Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	§ i. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ		151
Или записываемое иногда просто как
dXt = a(t, X)dB(t) + p(f, X)dt.			(1.1)'
Тонная формулировка состоит в следующем.
О п р е д е л е н и е	1.2. Пусть заданы	а = (a }(t, w)) ^	зфа,г и ^ =
* (P'(f,	Под решением*)	уравнения (1.1)	мы подра

зумеваем d-мерный непрерывный случайный процесс X = (X (t)) fSs0, определенный на вероятностлом пространстве (£2, ST, Р) с потоком о-алгебр (^Г()оо> такой, что

(I)существует r-мерное (@~i) -броуновское движение**) В =

=(B(t)) с В ( 0 ) = 0 п. п.;

(II)X = (X (t)) — d-Mepiraii непрерывный процесс, согласован

ный с

т. е. X — такое

отображение

со е

£2 <-* X (со) е

W d,

что для каждого t е

[о, оо) 0по

t/$t(Wrf) -измеримо;

(III)

семейства

согласованных

процессов

Ф](£, со) и

\|?'(f,

со),

определенных равенствами

Ф] (t, со) = a} (t, X (со))

Wl(t, со) =

ji*(t, X (со)),

принадлежат соответственно пространствам***)

2 ?2°с и

где

2£i00 — множество

всех

измеримых

(^"^-согласованных

процессов

Aij'lf таии\,

что для каждого t~^0

[|4f (к, <o)lds<;oo п. н.****);

(IV)

с вероятностью

единица

X2(t), ...,

X(t) = (X'(t),

Xd(t))

и B(t) — (B'(t),

B2(t), ..., Br(t))

удовлетворяют

равенствам

j a] (s, X) dBj (s) +

X 5 (t) -

X 1 (0) =

J p1 (8, X)ds,

i = 1, 2,

. . . , d,

( 1. 2)

где интеграл

dB3(s)

является

стохастическим

интегралом

Ито,

определенным в § 1 главы II.

(1.2)

называется

мар-

Первый член в правой части уравнения

типгалъным членом, а второй — сносом.

движения

Чтобы

подчеркнуть

особую

роль

(^^-броуновского

В = (В (t)) в

определении 1.2,

мы

называем

Х = ( Х ( £ ) )

решением

(1.1)

броуновским

движением

В = (B(t));

иногда

саму

пару

(X, В)

будем называть решением

(1.1).

*) Определяемое здесь «решение» иногда называется «слабым решени

ем». (Примеч. ред.)

**)

См. § 7 главы I.

***)

См. определение 1.6 главы II.

*♦**)

Y, ¥ '

5 ^ ос отождествляются, если j* |V (s, w) — V' (s, со) |ds = о

для каждого f >

0 п. н.

152	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
З а м е ч а н и е	1.1. Условие		(III)	определения 1.2 удовлетворя
ется, если а и р ограничены*),			или	в более общем случае, если
sup{lla(£,	iy)ll +	llp(f, и?)II; t		[О, Г], 1Ы1Г	М) < °°
для каждых Г и 1 > 0 ,		где
[М1г = max	\\w(t)\\ и IIаI =		1 /	2 2 UjJ2.	a e =Rd <g>Rr.
0<t<T			Y

Важнейший тип стохастических дифференциальных уравнений, который в основном и изучается в данной книге, определяется сле дующим образом.

О п р е д е л е н и е 1.3. Пусть a(t, х) = oj(t, х) — борелевская функция (t, х )е= [0, оо)X R*-*■ R** ® R**, а b{t,х )*={V(t,х)) — борелев

ская функция	(t, х) ^ [0, оо)Х R1-► R". Тогда для a (t,		w)	и 0(f, w),
определенных	равенствами a (t, w) — a(t,	w(l))	и	£(f,	w) =
— b(t, w(t)),	очевидно, имеем a<=sld'r, f e	'. В	таком		случае

стохастическое дифференциальное уравнение (1.1) называется

уравнением марковского типа и имеет следующий вид:
dX(t) = a(t,X(t))dB(t)+b(t,X(t))dt,	(1.3)
или, покомпонентно,
dXl (t) = 2 ol (*, X (t)) dBk(t) + V (t, X (0) dt, i = 1, 2,	. . . , <** (1.3)'
h=i

Если, кроме того, о и b не зависят от f и являются функциями только от х е R'1, то уравнение (1.1) называется уравнением мар ковского типа с коэффициентами, не зависящими от времени (или однородным во времени) .

Заметим, что при о = 0 уравнение марковского типа превра щается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (динамическую систему) Xt = b(t, Xt). Таким образом, стохастиче ское дифференциальное уравнение обобщает понятие обыкновен ного дифференциального уравнения путем добавления эффекта


случайных флуктуаций.		определений,			касающихся		един
Теперь мы дадим	несколько
ственности решений. Для заданных а е				г и	(5	<= Md- ‘ рассмот
рим стохастическое дифференциальное			уравнение			(1.1). Предпола
гаем, что существует по крайней мере			одно решение (1.1).				усло
О п р е д е л е н и е	1.4. Будем	говорить,		что	выполняется
вие единственности решений для уравнения				(1.1), если для любых

двух решений**) X и X' с одинаковыми начальными распределе-

*) То есть ограничены все компоненты аир.

•*) Они могут быть определены на разных вероятностных пространствах.

		g 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ				153
Пиями *) па	R*	совпадают	законы распределения	процессов		X и
X' па пространстве Wd.
З а м е ч а н и е		1.2. Вышеприведенное определение эквивалентно
следующему:	условие единственности решений выполняется					для
уравнения (1.1), если для любых двух решений X				и X’	уравнения
(1.1) таких,	что X (0) = х		п. н. и X' (0) = х п.н.	для	некоторого

х е R*, совпадают законы распределения па пространстве \Vd про цессов X и X'. В эквивалентности нетрудно будет убедиться, если

заметим

следующее

обстоятельство:

если

X — решение уравнения

(1.1) па

пространстве

(Q,

Р)

потоком

о,

то,

поло

жив **)

Р“ = Р(*|£Г0),

будем

иметь,

что для

почти

всех

фиксиро

ванных (о X — решение

(1.1)

на пространстве

(Q,

Рш с

пото

ком ( Г , ) (>0 такое,

что Х(0) = Х(0,

со)

(см.

следствие

теоре

мы 1-3.2).

определенная в

определении

1.4,

иногда

назы

Единственность,

вается «единственностью по распределению». С другой стороны, если мы рассматриваем стохастические дифференциальные уравне ния как средство определения выборочных траекторий случайного процесса is виде функционалов от броуновских траекторий, то сле дующее определение должно быть более естественно.

О п р е д е л е н и е 1.5 (нотраекторпая единственность). Будем говорить, что выполняется условие потраекторной единственности


решений для		уравнения		(1.1),		если для любых двух решений X
и	X ', определен и ых на			одном		вероятностном пространстве (Q,
Р)	с одним и тем же потоком					(&~t) и одним и тем же г-мерным
(^■()-броуповским			движением,			из	равенства Х (0 )= Х '(0 )		п.н. сле
дует, что X(t)~ X' (t) для всех t >							Он. н.			более
	З а м е ч а н и е		1.3. Можно			рассмотреть также следующее
узкое определение потраекторной единственности.
	Говорят, что выполняется условие потраекторпой единственно
сти (в узком		смысле),		если	для		любых	двух решепий	X и	X ' с
Х(0) = Х'(0)		п. н., которые			определены			на одном и том	же	веро-у
ятностном пространстве				(Q,		Р) с потоками (&~,) и (9№t)				соот

ветственно, с одним и тем же броуновским движением B(t), явля

ющимся одновременно		и (<Ж()-броуновским движением, име
ем X (t) = X' (I)	для всех 1 >	0 п. п.
Так как не	обязательно	верпо, что B(t) является (ЗГt \/3{?,)-

броуновским движением, то эквивалентность этого узкого опреде ления и определения 1.5 нетривиальна. Однако эту эквивалентность можно получить в качестве простого следствия нижеследующей теоремы 1.1.

*) Закон распределения X (0) решения X уравпения (1.1) называется на чальным законом или начальным распределением решепия.

**) Через Р( ■ \9~о) обозначается регулярная условпая вероятность. Лю бое решепие (X, В) всегда может быть реализовано па стандартном измеримом пространстве (Q, Ф~) без изменения закона распределения.

154	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
З а м е ч а н и е		1.4. Точно так же, как и		в замечании 1.2, мы
должны рассматривать только			неслучанпые	начальные значения,
т. е. Х(0) =	Х '(0) = х п. и. для некоторого х s			Rd.
Чтобы	попять	некоторые	применения понятия иотраекторпой

единственности, оказывается удобным ввести следующее понятие.


	Функция *) Ф(ж, w \ Rd X W ;-> W '; называется <£ (RdX W J)-из
меримой,		если для любой борелевской вероятностной меры							р на
IV'	существует			функция	Фц (х, iv): Rd X Wd -> W d,			которая
a (R ri w r0Y xpW/ $				(wd)-измерима, и		для почти всех х(р)			спра
ведливо		Ф(х,	ю ) = Ф 11(х, w)		для**)	Р^-почти всех w. Для			такой
функции		Ф(#,	w)	и случайного вектора \| из R'1 и r-мерного					броу
новского		движения B = B(t),			являющихся		независимыми	в	сово
купности, мы полагаем Ф(£,					5 ) = Ф (1(1, В),		где д — закон	распре

деления |. Поэтому Ф(1, В) — корректно определенный W^-anan-


ный случайный элемент.								X = ( X ( t ) )
О п р е д е л е н и е				1.0 (сильное решение). Решение
уравнения		(1.1)	с	броуновским		движением	В~В(1)	называется
сильным решением, если существует функция							F (х, w): Rd X Wj->-
-> W d,	которая			^ (R d X W o)-измерима, для каждого r e R d,
w ~ F ( x , w)<Mt{W 0)pW/&,r					(W d)- измеримо для каждого t > 0 и если
справедливо равенство
				Х = Р(Х(0), В) и. н.					(1.4)
Мы будем говорить, что уравнение (1.1) имеет единственное
сильное решение, если существует функция F (х, w): R‘ X									W‘
с теми же свойствами, что и выше, и такая, что									В ==
(I)	для	любого г-мерноп»				(#"()-броуновского движения
= (B(t))(B( 0) =			0)	на вероятностном пространстве с потоком					t)

и любого ^-измеримого Позначного случайного вектора | непре

рывный процесс X = F (\|,		В) — решение (1.1)	на этом простран
стве с Х(0) = 1 п. н.;
(II) для любого решения (X, В) уравнения (1.1) справедливо
равенство	X = F(X(0), В)	н. н.	рассматривать как
Таким	образом, сильное решение можно

функцию F(x,	w), которая задает решение X уравнения (1.1), ес
ли только мы	подставим	начальное значение		Х(0)	и	броуновское
движение В.	1.1. Для	заданных	a<=st-d’ T и	р е	^	1 уравнение
Т е о р е м а
(1.1) имеет единственное сильное			решение тогда		и	только тогда,

когда для любой борелевской меры р на Rd существует решение X

*) WJ = {ш €= С ([0,	оо) Rr): w (0) - О}.
**) pw _ (r-мериая)	мора Винера па WJ (т. е. распределение В).

	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ			155
уравнения (1.1)	такое,	что распределение	начального	значения
Л (0) совпадает с	р и	выполняется условие	потраекторной един
ственности решений.		Если существует единственное		сильное
Д о к а з а т е л ь с т в о .

решение (1.1), то по определению ото означает, что существует функция F (х, w): Rd X W j-> W dтакая, что выполнены вышеприве денные условия (I) и (II). Итак, для заданной борелсвской веро ятностной меры р на Rd пусть В = B(t) —- r-мерное (^^-броунов ское движение, а £ — „-измеримая R'-значная случайная величи на с распределением р, определенные на некотором подходящем

вероятностном	пространстве с				потоком (#”f). Тогда, если опреде
лим непрерывный процесс X равенством							X = F(%, В), то		X — ре
шение (1.1) с Х(0) = \| н!				н. К тому		же,	если существуют		два ре
шения (X, В)	и	(X',	В')	на	одном	вероятностном		пространстве
с B(t) = B'(t)	и Х(0) =		Х '(0)		п. н., то X = F(X(0),			B) = F(X'(0),
В’ ) = Х ' . Отсюда		следует,		что	выполняется условие			потраекторпой
С'дипственности решений*).

Таким образом, мы должны доказать, что существование реше ния для каждого заданного начального распределения и нотраекторная единственность влекут за собой существование единствен ного сильного рошепия. Итак, предположим, что для любого на

чального распределения существует решение (1.1)

и выполнено

условие потраекторпой единственности

решений. Пусть j e R '

фик

сировано

и пусть

(X,

(X',

В')— любые

решения**)

(1.1)

с X (0) = х и X' (0) = х

п. н. Пусть

Рх и Рх — распределения

веро

ятностей

соответственно

(X,

В)

(X',

В )

на

пространстве

W d х Wo.

Если

л:

W d х W 0r э

(шг, w2 « u ) 2e W 5

является

проекцией, то оба маргинальных распределения л(Рх)

и л (Рх) сов

падают с Р^-мерой Випера на

Wj. Пусть Q 2{divx) и Q' 2 (dwx —

регулярные условные распределения wt относительно w2, т. е.

(I) для фиксированного w2е WJ

Q 2 (dwx) — вероятностная ме

ра на (Wd, ^?(Wd));

(II) для фиксированного - AeJ?( Wd)

отображепие

w2<~*Q 2 (А)

является

^ (W o )

-измеримым;

(III)

для каждых A t <=Jf(W d) и А2е

$ ( WJJ)

P * ( ^ X 4 ) =

J QW2(Al)P w (dw,).

Д2

Аналогично определяется Q

1 через Рх.

На пространстве

Q =

=wdxwdX WJ

определим

борелевскую

вероятностную

меру

*) В действительности отсюда следует потраекторная единственность в узком смысле определения замечания 1.3.

**) Они могут быть определены на разных вероятностных пространствах.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных