166 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
то 2 |
( т>п— <т„) — оо. Если мы сможем это доказать, то |
|||
П |
|
|
|
|
оо |
|
ХП |
|
|
1 |
9 ( ^ ( 5)) |
f р (X (s)) d s ^ |
rainp(a:) 2 ( т« — On) = оо- |
|
ft |
n |
^ |
|arl<b |
n |
u |
|
Gn |
|
|
Предпоследнее утверждение, очевидно, эквивалентно следующему:
{ П |
7{ а„<°°}} exp |
S |
( т« - |
Стп)j = п |
( /{ а„<~} ехр [ - ( т „ - с г „ )])= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
п. н., |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е ( П |
7{ а„<=о} ехР [ — (** — в »)]) = °- |
(2 -17) |
|||||
Имеем |
|
|
|
|
__ |
\ |
|
|
|
(т+1 |
ехр[- ( ъ - |
|
|
||||
Е |
1 П r { % < „ } |
5,)]I !Г ~ т + , ) - |
|
|||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
= П |
|
7{ *„< ~ }ехР I - |
(т » - |
*»)] 7{ am+1< ~ } X |
|
||
|
|
|
|
|
X |
Е (ехр [ — (т т+1 — <гт+1)] |^ |
т+1)' |
|
Дальше для простоты мы предполагаем, что d = 1; необходимая модификация доказательства в общем случае предоставляется чи тателю. Теперь X (t) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) = |
X (0) + M{t) + |
Jc(s) ds, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где |
M { t ) — непрерывный |
(^",)-мартингал |
такой, |
что |
<М> (£) = |
||||||||||
= |
j |
d (s) ds |
п c (s) + d(s) |
|
с |
(c > 0 — константа). Мы можем пред- |
|||||||||
|
о |
|
что (Q, |
(Г) — стандартное измеримое пространство |
(на |
||||||||||
положить, |
|||||||||||||||
пример, |
мы всегда |
можем |
взять Q = W* и ЗГ = 3&(Wd ), |
и |
пусть |
||||||||||
Р (- |#” от+1) — |
регулярная условная вероятность относительно |
||||||||||||||
|
|
|
Согласно теореме Дуба о преобразовании свободного выбо |
||||||||||||
ра |
|
N, = М {t + am+l) — М (от+1) |
является |
мартингалом |
па |
{om+i < |
|||||||||
< |
00} |
относительно вероятности |
7)('| |
<т |
и потока ^"t == |
||||||||||
= |
&~t+om+1 с |
= |
| |
d ( s ) d s . |
Согласно теореме II-7.2i' суще- |
||||||||||
О т +1
|
|
|
g 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ |
167 |
•Пуст броуновское движение b(t){b(0) = 0), которое |
не зависит |
|||
& п= |
Sr ~ |
, |
такое, что Nt = b(<N>t) . Тогда |
|
“ |
°т + 1 |
|
|
|
11X (t + |
ffm+J) - |
X ( crm+1) |> a] £= ( IM (t + am+1) — Л/ (o»+i) I - |
||
Следовательно,
inf {i; 1X (i + om+1)- X
Где oa/2 = inf {*; |b (t) |> a/2}.
1° m + l + f
\e(s)\ds^a/2 .
°m4 1
(a m+1) I > «1 > fc A
Поэтому
7{ w - } £ (exp |
^ |
m+i ~ |
° m+i^ |
1^ 4 » + i) < |
« ^ |
- > |
£ М |
Ч |
^ Л ^ |
< £ (eIp[ _ {i^ A ^ }l): = f c < l .
Таким образом,
E (Д /p%<»>e!:p |
- |
5")0 < |
|
|
|
|
|
< kE ( f l 1{ cn<0O} exP t“ |
( Tn - |
o«) ) |
|
■ (2.17) становится очевидным. |
|
|
|
||
|
00 |
|
|
|
|
Следовательпо, если |
[ р (X (s)) ds<L оо, то |
найдется |
такое |
п, что |
|
тп < оо, ]X (£) I а для всех |
t > т„. Так как а было произвольным, |
||||
то имеем lim X (£) = А |
в Rd. Доказательство |
леммы теперь |
завер- |
||
ft00 |
|
|
|
|
|
шено. |
|
|
|
|
|
Верпемся к доказательству теоремы 2.3. Нам нужно только по |
|||||
казать, что |
|
<Лоп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (X (£ Л °п)) — / (X (0)) —J (Aj) (X (s)) ds |
|
|
|||
|
|
о |
|
|
|
Является мартингалом. Так как |
|
|
|
||
|
|
' < |
|
|
|
/ (X (*)) - |
/ (X (0)) - j (РAi) (X (.)) ds |
|
|
||
|
|
О |
|
|
|
168 |
|
|
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является ( ^ () -мартингалом, |
то по теореме |
о |
преобразования |
сво |
|||||||||
бодного |
выбора |
имеем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f { x ( t |
A o n) ) - f ( X ( 0 ) ) - |
J (p 4 /)(^ (* ))d . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
— (&~t)-мартингал для |
п = |
1, 2, . . |
где |
о„ = |
inf It: |
|X(£)|>n). |
|||||||
Опять по теореме о преобразовании свободного выбора |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
«КОЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (X (о (t) Л оп)) |
- / |
(£ (0 )) - |
j |
(рAf) (X (»)) ds |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
является |
I)-мартипгалом. Легко видеть, что |
o(t) |
Д ап = a(t Д оп) |
||||||||||
и, |
следовательно,X (a(t) Д on) = X (t Д стп). Кроме |
того, |
имеем |
£ = |
|||||||||
|
t |
(Xр |
|
|
|
|
|
<7(0 |
1 |
/ (Xр |
|
|
|
= |
f 1 / |
(s)) dA (s), |
и поэтому |
ст(Д = |
j |
(s)) йЛ (s) = |
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
[ 1/р (X (s)) ds. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
о |
|
|
|
4Дстп |
|
|
|
<Дстп |
|
|
||
|
ст(*Дсп) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
j |
(рЛ/) (X (s)) ds = |
j |
(p^/)(X (s))da(s)= |
f |
(Af) (X (s)) ds. |
|||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Теперь теорема полностью доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Т е о р е м а ЧА. Если |
а(х) = (сг£(ж)) и |
Ь(х) — (Ь*(х)) непрерыв |
||||||||||
ны и удовлетворяют условию |
|
(1 +1*и |
|
|
(2.18) |
||||||||
|
|
|
|
И*)I2+ I! Ь (х)Г |
|
|
|||||||
для некоторой положительной константы К, го «Эля любого решения
(2.11) |
с Z?(|X(0) |2) < °° |
имеем 2?(|Х(£) I2 < |
°° |
для всех |
t > 0, |
так |
|||
что е = |
°° п. п. |
|
Пусть |
o„ = |
inf{£: |
\X(t)\^n) |
и |
/ е |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||
е Сь (R d) в]вбрано так, что f(x) — Ы 2, если |
|
Тогда, так как |
|||||||
|
|
|
|
<Д°п |
|
|
|
|
|
|
i ( X ( t |
А <*п)) —/(X(0)) — J |
(Л/)(X(s))ds |
|
|
||||
являетсямартипгалом, то |
|
|
[ J |
и |
|
(X(s))+ |
|
|
|
|
|
|
|
П Д < 7 „ |
. d |
|
|
|
|
E ( \ X ( t |
Д < т „т = |
Я(|Х(0)|2) + |
£ |
|
|
X l (*)bl (X(s)) jdsj« |
|||
|
|
|
|
|
+ 2 |
2 |
|||
1=1
§ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
169 |
Согласно (2.18) для некоторой константы с > 0 имеем
|
|
|
|
t |
|
E(\X(t A a n)|a)< £ (| X (0 )| a) + |
Cj { l + £ ( | X ( s /\o„)|a)}ds. |
||||
|
|
|
|
О |
|
Отсюда мы можем заключить, что |
|
|
|||
|
£ (| Х (* Д<т„)|2) < { 1 + |
£(|Х(0)|2) } е « - 1 . |
|||
Устремив в к « , получаем |
|
|
|
||
|
Я (|Х (<)|2< { 1 + |
£(|Х (0)|2)}е“ - 1, |
|||
что и завершает доказательство. |
|
является |
достаточным условием |
||
Таким |
образом, |
условие (2.18) |
|||
отсутствия |
взрыва |
у решений. |
Более общий |
критерий отсутствия |
|
взрыва будет дан в § 4 главы VI. |
|
|
|||
§3. Теорема единственности
Вэтом параграфе мы рассмотрим только однородные во времени стохастические дифференциальные уравнения марковского типа.
Итак, |
предположим, что |
заданы |
о (х) = (ok (*)): |
Rd^ R d<g>Rr и |
||||||
b(x) = (b‘(х)): Rd -*■Rd, |
которые |
предполагаются |
непрерывными, |
|||||||
если |
только |
не оговорено |
противное. Рассматриваем |
следующее |
||||||
стохастическое дифференциальное уравнение: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dX(t)=o{X(t))dB(t)+ b(X(t))dt, |
|
|
(3.1) |
|||||
или, покомпонентно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dX*(«)- |
2 ak{X(t))dBk{t)+y(X(t))dt, |
i - |
1, 2, ... ,d . |
|
|||||
|
|
fc=t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
3.1. Предположим, |
что о{х) |
и |
Ь(х) удовлетворяют |
||||||
локальному условию Липшица, т. е. для каждого N > 0 существует |
||||||||||
константа KN> 0 такая, что |
|
KN| х — у |
| а |
|
||||||
|
IIо(х) — а(у) | |
2+ |
1 Ъ(ж) — Ъ(у) |2 < |
(3.2) |
||||||
для каждых х, y ^ B N*).
Тогда для уравнения (3.1) выполняется условие потраекторной единственности решений и, следовательно, оно имеет единственное сильное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть (X, В) |
и (X', В' ) — любые два |
|||
решения уравнения (3.1), |
определенные |
на одном и том же веро |
|||
ятностном пространстве |
с |
одним |
и тем же потоком, такие, что |
||
Х ( 0 ) = Х ' ( 0 ) = х и B(t)=B'(t). |
Достаточно показать, что |
если |
|||
о* — inf { t : lX(f) I >N ) |
|
и (TJV = |
inf {t: X' ( f ) ^ N}, TO ON = |
O’ N и |
|
*) В* = {x: |*| </V).
170 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
X (t) = |
X' (t) |
для всех t |
Од-, N = |
1 , 2 , . . . Но |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ДОд'ДСТд- |
|
|
|
|
X ( i Д |
Од- А |
Од-) — |
X ' { t А Од- Д Од ) = |
j |
[О ( X (у)) — |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*АаЛ'АaiV |
|
|
|
|
|
|
- |
о (X' (у))] йВ (у) + |
f |
[Ь (X (у)) - Ь (X' (у))] ds |
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
и, следовательно, если t |
[0, Г], |
|
|
|
|
|
|
|||
£ ( | X (г Л од- Л «АО - X ' (г Л од Л А ) 1*1 < |
|
|
|
|
||||||
|
<2Е\ |
S |
[о (X (у)) — о (X' (у))] dB (у) |
+ |
|
|
||||
|
|
|
«Дстд-Дстд- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2Е |
|
[Ь (X (у)) - Ь ( Х ' (y))]ds |
|
|
|
|||
|
|
< 2 Е |
J |
\\a(X'(S ) - a (X ' (s ) )f d s |
+ |
|
|
|||
|
|
|
It/\°.X/\°N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
\b (X (y)) — b (X' (y)) |2 <Ы ^ |
|
|
||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
) |
|
|
< |
2E jj ||o(X (у А Од- Л A )) — о (X' (у A Ov Л А )) 1Г dsj + |
|
||||||||
+ 2ТЕ { f |b (X (y A o . v |
A A )) - b (X' (y A o . v A A )) l2 |
< |
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2Хд (1 + T) J E {I X(y A o.v A OJV) - |
X' (y A o* A A)l*l |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Из этого перавепства легко следует, что |
|
|
|
|
||||||
Е ( |X (t А оЛ- Л А) — X ' (гЛ o . v |
Л А) I2} = |
о для |
всех |
t е [0,Л* |
||||||
и поэтому, устремив Т t °°, получаем |
|
|
|
|
|
|||||
X (г А Од- Л А) = X' (г A |
Л Од) П. и. для всех г > 0 . |
|
||||||||
Так как X |
и X ' |
непрерывны |
по t |
п. н„ |
то мы |
заключаем, |
что |
|||
X (<) = |
X' (t) |
для всех t е |
[О, од А А) п. н. |
Отсюда, очевидно, |
еле- |
|||||