146 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
||
|
|
|
|
|
Согласно теореме |
II-7.3 |
мы можем заключить, что |
Zi (f) = |
|
= У № В (ч (г , о)), |
где |
B (t) — броуновское движение |
с В (0) = |
|
= 0, но зависящее от Z, (t) . Этим показано, что распределение про
цесса Z(t) определяется единственным образом. В частности, по |
|||||
казано, что |
сходится по |
распределению |
к |
процессу |
Zi(t). |
Утверждение (II) |
следует, если |
заметить, что |
</, |
/> = 2F2. |
Прове |
ряется ото непосредственно следующим образом: |
|
|
|
||
— j I IX— у I / (ж) / (у) dxdy = — 2 j | (х — у) / (х) / {у) dxdy =
RlRl Х>У
=■ — 2 j J ( j |
dz If(x) f (y) dxdy = |
— 2 J j |
j / (x) f (y) dxdydz =■ |
|||||||
|
» > y \y |
) |
|
|
|
x |
> z |
> y |
|
|
o o o o |
|
z |
|
oo / z |
|
\ 2 |
oo |
|||
«= — 2 j dz j / {x) dx j |
f{y )d y = 2 j |
I j |
f(y)dy j |
|
dz = 2 j F (z)® dz. |
|||||
— 0 0 |
z |
|
— 0 0 |
|
— 0 0 \ — 0 0 |
|
/ |
|
— 0 0 |
|
§ 5. Экспоненциальные мартингалы |
|
|
|
|
||||||
Пусть |
(0, ST, P) |
и |
( J i j o о |
заданы, |
как в |
§ |
1, и рассмотрим |
|||
квазимартипгал Х (0 |
такой, что |
Х ( 0 ) = 0 . Тогда |
экспоненциальный |
|||||||
квазимартингал, определенный равенством |
|
|
|
|||||||
|
|
M (f) = exp{xt - i- < M x > (}, |
|
(5.1) |
||||||
является единственным решенном стохастического дифференциаль ного уравнения
\dM = M-dX,
U |
- i , |
М |
что легко проверяется по формуле Ито и теореме 2.1. |
||
Определим полиномы Эрмита |
|
|
B A t,x] = tzJfL e x p g ) ^ e x p ( - y , |
п ^ О ; |
|
имеем |
|
|
00 |
|
|
2 упBn Wxх1 = ехР |
— -^г) Для каждого |
(5.3) |
п=о
Вчастности,
Я0 [t, X] = 1,
Яi [t, х] = Хщ
Я2 [t, х] = ^ — 4 .
§ 5. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
|
147 |
|||||||
Д « каждого J i e R положим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мх (г) = |
ехр |хХ( — ~ <МХ>(] = |
exp |х,Х4— |
<Мхх>(]. |
(5.4) |
||||||
Поэтому Mx(f) — единственное ретпсние уравнения |
|
|
||||||||
|
|
U ( 0 ) - 1 . |
|
|
|
|
<5- ’> |
|||
Согласпо (5.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
О |
|
|
|
Л/х(0= 2 ЪпЛп[<Мх>и х,]: = 2 bn2I„(i), |
|
|
||||||||
|
|
п = 0 |
|
|
|
|
71=0 |
|
|
|
где мы полагаем Z n(t) = |
/ / и[<Л7дг>г, X,]. Согласпо |
(5.5) |
|
|
||||||
А Д («) = |
X1 tf+М к (s) dX (S) |
= |
1К+t ПI оо |
X'SZn2 |
(s)\ dX (s) |
= |
|
|||
|
|
о |
= |
1 |
о |
2t Z |
|
' |
^2 Z n (t). |
|
|
|
|
ОО + |
п (s)^n+1dX (s) = 00 |
||||||
|
|
|
|
«-*■0 |
Q |
|
71=0 |
|
|
|
Отсюда мы устапанлинаом, что |
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0(t)== l |
и |
z |
n(t) = |
j a : „ _ 1(s)dX(s) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|ДЛя n — 1, 2, . . . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
*1 |
|
*n—1 |
|
|
|
|
|
|
s : n (f) = j ' d x ( g j ' d x ( t 2) . . . |
J dX (tn). |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Таким образом, мы доказали следующий |
результат ([67] |
и |
[107]). |
|||||||
Т е о р е м а |
5.1. Для всякого п — 1, 2, . . . |
|
|
|
||||||
t |
|
( 1 |
|
?п—1 |
|
|
|
|
|
|
JdX(i,) f d X ( t 2) . . . |
f |
dX (tn — Hn[<MX>(, Х{]. |
|
(5.6) |
||||||
0 |
|
0 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
Исследуем некоторые свойства экспоненциального квазимартин |
||||||||||
гала exp {X* — (Mx^t/2). |
|
|
|
экспоненциальный |
квазимар |
|||||
Т е о р е м а |
5.2. Если X ^ М, то |
|||||||||
тингал Mt |
является непрерывным |
локальным |
((Ft)-мартингалом. |
|||||||
Кроме того, Mt — супермартингал и J(t является мартингалом тогда и только тогда, когда
E[Mt] = 1 для каждого t"> 0.
10*
148 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как |
Mt — единственное решение |
|
уравнения |
(5.2), то |
j |
|
(s)е= Ж . |
|
Aft—1= |
t М М |
||
|
|
|
О |
|
Поэтому из леммы Фату легко проверяется, что М, — супермар-
типгал.
Теорома 5.3. (Новиков [135].) Пусть X <=1, и положим
Mt — expjxt — - i <Х>г}.
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E [e<x>^ ] < o o |
для каждого |
0, |
|
(5.7) |
|||
то Mt, t > О, является непрерывным |
(2Ft)-мартингалом, т. е. |
||||||||
|
|
E[MtJ = 1 |
для каждого |
t > |
0. |
|
(5.8) |
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно теореме |
Н-7.2' |
па |
расширении |
||||
(й, |
Р) пространства |
й с потоком (£Г() |
существует (^,)-бро- |
||||||
уповское движение B = B(t) с .6(0) = |
0 такое, что X(f) = 6(<Z>(i)) |
||||||||
и <X>(f) — |
t) -момент |
остановки |
для |
каждого t > |
0. Положим |
||||
оа= |
inf {t; В (г) ^ t — а). Тогда, |
если а > |
0, то для X > |
0 имеем |
|||||
|
|
Е\е~^а] = e-(Ti+2X-i)a# |
|
(5.9) |
|||||
Действительно, |
полагали (f, ж) = |
|
|
по |
формуле Ито |
||||
получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (t, Bt — t) — и (0, 0) =
-fee.»— »‘‘в. + j ($- 1 + i g) (,,в,-«)*-
Г
Поэтому г м- и [г Д (га, 6;лаа— f Д Сто) является мартингалом, если a > 0, и, следовательно,
6 [и (i Д о,,, 6 ,Л(То — t Д Сто)] = и (0, 0) = 1.
Устромип t t о®, по теореме о мажорируемой сходимости получаем
Е [м (da, 6 0а — °й)] =
Этим докапана формула (5.9).
§ 5. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
149 |
Отоюда мы можем заключать, что
# [е х р [4 Oajj = е ° < ОО.
Следовательно,
|
Е |ехр[в (oa) — -J-Cajj = е~аЕ [е х р (4 °а )] = 1. |
|
|||
Комбинируя этот результат с теоремой 5.2 и полагая |
|
||||
|
|
Y (t) = exp [в (oa< t) — Y Oa Д *), |
|
||
мы можем показать, что Y ( t ) , |
t e [0, oo), является равномерно ин- |
||||
тегрйруемым |
t) -мартингалом. Поэтому для любого |
t) -момен |
|||
та остановки а |
|
|
|
|
|
|
Е [ехр [в (о„ А о) — J Оа А о)] = 1. |
|
|||
В частности, |
|
|
|
|
|
1 = в[ехр (в(стаА<Х>() —уа0А<Х>')]= |
|
||||
= |
Е [ / ^ а.«х>,} ехр [ - a + -J <та)] |
+ Е [ / („0>Ш |) ехр ( х (f) - |
i - <Х>,)]. |
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
Е [l{aa« x >t} exp ( — a + |
4 |
°«)] < е~°Е [охр ( - j <Х>()], |
||
то |
Нш Е [/(0а>ц->1} ехр (х(0 - |
4 <Х>()] = Е [exp (х(1) - |
\<Х>()], |
||
1 |
|||||
что и завершает доказательство. |
|
|
|||
|
З а м е ч а н и е |
5.1. Небольшим видоизменением доказательства |
|||
Казамаки [80] доказал следующий более сильный результат: если
вместо (5.7) предположим, что В[ехр(Х(£)/2)] < 00, то |
(5.8) оста |
|
ется в силе. |
является непосредственным |
следствием |
Следующий результат |
||
теоремы 5.3. |
X^JC. Если <Х>, локально |
ограничен, |
С л е д с т в и е . Пусть |
||
т. е. для каждого t > 0 |
существует положительная постоянная С(t) |
|
такая, что |
<Х>, «£ C(t) п. «., |
(5.10) |
|
||
то Mt — непрерывный |
-мартингал. |
|
Г Л А В А IV
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Определение решений |
|
|
|
|
|
Пусть R" — d-мерное |
евклидово |
пространство и |
пусть |
W 1= |
|
= С([0, < »)-> R ")— пространство всех непрерывных |
функций |
w, |
|||
определенных на [0, °°), со значениями в R1'. Для w„ w2е |
Wd |
||||
положим |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
р К , щ) = |
2- '1( шах |
1н;, (I) — w2(I) |Д 1\, |
|
|
|
Н=1 |
|
|
) |
|
|
где М обозначает евклидову метрику в R 1 (см. § 4 главы |
I). |
W4 |
|||
является полпым сепарабельным метрическим пространством отно
сительно этой метрики р. Пусть |
— топологическое о-поле на |
|||||
W", a |
a ,(W J — под-о-ноле |
порождснпоо w(s), |
0 < s < t. |
|||
Другими словами, |
■$<(W*1) — прообраз о-поля ^ (W 4) |
относительно |
||||
отображения р(, обозначаемый через рГ1 [^ (W d)], |
где |
отображе |
||||
ние р( : W" -► W" определяется равенством |
|
|
|
|||
|
|
(Р»и>) (s ) - w (l |
A »). |
|
|
|
О п р е д е л е н и е 1.1. Через |
будем |
обозначать |
множество |
|||
всех функций a(t, |
w ): [0, оо)х W" -► R1*® R'1таких, что |
|
||||
(I) |
они $([0, °°))Х $ (W d /$(Rd® 11г)-измеримы; |
|
|
|||
(II) |
для каждого t е [0, оо) функция Wd |
>-»•a (t, w) = R tf 0 R r |
||||
является $ t(W d /3$(R'i ® Rf) -измеримой. |
|
|
|
|||
Через Rd ® Rr |
мы здесь обозначаем совокупность действитель |
|||||
ных d X r -матриц; |
^ (R 1® Rr) — топологическое о-поле |
на R1® Rr, |
||||
получаемое отождествлением R'1® Rr с dr-мерным евклидовым про странством.
(£,/)-й элемент матрицы a(t, w) будем обозначать через а) (г, w), i = 1, 2, ..., d, / = 1, 2, ..., г.
Предположим, что заданы а е st'1,Г и £ е S&'1’ *. Рассмотрим сле дующее стохастическое дифференциальное уравнение для d-мерно го непрерывного процесса X —(Х(£) ) (>0:
dX} = % a j(t,X )dB J'(t + ^ (t.X jd t, l - l t 2t . *,da (1.1) i=i