Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

106	ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
О п р е д е л е н и е		1.1. Обозначим через	Q совокупность квази-
мартингалов.	Каждый X е Q выражается		единственным	образом
в виде (1.1):	М =	Мх называется мартингалыюй частью,		а А =
— Ах — частью с ограниченной вариацией. Это разложение				называ
ется каноническим разложением квазимартипгала Х е ^ .

Единственность канонического разложения устанавливается сле дующим образом. Пусть

X (0) + М {° + 4 ° = X (0) + М\2 -г 4 2)

— два таких разложения. Тогда

М, = М\1 — М(2 = А\2 — А\%: = A t.

Как мы видели в главе II, § 5, <Л/>г задается как предел по вероят-

	11
пости выражения 2					ПРИ 1Д1 “*■0» ГДе Д обозначает
разбиение 0 = f0 < ^ < ... < Z„ = f и							\|Л\= max \|f { — f *_! \|.			Но
П		П					l < i < n

2	(Ми - М и_ ху =	S (А,. -		Ati_ ty <			V , (A) max \At. -		А,._,\| ->0:
j=i	7<(Л) — полная	»=1		функции			K i « п		Следова
где		вариация					s G [0, f]	4 -
тельно, <М\1 — М\2)} = 0,			откуда следует, что					= М[2).
	Пространство Q, замкнуто относительно сложения и умножения.
Вообще, если /(ж1, х2, ...,			х ")е	C2 (Rn -»■ R) и X 1, X2, ...,					Хпе= ф то
Y = f(Xl, X2, ..., Хп) е £ ?			(см. теорему			П-5.1).				и 7
	О п р е д е л е н и е	1.2. Для X,			У е	Q будем говорить, что X
эквивалентны, и писать X ~ 7, если с вероятностью единица
	X(t) — X (s ) = Y ( t ) — Y(s)				для каждых			0 «£ s ^	t.	(1.2)

Ясно, что это отношение ~ является отношением эквивалентно сти. Класс эквивалентности, содержащий X, обозначается через dX и называется стохастическим дифференциалом квазимартингала X;

J* dX (и), по определению, совпадает с процессом X(f) — X(s).

Пусть dQ = ЫХ: X е ф , dJt = ЫМ: М ^ JK) и ds4- = ЫА: А

Введем следующие операции в dQ: зФ. Сложение:

d X + d 7 = d ( X + 7 )	для	X,	7 е ф	(1.3)
Произведение:
dX'dY = d<Mx, Мг>	для	X,	7 е ф	(1.4)

где Мх и Му обозначают соответственно мартингальные части про цессов X и 7.

Далее мы определим произведение между 3S и ф

§ i. ПРОСТРАНСТВО СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ		Ю 7
Ж. S&-Умножение: если Ф е 1 и 1 е ^ , т о
(Ф-Х) = X (0) + j Ф(s, (о) dMx (s) + 1 Ф {s, w) dAx (s), t^ O ,		(1.5)
о	о

определяется как элемент в С£. Поэтому с2(Ф*Х) однозначно опре деляется через Ф и dX. Теперь определим элемент Ф • dX из dQ равенством

Ф ^dX=d(Ф ^X).

( 1.6 )

Ипогда вместо Ф • dX мы пишем просто Ф dX.

Т е о р е м а 1.1. Пространство dQ, с операциями з4-, Ж и 9* явля ется коммутативной алгеброй над 91, т. е. коммутативным кольцом с операциями S& и 9 , удовлетворяющим следующим соотношениям:

Ф • (dX + dY) = Ф •dX + Ф •dY,

Ф »(dX •dY) = № •dX)» dY,

(1.7)

(Ф + 4^* dX = Ф • dX+ 4? • dX,

(ФЧ')*сгх = Ф - ( ¥ - с г х )

для Ф, 'F s 9S и dX, dY^dQ. Кроме того, справедливы следующие соотношения:

dQ>dC?< tM,	d.<4- • dQ •= 0	и	Л? •< #• < # = 0.	(1.8)
Д о к и з п т е л ь с т в о.	Из свойств	стохастических иптегралов,
установленных в главе	И, немедленно следует, что dQ — коммута
тивная алгебра пад 9$. Соотношепия		(1.8)	следуют непосредственно
из того, что <МХ, Жг> <= Ж' для X,

С учетом сказанного можно перефразировать теорему II-5.1 в не

прерывном	случае	следующим образом:			если X 1, X2, ...,			Xdе Q и
/ e C2 (Rd- R ) , TO		Y = /(X 1, X2, ...,	Xd) e £ и
		d	d
	d Y = y >(d^-dX1+ -L		^		(W ) ' dX1.dX},				(1.9)
где dif п didjj являются элементами					и	определяются			соот-
ветствеппо	как	(X1, X s, . . . , X d)	и		-AXi , X 2,		Xd).		Teope-
му П-6 . 1	тоже			дх'-дх’*		следующим		образом:
		можно перефразировать
(Х‘ (£), X2(t),		Xd(t))— d-мерный винеровский					процесс.		Такая
система мартипгалов (X1, X 2, ...,			Xd		называется		d-мерным		вине-
ровским мартингалом.

Теперь мы введем четвертую операцию.

9*. Ж. Симметрическое Q-умножение:

1 0 8	ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Т е о р е м а 1.2. Пространство d/Q с операциями						9s. Ж. и &
является коммутативной	алгеброй над			для X,		Y, Z	имеем
X ° {dY + dZ) — X°dY + X° dZ,
(X + Y)° dZ = X ° dZ + Y ° dZ,							( 1.11)
X°{dY •dZ) = {X° dY)- dZ = X-(dY •dZ),							( 1.11)
X°{dY •dZ) = {X° dY)- dZ = X-(dY •dZ),
(XY)°dZ = X°{Y°dZ).
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Заметим,		что	так	как	dQ •ds& = 0 и
dQ -d@ -dQ = 0 , то
X°dY = X-dY,		если	X	ш и	Г е ^ г ,		(1.12)
и							(1.13)
(Z'dX)'dY = Z-dX-dY.							(1.13)
Тогда, к примеру,
Xo(YodZ) = X-{Y°dZ) + ±-dX-(YodZ) =
= X-(Y-dZ) + ±-X-{dY-dZ) + ±dX .{Y -dZ) =
	=	(XY) .dZ + -y d (XY) •dZ =					XYodZ.

Другие свойства также легко доказываются, и поэтому мы опускаем детали.

Замечательным обстоятельством для операции 9 .Ж. является то, что правило дифференцирования сложной функции принимает та кой же вид, как и в обычном исчислении. А именно, справедлива следующая

Т е о р е м а 1.3. Если X1, X2, ..., Xdе Q к / е С 1 (Rd -*■ R ) , то для Y = f(X\ X2, ..., Xd е Q имеем

					<i
				dY = 2		difodX1.	(1.14)
					»=i
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Согласно теореме 1.2
d	d
^ d ^ d x 1=			+ \- d m -d x * ) =
i=*l		i= l 4				'
d		d	/ d			d	\
= 2	dif-dXi + 4 2		2	W	' dX*+ 4 2		d№ jf>ax} -dxh №	=
i= l		i= l	\j ~ 1			},!<=1	/
		d			d
	= 2	di1-dxi + \		2	W	*'d X 1 •dxi	(согласно (1 .8 )) =	dY.

i= l

i,j= l

б 1. ПРОСТРАНСТВО СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

109

Стохастический интеграл J Y°dX называется интегралом Стра-

тоновича, или интегралом Фиска, или иногда симметрическим инте

гралом Фиска — Стратоновича. Справедлива следующая
	Т е о р е м а			1.4. Для каждых X и Y из С£
		1				П
		I	YodX-		i.i.p	V	(X (ti) - X	( f 1_ 1)),			(1.15)
			YodX-		i.i.p	—I	(X (ti) - X	( f 1_ 1)),			(1.15)
					\|Д\|-»0	г=1
где	Д	обозначает			разбиение 0 = tn< tt < . . . <			tn=	t,	а	\|A j =
= max (ti — ti-i).
l<i<n						Имеем
П	Д о к а з а т е л ь с т в о .					Имеем	71
П							71
2	y(?i)^	y		( *	(h) -	X (t,_,)) =	2 Y (fг- i) (X (tt) -		x	& _ ,)) +
i—1						n	i—1
						n
						+	в -О ) (* (*«) -			x
						i^=*l

Поэтому утверждение выводится такими же рассуждениями, как

при доказательство теоремы П-5.1.

(стохастической)

замены

Обсудим,

наконец,

понятие

случайной

времени. !)то

важная

операции

на пространстве квазимартингалов.

О п р е д е л е н и е

1.3. Процессом замены времени ф мы пазовем

любой процесс

ф = ( ф г) е ^ +

такой,

что

вероятностью

единица

функция t >-*•ф| —

строго возрастающая и

Нтф* = оо.

1 1 оо

Для заданного процесса замены времени ф мы полагаем

T t = inHit: ф „ > П .

(1.16)

Тогда с вероятностью

единица

т0 =

функция t

строго воз

растает и непрерывна и limTt =

оо.

Кроме того, т( — (^"*)-момент

i t оо

ф„) е

Положим

остановки, поскольку (тг < и} =

i t

& i

^ т (.

(1.17)

Таким образом,

\)— поток на

(£2,

Р ) . Пусть X = (Xt) — (&"<)-

вполне измеримый процесс.

Определим

Т^Х —( (Т^Х,))

равенством

( ГФХ )( = X tf.

Тогда Г Х -

(&,) -вполне

измеримый

процесс со

гласно предложению 1-5.4. Процесс Т*Х называется заменой време ни процесса X, соответствующей процессу ф. Легко видеть, что если

— пространства квазпмартингалов относительно (ДР% и

соответственно, где (&~t) определяется согласно (1.17), то Тч: Q -+ Q является биекцией, сохраняющей. все структуры на пространстве

семимартингалов:

(Мх) = MT<PXf Гф (Ах) = Ат<?х > X ~ Y тогда

и только тогда, когда Т*Х ~ T*Y. Таким образом, Т4 индуцирует

н о	ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

биекцию между сЙ? и dQ. Кроме того, пространство & относительно t) совпадает с и ТУ— изоморфизм между Jf-алгеброй dQ

и ^-алгеброй dQ. В частности, Тф коммутирует с операцией ЗР.Ж.\ T*(X°dY) = {T*X)°T*{dY).

Доказательство этих предложений проводится следующим обра зом. Согласно теореме Дуба о преобразовании свободного выбора

(теорема

1-6.11)

l e

тогда

только

тогда, когда

Т*{М)е= Ж,

где пространство

Ж определено

относительно

и,

кроме

того,

Т9<М, N> =

<.Т*М, УФА>.

Аналогично,

А ^ Ж

тогда

только тогда,

когда

ТУА е

Ж-.

Следовательно,

7,ф ([ф(Ш ") =

J 7,ф (Ф) й(7’фМ )

для Ф е |

М ^Ж ,

так

как

N = ^ФдМ характеризуется

как

единственный

процесс

из

такой,

что

<N, L> =

|ф d(M, L>

для всех

i e

Ж. Так как все операции в (*?

определяются в терми

нах сложения

(которое, очевидно,

сохраняется оператором Уф),

опе

рации (М, N> и стохастического

интегрирования,

то

утверждение

становится очевидным.

§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения

по квазимартингалам

Пусть (Q, ЗГ, Р) и (ЗГ,) заданы, как в

1. Предположим, что

заданы

X1,

X2, ...,

Хте Q

система

(o](a:))i= lt 2 .... <г,j=i,2,...,r

действительных

локально

ограниченных

измеримых

по

Борелю

функций па Rd. Мы хотим пайти У1, У2, ...,

У'1 такие, что

dYl (t) =

о) (У (*)) •dX>(t),

i =

1, 2, . . . ,

(2.1)

i-i

где*)

У(*) = (У‘ (0,

Y2(t),

Yd(t)).

Т е о р е м а

2.1. Предположим, что

ст)(;г),

i — 1,

...,

d, j =

= 1, 2, ..., d, удовлетворяют условию Липшица,

т. е.

существует

константа К > 0 такая, что

|о)(ж) — о) (у) |

X |я — у)

для всех

х,у<= Rd.

(2.2)

Тогда

для

каждого

заданного

у = (у1, у2, ...,

yd е

существует

единственный

процесс

У =

(У‘,

У2,

...,

такой,

что

У' е Q,

y*(0 ) = y i и имеет место (2 .1 ).

отсутствия

существенных

измене

Д о к а з а т е л ь с т в о .

силу

ний предположим, что d — 1

и что

(2 .1 ) имеет вид

dy = a1 (y(f))*dM + a2 (y(f))*dA,

(2.3)

где М е

Ж, А <= Ж-, йг(х)

(i =

1, 2)

заданы и удовлетворяют

(2.2).

*) Очевидно, каждый процесс aj (У (<)) @ 3S-

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных