116 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
где Afth(x) определяется равенством
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 * ( * ) ^ й |
= |
Г 4 А ]: |
= Aj<k. |
|
|||
Можно |
доказать, что |
из |
(2.9) |
следует |
условие |
интегрируемости |
|||
(2 .1 0 ), |
и |
поэтому |
для |
заданного |
j e R 1 |
имеем решение |
|||
(и*(х, z))(_ 1,2 ......л уравнения |
(2 .1 0 ) |
такое, что |
и*(ж, 0)=х\ i — |
||||||
= 1, 2, ..., |
d. Пусть |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l < / < f c < r , |
|
||
|
|
X{'k = |
§Xi*dXks, |
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
и Х , = (Xf)Isgj. Тогда У| = иг(у, Xt), i = 1 , 2, . . d является ре шением уравнения (2.8). Действительно,
3=1 K K I K r " 1
= |
2 |
4 |
(У,) • dX{ - |
is |
2 |
4,3 <Xt) X’i . d x l + |
|
|
||||||
|
3=1 |
|
|
|
з‘= 1 ft= l |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ |
2 |
|
Aik(Yt) X { o d X ^ |
2 4 ( F t)odX|. |
||||||
|
|
|
|
|
K j< .k < r |
|
|
|
|
|
3 = 1 |
|
|
|
Например*), |
если |
d = 3, |
r = 2 |
и |
Лх = |
+ 2ж2 |
Аг = ~ |
— |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx° |
dx- |
|
— 2a:1 / 5 , то |
решение |
У, = (У?, |
У*, |
У?) |
задается |
равенствами |
||||||||
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i - y i + X,1, |
y f _ y » + |
X f |
|
и |
|
y » = y* + |
2 (y 2X j - p iX ? ) + |
|||||||
+ 2 ^J X* оdx\ - |
J x ; оdx|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
решение |
Y(t) = (Y'(t), Y*(t), ..., |
Ya(t)) |
уравне |
||||||||||
ния (2.8). Если С2-функция /(ж), |
определенная на Rd, удовлетворя |
|||||||||||||
ет условию |
Л */= 0, |
к = |
1, 2, |
..., |
г, |
то |
f(Y(t)) = f(y) |
для |
всех |
|||||
On. н. Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
df (У (*)) = 2 |
dif (Y (t)) . dYl(t) = |
2 |
2 |
4 |
(У (*)) |
(У (*)) о dxht = |
||||||||
i = l |
|
|
|
|
|
4=1 fe=l |
|
|
" |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
,Д ( 4 /) (У (t))cdx\l |
= 0 |
|||
*) Гавё Г231.
|
|
§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ МАРТИНГАЛОВ |
117 |
|||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, еслиArf => V |
A)t(х) ^Ц-(х), к = |
1, 2, |
d, с А\(х) = 6 ^— |
|||||||||
|
|
|
|
г—1 |
|
ete1 |
|
|
|
|
<2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
|
а:|*, а: = (х1, х2, . . . , a ^ ) e R d\{0}, |
то |
f(x) = |
|
|||||||
|
2 (^)* удовлет- |
|||||||||||
иоряет условию Лй/ = |
0, к = |
1, 2, . . |
|
|
|
|
г = 1 |
все |
||||
d. Поэтому решепие У(£) |
||||||||||||
гда |
остается |
на сфере |
с |
центром 0 |
и |
радиусом |
|у| (=|У (0 )|). |
|||||
Если |
выберем |
Хк |
|
к = 1, 2, . . |
d, |
с |
dXk•dXl — Ьы•dt, |
т. е. |
||||
(X1, X2, |
Xd — d-мерный винеровский процесс, то тогда решение |
|||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| d F 4 *)= |
2 |
4 |
(Г (* ))» « ? . |
, |
, о |
|
а |
|
||
|
|
j |
|
ft=l |
|
|
|
4 —- А* |
• • •» t*'t. |
|
||
ly*(t) = Г,
определяет броуновское движение на сфере с центром 0 и радиу сом lyl *).
§3. Неравенства для моментов мартингалов
1Различные неравенства для момептов мартингалов рассмотрены, например, Мойером |124] и Гарсия [24] в связи с мартингальной версией теории //*’ пространств. Здось мы в качестве приложения стохастического исчисления получим основные иеравенства для не прерывных локальных мартингалов.
Т е о р е м а |
3.1. |
Существуют |
универсальные |
константы |
сР, |
|||||
CV(Q< р < °о) |
такие, что для каждого |
М е |
Ж ( = М\'ш ) и t ^ O |
|||||||
|
срЕ (М(*2Р) < Е (<М, М>?) < |
СРЕ (М ГР г |
|
(3.1) |
||||||
где М* = max |Ms|. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
для ограни |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о * * ) . Достаточно доказать |
||||||||||
ченного |
мартингала M = (Mt), так как общий случай легко следует |
|||||||||
методом |
усечения. |
Действительно, |
полагая |
Т„ = |
in fU: |
\M(t)\&*n |
||||
или <М>( > п), |
имеем Тпt °° п. н., |
и если (3.1) |
выполняется |
для |
||||||
М Тп = (Л7тпд<) |
с не зависящими от п ср и Ср, то, переходя к пре |
|||||||||
делу при п -*• |
|
|
получим справедливость (3.1) для М. В доказа |
|||||||
тельстве |
вместо |
<М, МУ будем писать |
А. |
Согласно |
неравенству |
|||||
(6.16) главы I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( М Г Р) < ( ^ Ё 1 ) " ^ ( 1 М 4|Р), |
р > |
1. |
|
(3.2) |
||||
*) Это представление сферического броуновского движения принадлежит Струну [156].
**) Доказательство следует статье Гетура и Шарпа [25].
118 |
|
ГЛ. Ш . СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
С л у ч а й |
1. |
Если р = |
1, то |
|
|
Е{(М, М>() = £(М?), |
|
и, следовательно, с учетом |
(3.2) получаем (3.1) с с , = 1/4 и С , = 1. |
||
С л у ч а й |
2. |
Если р > |
1, то |
£ (М Г -")Х (2р/(2р - 1))2р £ ( IМ , Г ) .
Так как |ж|2р принадлежит классу С2, то можно применить форму лу Ито, и тогда получаем
t |
|
|
|
sgn {Ms dMs + p ( 2 p - l ) j |Ms\2p~2dAs. |
|||||
|Mt Г = j |
2 р |Ms Г - 1 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Беря математические ожидания, получаем |
|
|
|
|
|||||
E(\Mt Г ) < |
р (2р - |
1) Е ^ f |Ms12p' 2dAsJ < |
|
|
|
|
|||
< р (2р - |
1) £ |
(Mt!P~2At) < p ( 2 p - l ) E (M t2py - 1/P'E ( 4 ) 1/P- |
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (МГР |
< |
(2p/(2p - |
1))2P p (2 p — 1)2? (МГ2Р)1_1/Р £ ( 4 ) 1/p, |
||||||
откуда следует левое |
неравенство |
(3.1). Чтобы |
доказать |
правое не- |
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
равенство (3.1), положим Nt = |
[ A[?~1^'ldMs. |
Тогда |
p(N , 2V> = |
||||||
t |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= р j 4 _1^ 4 == Лр |
и, таким образом, 2? ( 4 ) |
= |
pZ? (./V2). |
Согласно |
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MtA{tp~1)l2 = |
t |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
J 4 |
p~1 /2dMs + j‘ Msd ( 4 P_1)/2) = |
Nt + j |
Msd ( 4 P_1)/2), |
|||||
|
o |
|
o |
|
|
|
0 |
|
|
и поэтому |Nt|^ |
2Mf*4P~1>/2- Следовательно, |
|
|
|
|
||||
■j- E ( 4 ) |
= E (iV?) < |
4E (M f24 _1) < 4E (M ?2p)1/p £ |
|
||||||
и, таким образом,
2 ? (4 )< (4 p )p i?(M ?2p).
§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ МАРТИНГАЛОВ |
|
119 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<• |
|
С л у ч а й |
3. |
Пусть |
0 < р < 1. |
Положим |
Nt = |
J 4 р -1 )/2йМ,,. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
о |
|
|
|
|
Е (4) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда, как и выше, |
рЕ (N2) и Mt = J ^ 1 _р)/2йЛг8.Согласно |
|||||||||||
формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nt4 1 - р)/2 = |
J 4 l- p)/2dATs + |
JЛГ<й ( 4 1~р)/2) = |
|
M t + J JV4d ( 4 1-p)/2) |
||||||||
*, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|M (|< 2 Л^ГЛ^Р)/2. |
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
М* |
2N*A\X р)/2 и согласно |
неравенству Гёльдера |
|||||||||
Я (M t*2p) k 22р £ (JV,*2P4 |
(1_P)) < |
22р£ (iVDP Е ( 4 ) 1-р < |
|
|||||||||
< 22Р4Р£ (tf? )рЯ ( 4 ) 1_р = |
(16/р)р £ ( 4 ) р £ ( 4 ) 1_р = |
(16/р)р £ ( 4 ) - |
||||||||||
Наконец, мы должны показать, |
что |
Е(Ар)^ .С рЕ(М*2р). |
Пусть |
|||||||||
сс — положительная |
константа. |
Применив |
|
неравенство |
Гёльдера |
|||||||
к тождеству |
Avt = |
[ 4 |
(а + М *)-2р(1-р)] ( а |
+ М*)2р(1~р\ |
получим |
|||||||
£(4)< (E(At(a + M*t)*p~l))}p{£((а + М?)2р)р-р. |
||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая Nt = J (а + M * ) p _ 1 йМ», имеем |
|
|
|
|
||||||||
|
О |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ДГ, |
|
- |
J (а |
+ МГ)а(р- 1 )й 4 > 4 ( а |
+ M ?)2(p- 1). |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
М, (а ь Л/ ? ) * — 1 |
- , [ ( « + М ? ) р" |
1 ЙМ* + |
J МЛ ((а + М |
^ - 1) = |
||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Nt + |
(Р - |
1).( М* ( а |
+ М*У~ 2 ЙАГ; |
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
||
|
|
- р) Jt м У -^dMt = j мГр. |
|
|||||||||
I Nt |<мГр +( 1 |
|
|||||||||||
о
ГЛГ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 2 0
Поэтому E (N 2t) ^ —2E (M t2P Для каждого а > 0 и, таким образом,
р
Е (И?) < р - 2р [Е ( МТ2Р )Р\Е ((а + МГ)2р)]1-р. Переходя к пределу при а 1 0, заключаем, что
£(Д ? ).< Р “ 2РЯ(М Г2Р).
§4 . Некоторые приложения стохастического исчисления
к броуновскому движению
4.1. Броуновское локальное время. Пусть X = ( X t) — одномерное броуновское движение, определенное на вероятностном пространст
ве (£2, |
Р). |
4.1. Локальным временем или плотностью вре |
|
О п р е д е л е н и е |
|||
мени пребывания X назовем семейство |
неотрицательных случайных |
||
величин {<р(£, ж, и ), |
f e [0, <»), j j e R 1) |
таких, что с вероятностью |
|
единица |
|
|
|
(I)(t, х) у* <р (t, х) — непрерывное отображение;
(II)для каждого борелевского подмножества А из R1 и t > О
Нетрудно видеть, что если такое семейство {<p(Z, х )} существует, то оно единственно и задается формулой
Понятие локального времепи броуновского движения было впервые введено Леви [105], а следующая теорема была впервые установле на Троттером [163].
Т е о р е м а 4.1. Локальное время {ср(£, |
х)} броуновского движе |
ния X существует. |
теорему с применением |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы докажем эту |
стохастического исчисления. Идея этого доказательства принадле
жит Танаке (Маккин [107] и [108]). Пусть |
ЦУ"t) = (&"?) — естест |
|||
венный поток |
броуновского |
движения X. Тогда X — {9~х) -броунов |
||
ское движение |
и X t— Х0 |
принадлежат пространству Ж. |
Пусть |
|
gn{x)— непрерывная функция на R1 такая, |
что ее носитель |
содер |
||
жится в ( — 1 /п + а, l/ra + a), g„(x)> 0 , |
g„(a + ж)**gn(a — х) и |
|||