Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Пусть 3F — пополнение топологического о-поля 38(Q)

по

мере Q и

3Tt =

П (#t+e V - Л , где 38t = 9St ( W d) x $ t(W d) X * t( W

j ) ,

a

Jf -

8

(ir„

ws) и

множество всех (^-пулевых множеств. Тогда, очевидно,

(X, 5 )

имеют

одинаковые распределения и

то же

самое

верно и

для (w2, w3

и

(X В ' ) .

Чтобы завершить паше доказательство, нам нужно сначала до­

казать две вспомогательные леммы.

Л е м м а

1.1. Для

A ^ 38t(W")

(4)

или

Q'"(A)

являются 3lt (ws)plV- измеримыми отображениями.

и

4 е | , ( ¥ )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для фиксированного

О О

существует условная вероятность Qf (Л) такая,

что w е

WS

Qf (А)

является

-измеримым отображением

и

Рх( А х С ) =

= §Q7(A)Pw (du>) для каждого C e ^ ( W j ) . Если мы сможем по-

с

то от­

казать, что зто равенство справедливо для всех С ^38 (WS),

сюда будет следовать, что Q7{A) = QW(A) для почти всех

w(Pw ,

С = {w e WJ; рtu>s

Д ,

е Аг],

At, A2^ 3 t (WJ),

где 0( определяется равенством

(Q,w)(s)= w(l + s ) —w(t).

Далее, так как 0,w n33t(Wl)

независимы но мере Pw, то имеем

$Q7(A)Pw(div)=

j

Q7{A)Pw {dw)Pw (0twt=A2 =

с

{pjiceA!1}

=

РХ(А X {Р(И>е ^x} ) P w (0iWe А2 =

=

Рх {А X {р(^ s

ЛД) Рх (W d X {64и> е= А2}) =

= / > ( X s 4 , p , ( B ) e i l I) P ( 0 ( ( S ) e 4 1) =

=

Р(Х<= А, р, (В) <= i4lf 0, (В) е= Л2) =

= Р ( Х е 4 , В е С ) =

? 1( Л х С),

так как ( Х е 4 ,

р, (5) е

Л,) е <F,, а 0,(5)

и

независимы. Этим

завершается доказательство лсммьг.

является

r-мерпым (£F,)-

Л е м м а

1.2.

Процесс

и>3=(ш:1(1))

броуновским движением па (Q, Ф~, Q).

доказать

только

независи­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

мость w3(t) — w3(s) и

для каждых

t > s. Для этого

достаточно

§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

159

Где о

е # г и р е #

1. Для /<= Сь(Rd)*)

положим

d

3

d

(Л/) (t, w) = 4-

2

аУ (*>гу) z H

j (“>(0) +

2

Р1(*, “>) S i (w <*»•

(2Л>

<,j-i

i= i

где

t e

[0,

°°),

w e

W",

ai; (f, w) =

2

a’h (*> w) “ ft (£. »)•

(2.2)

s=i

Если (X(t), 5 ( 0 ) — решение

(1.1)

па вероятностном простран­

стве

(Q,

P)

с

потоком

(^”i)> T0 согласно

формуле

Ито

*

^

r

r>

f (X (0) -

/ (X (0)) -

j (Л/) (s,

X) ds = 2

2

j

a'<(s’ x ) S

{ X (s))

0

i-"1 ?i=M0

(2.3)

и, следовательно,

(s,

t

/ (X (0) -

/ (X (0)) -

J (Л/)

X) ds <= J t^ oa

0

для

каждого

/ е

Cb2(R rf).

(2.4)

Обратно, если d-мерпын непрерывный согласованный

процесс

X =

= Х(/),

определенный

на

вероятностном

пространстве

(Q,

Р)

с потоком (#*()> удовлетворяет

(2.4),

то

па расширении (Q,

Р)

и (!Ft) пространства (Q,

Р)

с

i)

можно определить г-мерпоо

t) -броуновское

движение

B = B(t)

такое,

что

(X,

В ) — реше­

ние

уравнения

(1.1).

Действительно,

пусть

В, =

( r e R d : \х\ ^ I)

и для каждого i выберем

/ ( ж ) е Cb(Rd)

так, что j(x) — Xi при ж е

еВ, .

Тогда, положив

о, =

inf U : Х( £ )ё В,},

I — 1,

2,

..., убежда­

емся, что

М<Ц

Mil){t) = X\t Д о , ) - Х ! ( 0 ) -

j

P! (s,X )d s<=*#;:,

1

=

1,2, . . . , d .

Таким образом,

о

M i ( t ) - X * ( t ) — Х*(0) — Jp*(*. X ) d s e

Jf^,oc,

г =

1, 2, . . . , d .

о

Выбрав

/ e C b ( R d) так,

что

f ( x ) = x ,xs,

г е В , , аналогичным

обра­

зом находим, что

i

(2.5)

<Mt, Mj'>{t)=\ ^{s,

X)ds.

._______________

b

160

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Согласно теореме Н-7.1' на расширении (Q,

Р)

и (#*<)

можно

определить

r-мерное

t) -броуновское движение

В = B(t)

такое,

что

г

(

ЛГ4(*) =* 2

\«£(«, X)dBh(s),

i =

l,

2,

. . . , d .

* -Ч

Следовательно, (X, В) — решение

(1.1).

закон распределения Рх

Если X

удовлетворяет

(2.4),

то его

на

(Wd, ^?(Wd) ) удовлетворяет условию*)

t

/ (м>(<)) -

/ (И> (0)) - J и /) (s, ш) ds S

Ж ’1ос

(2.6)

О

для

к аж д ого/е Сь (W d). Очевидно, что

X (t,

w)=w(t)

является

случайным

процессом

па

(Wd, j$(W d), Рх) с

(Jf,+ (Wd)),

удовлет­

воряющим

(2.4). Поэтому имеем следующий результат.

эквива­

П р е д л о ж е н и е

2.1.

Существование

решения

(1.1)

летворяющего

(2.4), а также эквивалентно существованию вероят­

ности Р на (Wd, J7(Wd) ),

удовлетворяющей (2.6).

Т е о р е м а

2.2. Предположим, что ограничены и непрерывны

функции**) a ^ s 4 - d,r и $ < ^ s4 -d- x. Тогда для любой заданной веро­

ятности р

на

(Rd,

с компактным носителем существует ре­

шение (X,

В)

уравнения

(1.1) такое, что распределение Х(0) сов­

падает с р,

г. е, Р ( Х ( 0 ) е 4 )

= р(Л)

для любого А<=3}(Вг).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

2.1

достаточно

построить процесс X со свойством

(2,4)

и

с

Р {Х ( 0 ) е Л) = р(4)

для каждого

A e ^ ( R d). Для каждого

I = 1.

2, . . . определим

ф,(£)

следующим образом:

w) =

ф1 (0 =

к/2‘

для

к/2' <

t < (к +

1) /2'

(к =

0, 1,

2, ...)

и положим ai ( t ,

w) =

a(<$i{t), w) и

$t(t,

jl(ф, (t), w ) . Очевид­

но, a, e j^d’г и

e s4-d■*. На вероятностном пространстве

(Q, ST, P )

с потоком

(8Гi)

построим

r-мерпое

(^',)-броуновскоо

движение

B = B(t)

и

d-мерпый

#*0-измеримый

случайный

лектор***)

1 с

Р(| е

Л )= р(Л)

для

каждого / l e J ? ( R d). Определим но индукции

d-мерный непрерывный процесс Х; (1 = 1, 2, ...)

следующим обра­

зом: Х,(0) = £. и если

уже

определен Xt(t)

для

t^k/2‘, то

для

к/2‘

t *£ (к + 1) 2! определим Х;(t) равенством

X, (е) — X, (fc/21) + a{k!2’ ,X,:U (B(t)~B(k/2')) +

+

Р (k!2l, X,j/() (t — k/2l),

*)

^ 2,Iog определяется относительно потока 3ft\.(Wd).

**)

То

есть функция[0, oo)xWd э (t,

w) at- (t, гс)еRd ® Rr I I .T I I [$ (t, w) e

e ftd ограничена н непрерывна.

***)

Заметим, что так как ц имеет компактный носитель, то \ ограпичен.