|
|
g 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
|
121 |
|||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ип(х) = |
J |
dy ( g„ (z) dz. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
—oo |
*—oo |
|
|
|
|
|
|
||
Согласно формуле Ито |
|
Jf ип(X.) dXs + 1 jt и'п(Xs) ds, |
|
|
|||||||||||
|
ип(.Xt) - |
ип(Х0) = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
и если локальное время |
ж)} существует, то |
|
|
|
|
||||||||||
■JJt и'п(X,) ds - |
-J Jt gn (Xs) ds= |
ооJ gn (у) Ф (t, y)dy-yy(t, a) |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
—9° |
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П - У o o . |
||
Кроме того, ясно, чте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
ж > а , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1О,1 /2 , |
хж<= а,а, |
приге-»-оо. |
|
||||
Следовательно, q>(t, а) |
должно было бы задаваться как |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
ф (*, а) = |
№ |
— а)+ — (Х0 — а)+ — | /(а,».) (Х3) dX,. |
|
(4.1) |
||||||||||
В дальнейшем |
мы покажем, |
что |
|
о |
|
случайных |
величин |
||||||||
семейство |
|
||||||||||||||
ф(/, |
a), t > |
0, |
а е |
R1, |
определенных через (4.1), |
удовлетворяет |
вы |
||||||||
шеприведенным условиям (I) |
и |
(II). Очевидно, |
что (Xt — а) + — |
||||||||||||
— (Х0 — а)* |
непрерывна по |
(t, |
а). |
Покажем, |
|
что существует |
про |
||||||||
цесс |
ф(/, о ) , |
ico-ropi.iii |
непрерывен по |
(/, |
а) п. н., и для каждых t, а |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
I ( a , oo) (X,) d X s П .Н . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ij) ( t , d ) = |
f |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Для |
каждого a e= R1 и T > О |
|
[0, T\ э |
t >— Y |
a {t) = j /( 0,<x.) (Xs) dX, |
||||||||||
является непрерывным процессом, т. е. |
С([О, |
|
|
о |
|
слу |
|||||||||
Г] -+■ Н)-значной |
|||||||||||||||
чайной величиной. Если обозначить |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ЦУа — Уь1= |
max \Ya{t) — y b(t)|, |
|
|
|||||||||
о«<г
то
E{\\Ya- Y bn ^ K \ b - a \ > |
(4.2) |
122 ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
с некоторой константой К = К (Т )> 0. Действительно, если а<Ъ, то t
|
|
(Ya- |
|
Yb it) = |
J / (в,ь1 (Xs) dXs <= M |
||||
|
|
<Ya- |
n > ( = |
J /(О.Ы (Xs ds. |
|
||||
Применив неравенство |
|
(3.1), получаем |
|
|
|||||
E[\\Ya — Yb Г) < |
^ |
(JjI(а,ь] (X.) tfsj J< |
|
||||||
|
|
|
/ r |
|
T. |
|
\ |
||
|
< |
7 - E I j /(„,„] (X.) ds f / (а,ы (Xu) <Zu = |
|||||||
|
|
2 |
' 0 |
|
s |
|
|
1 |
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
= |
-J- j" ds j*duE (/(а,ь] (X.) J(a,b] (Xu)) = |
|||||||
|
|
2 в |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|
h |
b |
|
|
= |
Jds Jdu |
Jp (dx) J dy Jdz X |
|
|||||
|
x vkexp (- M |
l y*. l |
- ,)exp l~ |
< |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
m{b~ a)'- |
Здесь |
p — начальное распределение |
X, |
т. e. p = |
Px°. Неравенство |
|||||
(4.2) |
доказано. |
Согласно |
следствию |
теоремы |
1-4.3 *) существует |
||||
семейство {гр(а)} случайных величин со значениями в С([О, Т] R) |
|||||||||
таких, |
что |
а >-» ф (а) (= С ([О, Т\ R) |
|
||||||
|
|
|
|||||||
непрерывно п. н. и для каждого фиксированного а ф(а) = У«(*) н. н. Ясно, что \|)(£, а) = ф(а) (<), а это как раз именно то, что нам пужно. Поэтому, выбрав эту модификацию, убеждаемся, что <р(£, а) удов летворяет (I). Для того чтобы доказать (II), очевидно, достаточно
показать, что
i
] / (Xs) ds = |
2 J ф (£, a) / (a) da п.н. |
(4.3) |
о |
R1 |
|
*) Это следствие применимо к любой системе случайных величин, прини мающих значения л метрическом пространстве.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
123 |
для любой непрерывной функции f ( x ) с компактным носителем. |
||||||
]1оложим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
F (х) = |
j / (а) {х — a)+da. |
|
||
Тогда |
F е C2(R), |
F ' { x f = |
J f (a) IiatCo)[x)da = J f(a)da, F" (x) — |
|||
•= f{x), |
|
|
|
—oo |
—oo |
|
и поэтому согласно формуле Ито |
|
|
||||
|
F (Xt) - |
F (X0) - |
J* F' (X.) dXs = |
± §tf (Xs) ds. |
||
Левая сторона равна выражению |
|
|
||||
OO |
|
|
|
f f oo |
/(a) /(„,«,) (Xs) da\ d X s. |
|
j /(a) {(Xf — a)+ — (X0 — a)+}da — J j j |
||||||
— oo |
|
|
|
0 l —oo |
|
j |
Если применим нижеследующую лемму, то получим |
|
|||||
П |
|
|
|
I |
\ |
оо |
J /(«) (X, — а)+ — (Х„ |
а )1— J /(о.оо) (X,) dXs| da = |
j f{a)(f{t,a)da% |
||||
► л» |
V |
|
|
0 |
j |
— оо |
и, следовательно, (4.3) |
доказано. |
|
|
|||
Л е м м а |
4.1. |
(Аналог теоремы Фубини для стохастических ин |
||||||||
тегралов.) |
Пусть |
(£2, SF, Р) — вероятностное пространство |
с пото |
|||||||
ком |
|
Пусть |
М е |
Ж\ |
(т. е. М — непрерывный |
квадратично |
||||
интегрируемый |
мартингал |
с |
М0 = О п. н.). Пусть |
(Ф(£, а, со)}, |
||||||
t s [0, |
оо), |
a е |
R1,— семейство действительных случайных |
величин |
||||||
таких, что |
|
о ) е ( [ 0 , °о)Х Й)Х R* |
Ф(£, а, со) SFX&iR1 -изме |
|||||||
(I) |
((£, со), |
|||||||||
римо |
(9* определена в главе I, с. 30); |
измеримая по Борелю функ |
||||||||
(II) |
существует неотрицательная |
|||||||||
ция f(a) такая, что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
IФ(?, а, со) I < |
/(о) |
для каждых t, а, со. |
|
|
||||
В силу |
(I) |
и |
(II) |
интеграл |
jtФ(s, а, )ос dMsе |
определен |
||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
корректно. Предположим, кроме того, что |
|
|
||||||||
(III) |
(а, со) н* | Ф (s, а, со) dM, |
J?(R‘) X ЗГ-измеримо для каждого |
||||||||
о
t > 0 .
124 |
|
|
|
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
|
||||||
Пусть p,(da) — неотрицательная борелевская мера на К1 |
такая, |
|||||||||||||
что |
\/ (a) u (da) < |
оо. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к1 |
|
|
t -> ] Ф (t, а, со) р (da) <= 3?2 « М » |
|
|
|
(4.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
(г. е. эта функция предсказуема и Е |
j |
jo ( s , a, -)р^а)| |
d (M )s < |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОIRI |
|
J |
|
|
|
< о о |
для каждого t) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
j |
( I Ф |
|
а» |
I1 (^®)| |
= |
j* |
j" Ф (s, а, со) dMsj |i (da). |
(4.5) |
|||||
|
0 |
(R1 |
|
|
|
J |
|
Rl |
lo |
|
J |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Ясно, |
что \Ф (s, а, со) p (da) |
(&~t) -пред- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rl |
|
|
|
|
|
сказуем и ограпичеп. Поэтому очевидно, что |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Е |
j |
| j Ф (s, а, (о) р (da)| |
d <M>«j < |
оо. |
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
процесс в |
(4.4) корректно определен |
как элемент |
||||||||||
в Ж\. С другой стороны, a ^ |
j Ф (s, а, со) dMs измерима по Борелю |
|||||||||||||
согласно предположению (III) |
о |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и для каждого Т > О |
|
|
|
|||||||||||
( j.i (da) шах |
|
\Ф (s, а,, со) dMs |
^ |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ri |
|
о< t * T |
|
|
|
|J |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
< j |
|
|
( Г |
|
И |
ф |
(.<?, |
Г'1 1 1/2 |
< |
|
|
|
|
|
|
И- (da) |Е | |
щах^ j ] |
а, со) dMsj |
Jj |
|
|
||||||
|
|
< 2 |
J (da) |
|
|
a, со) dMsj jj |
= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
f p ( d a ) ^ | j V ( s , a, c o ) d < M > sJ j |
|
< |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< 2 |
( / (a) p (da) {Я [<M> (Г)1>1/2 < |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
I p (da) max |
I ф (s a, ©) dM, < о о п . |
H., и |
отсюда |
|||||||||
|
|
|
|
|
0< i-4 T |
•’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
|
|
125 |
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
следует, |
что t *-*■ J р (da) } Ф ($, а, со) dM„ |
непрерывно |
п. н. Таким |
||||||||
образом, |
|
к1 |
о |
корректно |
и определяет |
||||||
правая сторона |
(4.5) определена |
||||||||||
(^^-согласованный непрерывный процесс. |
Последний |
является |
|||||||||
квадратично интегрируемым, так как |
|
|
|
|
|
||||||
Е |
И j |
ф (s, а, со) dMs J р (da) |
|
|
|
|
|
||||
|
-R1 |
\о |
|
|
г t |
t |
|
|
-j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
| [х (da-j) |
J p (da2 |
E |
J Ф (s, аъ со) dMsJ Ф (s, a2, со) dMs J = |
||||||
|
|
R 1 |
|
R1 |
|
Lo |
о |
|
|
J |
|
|
= |
|*p (daj |
j p (da2 |
E |
Ф (s, a1: со) Ф (s, a2, co) d <M>S}< |
|
|||||
|
|
J / (ai) P (dai) j* / («г) К (da2 E [<M> (t)] = |
( j / (a) p (da)Y X |
||||||||
|
|
Rl |
|
R l |
|
|
|
\RX |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X E [(M } |
(t)]< 0 0 , |
||
Этот процесс является также (&~i) -мартингалом, так |
как |
если |
|||||||||
<>« >( ) н Л е У „ то |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Е |
I I A |
j |
р (da) j |
Ф (и, a, со) c W u1 = j р (da) е \ I A j Ф ( и , а, со) < Ш |
„ 1 = 0 . |
||||||
I |
Rl |
* |
|
j |
R1 |
L S |
|
Аналогично, если N е Ж г, то |
|
|
|
|
|||
Е [ / . |
| |
j р (da) | |
Ф (и, а, со) с Щ „ | (N t - i V s) j = |
|
|||
|
|
= I р (da) Е j^ /A j |
Ф |
(и, а, со) сМ и (N t — iV 5) j = |
|||
|
|
= J р (da) Е Г/АJ Ф (и, а, со)d <А/, ДГ>иj = |
|||||
|
|
R 1 |
L * |
|
|
J |
(da)Jd |
|
|
|
- |
Е ^ I A j |
j J Ф (и, а, со) |
||
|
|
|
|
|
t |
' . |
|
Т а к и м |
|
образом , |
t >-*■ J p (da) J Ф (u, a , co) dMu = |
L t |
|||
J
<М , N > uj .
является