415

П р и м е р

2.2.

Пусть Ah= 2

А{ (х)

— С°°-векторное

поле *)

ни Rd,

к — 1, 2,

j=1

что производные

первого и

..., г. Предполагаем,

второго порядка всех коэффициентов ограничены. Для

заданных

Х\ X2, ..., Г е С

Х * = 0 ,

i = 1,

...,

г,

и г ( | ' ,

■е R* рассмотрим уравнение

dYl (t)

21 At (У (t)) о dXh (t),

i =

1,2,

..., d.

H= 1

1 ^ ( 0 ) =

[I]**). Если векторные поля At, A2,

Ar коммутативны, т. e.

[Ap, Aq] = 0,

q =

1, 2, ...,

г, то

отсюда

следует

интегрируемость

уравнения

Ят/г

A}(u(z,z)),

i =

2, . .

j =

1 , 2, . . . ,

—r(z,z) =

ozJ

u(z,

0) =

z e

Rd,

и, таким образом,

имеем решение

u(z, z) = (ui(z,

z), ..., ud(z, z)).

Если положим Y] =

чг (у, X(),

i =

1, 2,

. . . ,

где X t = (X j,

Xf, . . .

. .. , X(), то из правила дифференцирования сложной

функции

(1.14)

немедленно

следует,

что Y — (У }, F?, . .

Yf)

— решение

уравнения (2 .8 ).

некоммутативный

случай,

предпо

[И] ***). Рассмотрим теперь

лагая, что векторные поля Аи А2, ...,

Аг удовлетворяют

условию

\Аи

А к]] =

/, *

1 , 2 , ...,

г,

(2.9)

т. е. алгебра Ли & (Л„ Л2, .. ., /1г), порожденная полями А2, А2, . . .

..., Аг, нильпотонтпа с индексом нильпотентности два. Тогда реше

ние уравнения			(2.8)	задается			следующим		образом.	Пусть	3£> —
{(I, J): \ < К			J	г)	и	20 — (1, 2, ...,		г} Uiz>. Для		z = (z1) ^ ^
рассмотрим следующую систему уравнений:
					i-i
	-	4	(“ (*)) -		2	z4	.i (“ (*)),	*	- 1 , 2 , . ,		(2.10)
	° Z				р=1						(2.10)
	дип	=	A'j'U(и (z)),			! < / < & < ? • ,			h = i , 2 , . . . , d ,
	9zO,k)	=	A'j'U(и (z)),			! < / < & < ? • ,			h = i , 2 , . . . , d ,
*)	См. главу V, § 1.
**)	Досс [42].										[187].
***)	Дополнительную информацию на эту тему можно найти у Янато										[187].

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных