136 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
Ti и Тг порождают стационарные пуассоновские точечные процессы Ti(p) и Ti(p) на (0, °°) посредством формул
|
= D P и |
Ti (p)(s) = |
Ti (р {s)), |
s е= Dr .(!)), i = |
1, 2. |
|||||||
Характеристическая |
мера |
Wi |
процесса |
Ti(p) |
задается |
равенством |
||||||
Hi ([ж, |
оо)) = |
2«I({гг;о(гг)> |
4 ) |
|
оо |
|
|
|
= (42.20)] / J;, |
|||
= |
2 J |
|
|
|
||||||||
а характеристическая мера |
|
процесса |
Т2 (р) — равенством |
|
||||||||
лг2([л:, о°)) == 2ге+ (iw; max |
w (t) ~^x\\ = |
|
|
|
|
|||||||
|
U |
0< t«s(w ) |
|
i ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
— lim 2re+ (lw; cr(ir)> e, |
max |
w(t)^x\\ = |
|
|
|||||||
|
eJo |
U |
|
|
|
е<г<в(№) |
|
/у |
|
|
||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 2 j /С 1(e, y) l\ (ox < |
a0) dy = |
|
|
||||||||
|
|
ei о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
“ г |
Л |
/ ; |
5 |
!' o x p ( - 2 4 ) ' 4 - ' * = |
- r - <4-21> |
|||||
где A — мера Винера, |
начинающаяся |
в ж, а о„ — момент первого |
||||||||||
попадания в а *). |
|
|
|
|
|
и е > |
0 положим: |
|
|
|||
Для броуновской траектории X(t) |
|
|
||||||||||
rj,(f)— число интервалов экскурсий в [0, t), |
|
|
|
|||||||||
длила которых пс меньше чем е, |
|
|
|
(4 22) |
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d,(t) — число пересечений сверху вниз от е |
|
|
|
|
||||||||
|
до 0 и пересечений снизу вверх от —е до О |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
до момента t траекторией X(s). |
(4.23) |
|||||||
Из (4.17) |
неносредствепно следует, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ле(0 |
= ЛГГ1(р) ((О, ф (t)) х [е, |
оо)) |
|
|
|||||||
de(t) = NTt<v){(0, ф(*))Х [е, оо)).
Из усиленного закона больших чисел следует, что
Р ^lim | / ^r-Wri(p)((0, а) х |
[е, оо)) = 2а |
для |
всех |
а > 0 ^ |
= |
1 |
||
и |
|
[е, оо)) =. 2а |
для |
всех |
а > 0) = |
1. |
||
Р (lim еАгт (р) ((0, а) X |
||||||||
\ el о |
2 |
|
|
|
|
|
) |
|
*) Формула Ра(ос < Об) = (Ь — а)/(Ь — с), Ъ< а < |
с, |
хорошо |
известна |
|||||
и легко получается |
из того факта, |
что w («Д crcA ab) — а |
есть Р„-мартингал. |
|||||
8 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
137 |
Следовательно, нами доказан следующий результат, принадлежа щий Леви *):
p (lim |
Ц -Пе (*) = 2ф (0 |
для всех t > 0 ] = 1 |
(4.24) |
Vejo |
^ |
' |
|
я
Р ('limede(i) = 2<p (f) для |
всех t ^ 0 \ = 1. |
(4.25) |
I eio |
) |
|
Пусть р+ и р~ — сужения р на Ж* и Ж~ соответственно. Тогда |
||
р+ и р~ — стационарные пуассоповские |
точечные процессы |
на Ж+ |
и Ж~ с характеристическими мерами п+ и п~ соответственно; кро ме того, они взаимно независимы. Если положим
А + (t) = |
j |
j o |
(w) Np+ (dsdw), |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
<P+(0+ |
|
|
|
|
X +(t) = |
|
j |
f |
w (t — A+ (s —)) Np+ (dsdiv), |
|
|
|
о |
|
|
|
|
t\ |
|
|
|
|
л (*) |
.1 |
J |
o(w)N |
(dsdw), |
|
|
" |
r ~ |
|
|
|
|
*P"40+■ |
|
|
||
X-{t) = |
|
j‘ |
J |
[ - |
W (t - A - (s - ) ) ] ЛГР_ (dsdw), |
ож -
где cp*(i)— обратные функции соответственно для t Л* (i), то, как и выше, можно доказать, что X+(t) и X~(t) — взаимно незави симые отраженные броуновские движения. Процессы X+(t) и X~(t) легко отождествляются с X(t) — x ( т,) и Y(t)= —«(гр), определен ными в предыдущем пункте.
В оставшейся части этого пункта мы изложим в терминах броу новских экскурсий красивые результаты Питмана [144] и Уильямса [164] о двойственности менаду броуновским движением и бесселев-
ским диффузионным процессом с индексом 3 |
и особенно теорему |
||
Уильямса о разложении |
броуновской |
траектории. Бесселевский |
|
диффузионный процесс |
с индексом а |
будет |
введен в примере |
IV-8.3. В последующем изложении нам понадобится только случай |
|||
а = 3. Обозначим соответствующую диффузию |
»)• Это диф |
||
фузионный процесс на [0, °°) с переходной вероятностью q (t, х, у) dy>
*) Леви только предугадал формулу (4.25); различные доказательства см., например, в книгах: Ито, Маккин [77], Чжун, Дюрре [179] и Уильямс [164].
138 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
|
где |
|
|
|
■jP°(t,x,y)y |
для t , x , y > О, |
|
q(t,*,y) = |
(4.26) |
|
K*(t,y)y Для |
t , y > 0, ж = 0 |
с p°(t, х, у) и K+(t, у), определенными выше. Броуновское движе ние (Х(£)} с Х (0 )= 0 обозначаем через ВМ°, а случайный процесс Y(t) с распределением Qa — через BES°(3).
Пусть р+ — точечный процесс на Ж + и A+(t) определены так же, как и выше. Определим непрерывный процесс (Х(£)} ра венством *)
X (£) = s — l/?+ (s)] (f — А+ (s —)), A+ ( s - ) ^ t ^ A + ( s ) . (4.27)
Так как Х (£ )= ф+(£)— Х +(£), то согласно теоремо 4.2 мы можем заключить, что {Х(£)> ость ВМ\ Это также может быть проверено непосредственно таким же доказательством, что и выше. Теорема Питмана утверждает, что если определить непрерывный процесс iY(t)} равенством
Y (t) = s + [/>+ (s)] { t |
- |
А+ (« - ) ) , |
Л+ (s - ) ) < |
£ < А+ {S t |
(4.28) |
|||||||
то {Y{t)} есть BES*{3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для w ^ ур+ определим w е Ж+ формулой |
|
|
|
|||||||||
|
- |
Iw(p(w) — t) |
для |
0 < £ < a (w ), |
|
|
||||||
|
и,(*) “ 1 |
|
0 |
|
для |
V^a{w). |
|
|
|
|||
|
v |
|
и мера п+ инвариантпа относительно |
отоб |
||||||||
Ясно, что a(w) = a(iv) |
||||||||||||
ражения W <-*■W. Это, очевидно, так, поскольку мера Ртинвариант |
||||||||||||
на относительно этого |
отображения (см. пример IV-8.4). Фиксиру |
|||||||||||
ем а > 0 и определяем точечный процесс р на Ж? с |
= j s e |
(0, а); |
||||||||||
а — |
s ( = Dp+] (J |
(s e (a , |
OO) ; S G |
Dp+] и |
|
|
|
|
|
|||
|
|
р+ (а — s) |
для |
s e D |
- d (0, а), |
|
|
|||||
|
p(s) = |
p+ (s) |
для |
s e D |
- f l ( « , |
«>). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
Так |
как мера |
dsn(dw) |
на (0, |
а) X Ж* |
инвариантпа относительно |
|||||||
отображения (s, iv) >-* (a — s, |
w), то |
ясно, |
что |
закон |
распределе |
|||||||
ния р совпадает с законом распределения процосса р+. Если опре делить (X (f)} посредством (4.27) с процессом р+, а (У(£)} посред-
*) Поэтому * = ф+(«)• Если s ф D^+ , то полагаем [?+ («)] (О н= 0.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
139 |
ОТВОм (4.28) |
с процессом |
р, то непосредственно убеждаемся, что |
А+ (а) = |
А(а): = 2 o |
[ f ’ (s)]> Л+ (а) = inf {f; X (t) = а}, |
|
8 4 а |
|
и |
А(а) = |
sup [f; Y (t) = а) |
|
|
Y(t) = a — X+(A+(a) — t) для 0 ^ t < А+(а).
Таким образом, из теоремы Питмана следует следующая теорема Уильямса: если {X(t)} представляет собой ВМ°, a (Y (t)}— BES°(3),
то |
{a — X(aa— t), |
S ’ |
la , |
где |
o* = |
|
Y (t) — а). |
||||||
= |
inf {t: X (t) = a), a la = sup it: |
Обратно, если |
мы |
смо |
||
жем сначала доказать теорему |
Уильямса |
(это легко сделать по |
||||
средством выписывания конечномерных распределений в явном ви
де; |
см. [164]), то, |
устремив |
a t 00 |
в |
вышеприведенном |
рассмотре |
|||||||||||||||
нии, немедленно получим теорему |
Питмапа. |
|
Для полноты дадим |
||||||||||||||||||
прямое доказательство теоремы Питмана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ясно, что |
{X(l)}, (Y (f)} |
и |
{q>+(£)}, определенные через р+, свя |
|||||||||||||||||
заны |
друг |
с |
другом |
следующими |
соотношениями: |
X(t) + Y(t) = |
|||||||||||||||
= |
2<p+(t), |
rp+(t)= |
sup |
X (s) = |
|
inf |
|
Y (s). Следовательно, |
достаточ- |
||||||||||||
но |
|
|
|
|
|
0 < » < t |
|
|
t < S < 0 a |
представляет |
собой |
BES°(3), |
|||||||||
доказать следующее: если |
{Z(l)} |
||||||||||||||||||||
a |
iJ(l)) опрсОслси |
равенством J (l) «=» |
inf Z(s), |
TO |
W(t)='2J(t) — |
||||||||||||||||
- |
Z(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1484 oo |
|
доказать |
только то, |
|||||||
будет процессом BM°. Для этого |
нужно |
||||||||||||||||||||
что |
W{t) — мартингал, |
поскольку легко видеть, |
что |
<.W>(t) = t. За |
|||||||||||||||||
метив |
очевидное соотношение |
|
J {s) = J (t) Д |
inf |
Z (и), |
если |
s < ty |
||||||||||||||
легко |
обнаружить, |
что |
|
= |
|
о ( / (t)) V &~t |
для |
каждого |
t > |
О *). |
|||||||||||
Следовательно, достаточно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
E(W(t) 7(J(8)>а)Я) = E(W (s) /,,(„>.,«)■ |
|
|
|
(4.29) |
||||||||||||
для |
каждых |
s < t |
и |
a > О |
и ограниченной |
^ f -измеримой функ |
|||||||||||||||
ции |
II. Обозначив |
Jt(w) *= |
inf |
w(u) для w е= W [0, <*, |
С([0, |
«>) — |
|||||||||||||||
|
[0. °°)) |
|
|
|
i < U |
< |
о о |
|
|
|
|
|
* |
|
• |
|
|
|
|||
|
и H = H{Z), где |
H(w)— ограниченная |
(W [0, „ ))-изме |
||||||||||||||||||
римая фупкция, будем иметь **) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
E[{2J(t)- Z(t))I{Jw>0)H] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
Е Г(2 / (t) — Z (t)) / {J(()>0} I |
{ i n f Z(«)>a) Щ = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
Ku<t |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
= |
E0\{2Jt (w) |
W(f)) /{Jt(u))>a} I (in( «,(u)>a} H (w)] = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
t^ u < t |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
• > ( * T ) « |
( * ? ) |
— естественные |
потоки процессов |
{ W (г)} |
и {£ («)} со |
||||||||||||||
ответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
**) |
обозначает математическое ожидание относительно Q& |
|
|
|
|||||||||||||||
140 |
|
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
||||||
=“ |
|
|
|
|
+\ |
{inf to{u»a} н (IH)1 * ) = |
|
|||
= |
^ 0 j^(2-^tti(0 [*^0^{/e>a}] — w (t) Ew(t) [^{J0>a)]l I |
Onf w(u)>a)H(w)j = |
||||||||
= |
^ e[(* — ^ |
j ) |
7{aa(U,+)>/_,> 7<»<*»“>Пj ** ) = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= E0J^£u,(S)|^a — -w(t_ SJ |
|
I{w(*)>a) # ]. |
||||
Здесь мы воспользовались тем фактом, что |
|
|
|
|||||||
|
л _ |
|
|
|
+ оо) = |
fl — blx |
для |
Ъ<.х, |
|
|
|
$я (^ 0 > Ь) = ^ ( о ь = |
| |
0 |
для |
х < ь |
|
||||
в, |
следовательно, Qx( / 0 е db) |
|
|
db |
|
|
что |
|||
h о,х)Ф) — ‘ Легко видеть, |
||||||||||
|
E * [ ( a |
W ( J |
7 1°«> U } ] = |
Ё * [ ( a |
- |
№ ( » A J |
] |
“ a “ |
* |
|
для каждых и > |
0 и х > а. Поэтому левая сторопа равенства (4.29) |
|||||||||
равна Е0j^a - т |
У |
л * .» .> 4 |
и аналогичные рассуждения пока-» |
|||||||
зывают, что это последнее выражение совпадает с правой стороной того же равенства.
Обратимся, наконец, к теореме разложения Уильямса. Положим
m(w)-* sup w(l) |
для № e ] f +, Пусть р+ — точечный процесс на |
||||
о<1<о(111) |
|
|
|
считать (&"/)- |
|
Ж+, онродолонный, как и выше, который мы можем |
|||||
точечным |
процессом, |
и |
определим |
{У(I)) равенством (4.28). За |
|
фиксируем |
а > 0 и |
положим 0 = |
mill [s (= Dp+: s + m [p+ (s)] ^ a } . |
||
Тогда 0 — |
t) -момент |
остановки |
такой, что 0 < a |
п. п. Согласно |
|
теореме II-6.5 точечный процесс |
р*, определенный посредством |
||||
Dp» = { i > 0 : i+0<=Dp+] |
и p*(f) = p+(t + 0), является точечным |
||||
процессом пд Ж+> независимым от SFъ и с тем же самым закопом
распределения, что и р+. Следовательно, точечный процесс р, опре деленный посредством D~ = { s e ( 0 , a — 0): a — 0 - s e D p*} (J ( s e
s (a — 0, oo): s <= Dp*} и
v |
ip* (a — 0 — s) для |
s e D v f l ( 0 , e - |
0), |
|
P ^ ~ |
jp* (4 |
для |
s <= DjT П (a — 0. |
oo), |
является также |
точечным |
процессом |
на Ж+, независимым от 9~ъ, |
|
с тем же самым законом распределения, что и р+. Если определим
*) |
(li> + ) |
(и) |
= |
w (f + и). |
* * ) |
о а (w) |
= |
in f |
{(: w (t) = a }. |