§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
131 |
|
|
Способ построения мер п+ и п~ состоит в следующем. В главе IV, |
|
пример 8.4, мы убедимся, что для каждого Т > 0 существует веро ятностная мера Ртна Ж+ П(а (ш) = 2’} такая, что
l>TUv, w (ti)^dxu w(t2 ^ d x2, . .., ■w(tn)^dxn) =
Л-(0, 0, 1, |
Xi)h(tu Xi, t2, Xz} ... Л- (£„—i, xn-i, |
.Tn)dx^dx2... dxn, |
|||||
•'До |
|
|
|
|
|
|
|
|
t,b) P°(t — s, a, b) |
0 < |
s < |
f , |
a , |
b 0,> |
|
/< (s, a; f , b) = |
л ' (7 — s, a) |
|
|
|
|
|
|
|
] / Y T*K +(i,b)K+ (T —t,b),s = |
0, f > 0 , |
a = |
0, b > 0, |
|||
и 0 < tt < t 2 < |
... < tn < T. a-конечная |
мера |
тг+ |
на |
{Жг’+, |
^(Ж’ 4')}, |
|
определенная равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
ос |
|
|
|
|
|
|
п + (В) = | Р Т (В П {а (и;) = Т }) - ¥ = = , |
В <= ® |
( Г +), |
|||||
удовлетворяет (4.12); п~ может быть построена аналогичным обра-
(юм. |
Пусть |
Г |
- У |
U 7Г-, |
a(W°) |
rtl(7r+)V @(Ж~), |
а п - а-ко- |
||
1I04IHUI |
мори |
нм |
(Ж ’, |
№(W')) |
тикая, |
что/< |у 1 ■•=н 1. Согласно теоре |
|||
ма I 0,1 |
мы |
можем |
построить стационарный |
пуассоповскии точеч |
|||||
ный |
процесс. |
/I |
па Ж' с характеристической |
мерой п. |
Мы назовем |
||||
его пуассоновским точечным процессом броуновских экскурсий.
Предположим, что нам задан пуассоновский точечный процесс бро
уновских экскурсий р |
на вероятностном |
пространстве (Q, |
Р). |
|||
Проуневское движение |
X (t) |
строится |
из |
р следующим |
образом. |
|
Положим |
|
|
i+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (t) = |
2 |
а (Р(s)) = f |
f a (w) Np (dsdiv), |
|
||
|
,S€~\ p |
Q |
|
|
|
|
где Dp — область определения p, NP(dsdw)— считающая мера про цесса р, определенная посредством (9.1) в главе I, § 9. G вероят
ностью единица t<-*A{t) строго возрастает и П тЛ (£)= оо. t Т00
Поэтому обратная функция cp(t) = A~l(t) непрерывна. Для каждо
го t ^ |
0 положим s = cp(£). Если A (s~)< A (s), то |
s e D f, и мы по |
|||
лагаем |
X(t)=p(s) (t — A(s~)). Если A (s- ) = .4(s), |
полагаем Х(£) = |
|||
= 0. Ясно, что X (0) = 0 и отображение t -*X(t) |
непрерывно п. н. |
||||
Мы можем отождествить X (£) |
с одномерным |
броуновским движе |
|||
нием, начинающимся в 0, |
a <р(£) с локальным временем в 0: |
||||
|
|
|
< |
|
|
|
cp (£) = |
lim X |
f J(_e,e) (X (s)) |
ds. |
|
|
|
ej о4e |
J |
|
|
9*
132 ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ и с ч и с л е н и е
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы можем предположить, что р задан как (&~t) -пуассоновский точечный процесс относительно некоторого
|
|
|
|
|
|
|
*+ |
|
|
|
|
потока (9~t) ■ Тогда |
|
Л(t) — J |
j*a (w) Np (dsdw) {SFt)-согласован, |
||||||||
и |
поэтому |
|
|
|
|
о Ж |
|
для |
каждого t. |
||
ф(г) = Л-1(<) — (^"()-момент остановки |
|||||||||||
Пусть |
= |
и |
|
|
|
— обычные |
о-поля; в |
частности, |
|||
F v(l)- — о-поле, |
порожденное |
множествами |
вида |
^4 П(s < ф(^)}, |
|||||||
А ^ SF„ |
« е [0 , оо). |
Для |
каждого фиксированного |
t > |
0 положим |
||||||
Ft(s, w, |
<о) — w(t — A (s — |
|
Этот процесс (^"^-предска |
||||||||
зуем и принадлежит Fp П Fp. Действительно, |
|
|
|
||||||||
U |
|
A (s)) 1 {1> А М ) 1f t p (dsdw) = |
|
|
|
||||||
5 |
J 1w ( t |
— |
|
|
|
||||||
о |
5г |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j ds |
j |
[u> (t — A (s)) / {(>а(,)>] n+ (dw) + |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
ds |
j |
[ ~w (t — A (s)) /{(>A(S)>] n~ idw) = |
|
||||
|
|
|
о |
ж |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
= |
2 J dsl(<>A(s)) |
j |
(t |
A (s), x) xdx = 2 j" I{t^A(s)} ds, |
||||||
|
|
|
о |
|
(O.o°) |
|
|
о |
|
|
|
где Np(dsdw)— компенсатор точечного процесса p. Кроме того,
и
j $ \ w ( t - A (s)) I (t>A(f)) \2Np (dsdw) =
о ж
U |
|
= 2 j ds /{!>A(s» |
f K + (t — A (s), x) xHx = |
0 |
(0,0°) |
Положим NP(ds dw) = Np(ds dw) — деленный выше процесс X(t) для записать в виде
= Т/^л IU ^ _ ^ (s))l/2I (i>A(?)}ds. v о
Nf (ds dw). Тогда ясно, что опре каждого фиксированного t можно
<р(0+ |
|
<Р(0+ |
|
X (t) = j |
j Ft (s, w, •) Np(dsdw) = |
j |
j Ft(s,w, ■)Np(dsdw), |
о |
Ж |
о |
ж |
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
133 |
поскольку
<р«) +
j f Ft(s, w, •) Np“ (dsdw) = 0.
оЖ
Пусть*) 2/6t — &~t- V o[p(cp(t)) (it — A(y(t)) —): t]<= STt. Мы покажем, что X (t) — (Ж,)-м&ртингал с (ХУ (t) = t. Положим Я(оо) =
— Hi((i>)H2(a>), где IIДео) ограничена и ^".-измерима, а |
Я 2(w) = |
||||
= G(P (<P (S))7-AMS)-))- |
Здесь G(w) — ограниченная |
3§(Ж*)-измери |
|||
мая функция на**) Ж* и для w ^ F * и s > 0 |
Ж* определя |
||||
ется равенством wT (t) = |
w (t Д s). |
Достаточно доказать, что |
|
||
E(X(t)II((o))=E(X(s)H(a)) |
|
(4.13) |
|||
Я ([Х («)2- « ]Я (( о)) = |
£ ([Х (.)2- 5]Я((о)). |
(4.14) |
|||
Равенство (4.13) доказывается следующим образом: |
|
|
|||
[<р(0[ |
I- |
f Ft {и, w, со) Nv(dudw) Я (со) |
|
|
|
оЖ
[ ТО) I- |
^ |
j |
( Е, (и, ц > , о>) N},(dudw) Я (о>) |
оЖ
|
= Е Г |
2 |
*, (т, р (т), СО) I I («,)] = |
|
|
|
[x«J> (s),xeD p |
|
|
= Е\ |
2 |
Ft (т, Р (т), со) я(со)! + Е [F, (ср (s), р (ф (s))3 со) Я (©)]: = |
||
[т«р(*).тевр |
|
|
J |
|
:= / х + Iz.
Здесь / 1 = 0, так как Ft(т, р(х), со)=0, если т < cp(s)< cp(i). Из вестно (см. [37]), что существует ограниченный (&"t) -предсказу емый процесс H i (со) такой, что Я х (со) = Н $,}(со). Тогда из нижеследующего равенства (4.15) следует
/ 2 = Е (Ft (Ф (s), р (<р (s)), со) Я х (со) Я 2 (со)) = |
||
~ E l |
2 |
-^{s—А(х—)<(Г(р(х))}Я( (т, р (т), со) Я (х1} (со) G (р (т);-А(Т-) |
(x<q>(s).x£Dp |
||
/cp(s)4- |
V |
|
|
A ( « - ) < a ( « » / t (и, W, со)Я<Д (со) G {ws- A{u-))N p(dudw) |
|
\ |
о Г |
|
*) |
p(s) (=Ж, s <= Dp, продолжается как р (s) (.) = 0, если s & Т>р. |
|
**) |
== Ж U (0), где 0 — функция 0 (г) == 0. |
|
134 |
|
|
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f<P(s) |
|
Г |
|
|
|
= Е М |
dutiff (а) ] I{s-A(u)«j(w))Ft (и, W, a) G (wZ-Mv)) п (dw) |
|
|||
lo |
|
|
\у> |
|
|
|
|Ф<0 |
г |
|
|
|
= |
Е\ |
J |
d u H ^ i u ) ] ) I { s —A(u)«s(w)}Fs (и, W, (o )G {w s-A(u)) n(dw) |
||
|
' |
0 |
|
|
|
Следующие равенства выражают |
основпые свойства меры п: |
если |
|||
t > s > |
0 и g(w) ограничена и J?s (Ж)-измерима *), то |
|
|||
|
|
|
I" w(t) g (w) п (dw) = |
j' w(s)g (w) n (dw) |
(4.15) |
и |
|
|
|
|
|
f [и; (t)2 — t/\o (w)] g (w) n (dw) = |
( [w (s)2- — s Д о (w)] g (w) n (dw). |
||||
Ж |
|
|
|
УГ |
(4.16) |
|
|
|
|
|
|
Вышеприведенное рассуждение можно сейчас обратить и убедить ся, что
(Ф(0 г
Е I |
j duHu |
(®) |
J ^{!-А(и)<а(»)}^I К |
‘ ) G ( W S—A (U)) л (dw) |
{ |
о |
W |
= Е(Х (s) II ((d)). |
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(4.14) |
доказывается аналогичным образом, если брать |
||
Ft (s, w, w) ■= (w (t — Л (s —))2 — l(i — Л (s —)) Д о (w)}) / {i>A(s-)}и при
менять равенство |
(4.10). В этом случае F,(т, р(т), * )^ 0 |
для |
т < |
<<p(s), но легко |
видеть, что F,(т, р(т), • = F,(т, р(т), |
•), |
если |
T<<p(s). Следовательно, X(t) является (5^,)-броуновским движе нием согласно теореме Н-6.1.
Докажем |
теперь, |
что <р (t)— локальное время |
в начале коорди |
||
нат процесса X(t). Яспо, что |
|
|
|||
|
|
ч>(0+ |
|
|
|
|X (f)|= |
[ |
j* \w(t — A(s —))/ { ( > A |
( s - ) } |Np(dsdw). |
||
|
|
о |
ЗГ |
|
|
|
|
|
oo |
|
|
Заметив, что |
[ |w (t) |n (dw) = 2 j xK+ (t, x) dx = 2 |
для каждого t > |
|||
|
ЗГ |
|
о |
|
|
> 0, паходим |
|
|
|
|
|
|
4(0+ |
|
|
_ |
|
IX (t) I = |
J |
11 w ( t - A ( s - ) ) / {(>а(8- » |
I Np(dsdw) + 2<p (t). |
||
|
о |
W |
|
|
|
*) 3S. (Ж) — о-поле на Ж, порожденное цилиндрическими множествами до момента s.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
135 |
Такими же рассуждениями, как и выше, можно доказать, что Ф(J0+ f|w(t — A (s —)) / { i > A (s_ )} |Np (dsdw) .
ож
является |
) -мартингалом, и, таким |
образом, согласно теореме 4.2 |
||
можем заключить, что |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ф (<) = |
lim |
4- f /[о,е) (I X (s) I) ds. |
|
|
|
Еj о |
ь " |
|
Для обратной к cp (t) |
функции A(t) |
снраведливо выражение |
||
|
|
t + |
fо (w) Np(dsdw). |
|
|
A (t) = j |
|||
|
|
о |
ж |
|
Отсюда легко видеть, что ^ ( ^ — возрастающий процесс со стацио нарными независимыми приращениями такой, что
Е (exp(—ХА (t)))= exp(—Щ(Х)),
где
00 |
00 |
|
|
ф (X) — j* (1 — е Ли) п (о (ш |
е= du) — j (1 — «-*“) 2du |
2 /2Я ,. |
|
и |
о |
V 2лв3 |
|
|
|
||
Таким образом, мы доказали следующую формулу, описываю щую броуновскую траекторию в терминах пуассоновского точечного процесса р броуновских экскурсий:
<p(t+) |
|
X ( f ) = j j w (t — A (s —)) Np(dsdw), |
(4.17) |
ож
t+
A (t) — j J o (w) Np (dsdw) и ф (t) — функция, обратная к t >-* A (t).
О Ж
Это выражение можно рассматривать как формулу разложения броуновской траектории на ее экскурсии. Используя эту формулу, можно получить много результатов о локальном времени ф(t) и множестве нулей 2Z процесса X(t). Прежде чем перейти к некото рым примерам, введем следующие отображения:
7\| W -> (0, с»), |
определяемое |
формулой |
Txw = o(w), |
(4.18) |
и |
определяемое |
формулой |
T2w = max |
|u;(i)|. |
Т2: 2Р-►((), оо), |
o<t<o(w)
(4.19)